常微分方程復(fù)習(xí)題一、填空題1．微分方程的階數(shù)是____________.答：12．形如_的方程稱(chēng)為齊次方程.答：3．方程的根本解組是．答：.1.二階線(xiàn)性齊次微分方程的兩個(gè)解為方程的根本解組充分必要條件是．答：線(xiàn)性無(wú)關(guān)〔或：它們的朗斯基行列式不等于零〕2.方程的根本解組是．答：3.假設(shè)和都是的基解矩陣，那么和具有的關(guān)系是。4.一階微分方程是全微分方程的充分必要條件是。5.方程有只含的積分因子的充要條件是。有只含的積分因子的充要條件是。6.一曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，那么曲線(xiàn)方程為。7.稱(chēng)為n階齊線(xiàn)性微分方程。8.常系數(shù)非齊線(xiàn)性方程(其中是m次多項(xiàng)式)中，那么方程有形如的特解。9.二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程有一個(gè)形如的特解。10.微分方程的一般解為。9.微分方程的階數(shù)為。10.假設(shè)為齊次線(xiàn)性方程的n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解，那么這一齊線(xiàn)性方程的通解可表為.11.設(shè)為非齊次線(xiàn)性方程的一個(gè)特解,是其對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程的一個(gè)根本解組,那么非齊線(xiàn)性方程的所有解可表為.12.假設(shè)是齊次線(xiàn)性方程的個(gè)解，為其朗斯基行列式，那么滿(mǎn)足一階線(xiàn)性方程。答：13.函數(shù)是微分方程的通解.14.方程的根本解組是．15.常系數(shù)方程有四個(gè)特征根分別為(二重根)，那么該方程有根本解組．16.一定存在一個(gè)基解矩陣，如果是的任一解，那么。17.假設(shè)是的基解矩陣，那么向量函數(shù)=是的滿(mǎn)足初始條件的解；向量函數(shù)=是的滿(mǎn)足初始條件的解。18.設(shè)分別是方程組，的解，那么滿(mǎn)足方程的一個(gè)解可以為。19.設(shè)為非齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)特解,是其對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組的基解矩陣,那么非齊線(xiàn)性方程組的所有解可表為.20.方程組的個(gè)解線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件是.21.假設(shè)矩陣A具有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，它們對(duì)應(yīng)的特征值分別是，那么矩陣=是常系數(shù)線(xiàn)性方程組的一個(gè)基解矩陣。二、單項(xiàng)選擇題1．階線(xiàn)性齊次微分方程根本解組中解的個(gè)數(shù)恰好是〔A〕個(gè)．〔A〕；〔B〕1；〔C〕+1；〔D〕+2.2．一階線(xiàn)性非齊次微分方程組的任兩個(gè)非零解之差〔C〕．〔A〕不是其對(duì)應(yīng)齊次微分方程組的解；〔B〕是非齊次微分方程組的解；〔C〕是其對(duì)應(yīng)齊次微分方程組的解；〔D〕是非齊次微分方程組的通解.3．假設(shè)，是一階線(xiàn)性非齊次微分方程的兩個(gè)不同特解，那么該方程的通解可用這兩個(gè)解表示為〔C〕．〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕.4．以下方程中為常微分方程的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D)(c為常數(shù)〕.5.以下微分方程是線(xiàn)性的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D).6.方程特解的形狀為()(A)；(B)；(C)；(D).7.以下函數(shù)組在定義域內(nèi)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D).8.以下方程中為常微分方程的是〔〕(A)；(B)；(C)(c為常數(shù))；(D).9.以下微分方程是線(xiàn)性的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D).10.方程特解的形狀為()(A)；(B)；(C)；(D).11.以下函數(shù)組在定義域內(nèi)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的是〔〕(A);(B)；(C)；(D).12.以下方程中為常微分方程的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D)(c為常數(shù)).13.以下微分方程是線(xiàn)性的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D).14.方程特解的形狀為()(A)；(B)；(C)；(D).15.以下方程中為常微分方程的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D)y=c1cost+c2sint(c1,c2為常數(shù)).16.以下微分方程是線(xiàn)性的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D).17.方程特解的形狀為()(A)；(B)；(C)；(D).18.以下函數(shù)組在定義域內(nèi)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D)4t,2t3,6t+8.19.以下方程中為常微分方程的是〔〕(A)x3+1=0；(B)；(C)；(D).20.以下微分方程是線(xiàn)性的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D)xdx+ydy=0.21.方程特解的形狀為()(A)；(B)；(C)；(D).22.以下函數(shù)組在定義域內(nèi)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D).23.微分方程y''3y'+2y=2x2ex的特解y*的形式是()(A)(ax+b)ex(B)(ax+b)xex(C)(ax+b)+cex(D)(ax+b)+cxex24.微分方程的通解是y=()(A)；(B)；(C)；(D).25.設(shè)是線(xiàn)性非齊次方程的特解，那么()(A)是所給微分方程的通解；(B)不是所給微分方程的通解；(C)是所給微分方程的特解；(D)可能是所給微分方程的通解也可能不是所給微分方程的通解，但肯定不是特解.26.微分方程的特解的形式是y=〔〕(A)；(B)；(C)；(D).27.以下方程中為常微分方程的是〔〕(A)；(B)；(C)；(D).28.以下微分方程是線(xiàn)性的是〔〕(A)；(B);(C)；(D).29.設(shè)是二階線(xiàn)性非齊次微分方程的三個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解，是任意常數(shù)，那么微分方程的通解為()(A);(B);(C);(D).30.假設(shè)連續(xù)函數(shù)滿(mǎn)足關(guān)系式，那么為〔〕(A);(B);(C)(D).31.假設(shè)，那么它們所滿(mǎn)足的微分方程為〔〕(A);(B);(C);(D).32.設(shè)是二階線(xiàn)性微分方程的三個(gè)不同的特解，且不是常數(shù)，那么該方程的通解為〔〕(A);(B);(C);(D).33.設(shè)是方程的兩個(gè)特解，那么〔為任意常數(shù)〕〔〕(A)是此方程的通解;(B)是此方程的特解;(C)不一定是該方程的解;(D)是該方程的解.34.微分方程的一個(gè)特解形式為〔〕(A);(B);(C);(D).35.方程是全微分方程的充要條件是〔B〕(A);(B);(C);(D).36.表達(dá)式是某函數(shù)的全微分，那么〔〕(A);(B);(C);(D).37.方程是特解的形式為〔〕(A);(B);(C);(D).38.方程的特解的形式為〔〕(A);(B);(C);(D).39.與是微分方程的解,那么是〔〕(A)方程的通解;(B)方程的解,但不為通解;(C)方程的特解;(D)不一定是方程的解.40.方程的特解的形式為〔〕(A)；(B);(C);(D).41.方程特解的形式為〔〕(A);(B);(C);(D).42.方程特解形狀為〔〕(A);(B);〔C);(D).43.方程的特解形狀為〔〕(A);(B);(C);(D).44.方程的特解形狀為〔〕(A);(B);(C);(D).45.方程的積分因子為〔〕(A);(B);(C);(D).46.方程的積分因子為〔〕(A);(B);(C);(D).47.方程的積分因子為〔〕(A);(B);(C);(D).48.方程的積分因子為〔〕(A);(B);(C);(D).49.方程的積分因子為〔〕(A);(B);(C);(D).50.方程的積分因子為〔〕(A);(B);(C);(D).51.方程的積分因子為〔〕(A);(B);(C);(D).52.方程的積分因子為〔〕(A);(B);(C);(D).53.方程的積分因子為〔〕(A);(B);(C);(D).54.方程的一個(gè)根本解組是().(A);(B);(C);(D).55.方程是().(A)可別離變量方程;(B)齊次方程;(C)全微分方程;(D)線(xiàn)性非齊次方程.三、證明題1.在方程中，在上連續(xù)，求證：假設(shè)恒不為零，那么該方程的任一根本解組的朗斯基行列式是上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)．證明：設(shè)，是方程的根本解組，那么對(duì)任意，它們朗斯基行列式在上有定義，且．又由劉維爾公式，〔5分〕由于，，于是對(duì)一切，有或故是上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)．〔10分〕2．設(shè)和是方程的任意兩個(gè)解，求證：它們的朗斯基行列式，其中為常數(shù)．證明:如果和是二階線(xiàn)性齊次方程的解，那么由劉維爾公式有現(xiàn)在，故有3．設(shè)矩陣函數(shù)，在區(qū)間I上連續(xù)，試證明，假設(shè)方程組與在區(qū)間I上有相同的根本解組，那么，.證明：因?yàn)榉匠探M與在區(qū)間I上有相同的根本解組，所以可設(shè)是其根本解矩陣。從而有：，，所以，又由于是其根本解矩陣，所以，即可逆，故，.4．設(shè)和是二階線(xiàn)性齊次微分方程的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解，求證：它們不能有共同的零點(diǎn)．證明：因和是兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解，故它們的朗斯基行列式(*)反證。假設(shè)它們有共同零點(diǎn)，那么存在一個(gè)點(diǎn)，使得于是這與(*)式矛盾．所以它們不能有共同的零點(diǎn)．5．給定方程,其中在上連續(xù),設(shè)是上述方程的兩個(gè)解,證明極限存在.證明:由條件知,是齊次線(xiàn)性方程的解,因?yàn)榈奶卣鞣匠淌?特征根是,所以的根本解組為從而可由根本解組線(xiàn)性表示,即所以極限存在.6．設(shè)是n階齊線(xiàn)性方程的任意n