江蘇省南通市天星湖中學2024屆高二數學第二學期期末檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數的定義城是（）A． B． C． D．2．若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積等于()A．24 B．30 C．10 D．603．某班4名同學參加數學測試，每人通過測試的概率均為，且彼此相互獨立，若X為4名同學通過測試的人數，則D（X）的值為（）A．1 B．2 C．3 D．44．若,則()A． B． C． D．5．如圖，矩形的四個頂點依次為，，記線段、以及的圖象圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）為，若向矩形內任意投一點，則點落在區(qū)域內的概率為()A． B．C． D．6．將兩個隨機變量之間的相關數據統(tǒng)計如表所示：根據上述數據，得到的回歸直線方程為，則可以判斷（）A． B． C． D．7．若存在兩個正實數，使得等式成立，其中為自然對數的底數，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．8．已知函數的圖象如圖所示（其中是函數的導函數），下面四個圖象中，的圖象大致是（）A． B． C． D．9．在等差數列{an}中，，角α頂點在坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點（a2，a1+a3），則cos2α＝（）A． B． C． D．10．已知函數，則使得成立的x的取值范圍是（）A． B． C． D．11．在中，，，則（）A．1 B． C． D．212．若，，滿足，，.則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數是定義在上的奇函數，且函數的圖象關于直線對稱，當時，，則__________．14．下列隨機變量中不是離散型隨機變量的是__________（填序號）．①某賓館每天入住的旅客數量是；②某水文站觀測到一天中珠江的水位；③西部影視城一日接待游客的數量；④閱海大橋一天經過的車輛數是.15．定義在上的偶函數滿足，且，則______.16．某人拋擲一枚均勻骰子，構造數列，使，記，則且的概率為_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）甲乙兩人報名參加由某網絡科技公司舉辦的“技能闖關”雙人電子競技比賽，比賽規(guī)則如下：每一輪“闖關”結果都采取計分制，若在一輪闖關中，一人過關另一人未過關，過關者得1分，未過關得分；若兩人都過關或都未過關則兩人均得0分.甲、乙過關的概率分別為和，在一輪闖關中，甲的得分記為.（1）求的分布列；（2）為了增加趣味性，系統(tǒng)給每位報名者基礎分3分，并且規(guī)定出現一方比另一方多過關三輪者獲勝，此二人比賽結束.表示“甲的累積得分為時，最終認為甲獲勝”的概率，則，其中，，，令.證明：點的中點橫坐標為；（3）在第（2）問的條件下求，并嘗試解釋游戲規(guī)則的公平性.18．（12分）已知函數，曲線在處的切線與軸平行.（1）求實數的值；（2）設，求在區(qū)間上的最大值和最小值.19．（12分）交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用（基準保費）統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯系，發(fā)生交通事故的次數越多，費率也就越高，具體浮動情況如下表：交強險浮動因素和浮動費率比率表浮動因素浮動比率上一年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮10%上兩年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮上三年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮30%上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故0%上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任不涉及死亡的道路交通事故上浮10%上一個年度發(fā)生有責任交通死亡事故上浮30%某機構為了解某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格：類型A1A2A3A4A5A6數量105520155以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：（1）按照我國《機動車交通事故責任強制保險條例》汽車交強險價格的規(guī)定，，記為某同學家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費用，求的分布列與數學期望；（數學期望值保留到個位數字）（2）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車，假設購進一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元:①若該銷售商購進三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；②若該銷售商一次購進100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求他獲得利潤的期望值.20．（12分）選修4-4：坐標系與參數方程在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）．以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，的極坐標方程為．（Ⅰ）寫出的直角坐標方程；（Ⅱ）為直線上一動點，當到圓心的距離最小時，求的直角坐標．21．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD．（1）證明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．22．（10分）如圖，在正四棱柱中，已知AB＝2，，E、F分別為、上的點，且.(1)求證：BE⊥平面ACF；(2)求點E到平面ACF的距離．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據對數的真數大于零這一原則得出關于的不等式，解出可得出函數的定義域．【題目詳解】由題意可得，解得，因此，函數的定義域為，故選C．【題目點撥】本題考查對數型函數的定義域的求解，求解時應把握“真數大于零，底數大于零且不為”，考查計算能力，屬于基礎題．2、A【解題分析】

根據幾何體的三視圖得出該幾何體是三棱柱去掉一個三棱錐所得的幾何體，結合三視圖的數據，求出它的體積．【題目詳解】根據幾何體的三視圖，得該幾何體是三棱柱截去一個三棱錐后所剩幾何體幾何體是底面為邊長為3,4,5的三角形，高為5的三棱柱被平面截得的，如圖所示：由題意：原三棱柱體積為：V截掉的三棱錐體積為：V所以該幾何體的體積為：V=本題正確選項：A【題目點撥】本題考查的知識點是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關鍵是得到該幾何體的形狀．3、A【解題分析】

由題意知X～B（4，），根據二項分布的方差公式進行求解即可．【題目詳解】∵每位同學能通過該測試的概率都是，且各人能否通過測試是相互獨立的，∴X～B（4，），則X的方差D（X）＝4（1）＝1，故選A．【題目點撥】本題主要考查離散型隨機變量的方差的計算，根據題意得到X～B（4，）是解決本題的關鍵．4、D【解題分析】

由于兩個對數值均為正，故m和n一定都小于1，再利用對數換底公式，將不等式等價變形為以10為底的對數不等式，利用對數函數的單調性比較m、n的大小即可【題目詳解】∵∴0＜n＜1，0＜m＜1且即lg0.5（）>0?lg0.5（）>0∵lg0.5<0，lgm＜0，lgn＜0∴l(xiāng)gn﹣lgm<0即lgn<lgm?n<m∴1＞m＞n＞0故選D．【題目點撥】本題考查了對數函數的圖象和性質，對數的運算法則及其換底公式的應用，利用圖象和性質比較大小的方法5、D【解題分析】分析：利用定積分的幾何意義求出陰影部分的面積，由幾何概型的概率公式，即可得結果.詳解：陰影部分的面積是，矩形的面積是，點落在區(qū)域內的概率，故選D.點睛：本題主要考查定積分的幾何意義以及幾何概型概率公式，屬于中檔題.一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、曲線以及直線之間的曲邊梯形面積的代數和，其中在軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數,所以在用定積分求曲邊形面積時，一定要分清面積與定積分是相等還是互為相反數；兩條曲線之間的面積可以用兩曲線差的定積分來求解.6、C【解題分析】

根據最小二乘法，求出相關量，，即可求得的值?！绢}目詳解】因為，，，所以，，故選C?！绢}目點撥】本題主要考查利用最小二乘法求線性回歸方程，意在考查學生的數學運算能力。7、D【解題分析】試題分析：由得，即，即設，則，則條件等價為，即有解，設，為增函數，∵，∴當時，，當時，，即當時，函數取得極小值為：，即，若有解，則，即，則或，故選D．考點：函數恒成立問題.【方法點晴】本題主要考查不等式恒成立問題，根據函數與方程的關系，轉化為兩個函數相交問題，利用構造法和導數法求出函數的極值和最值是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大根據函數與方程的關系將方程進行轉化，利用換元法轉化為方程有解，構造函數求函數的導數，利用函數極值和單調性的關系進行求解即可．8、C【解題分析】

根據圖象：分，，，，四種情況討論的單調性.【題目詳解】根據圖象：當，所以遞增，當，所以遞減，當，所以遞減，當，所以遞增，故選：C【題目點撥】本題主要考查導數與函數的圖象間的關系，還考查了數形結合的思想和理解辨析的能力，屬于?？碱}.9、A【解題分析】

利用等差數列的知識可求的值，然后利用的公式可求.【題目詳解】由等差數列{an}的性質可知，所以，所以.故選：A.【題目點撥】本題主要考查等差數列的性質和三角函數求值，注意齊次式的轉化，側重考查數學運算的核心素養(yǎng).10、C【解題分析】

轉化函數，證明函數單調性，奇偶性，再轉化為，即，求解即可.【題目詳解】由題意，函數，定義域為R，故為偶函數令，在單調遞增，且在單調遞增則因此故選：C【題目點撥】本題考查了函數的奇偶性、單調性在解不等式中的應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于較難題.11、B【解題分析】

由向量的數量積公式直接求解即可【題目詳解】因為，所以為直角三角形，所以，所以.故選B【題目點撥】本題考查平面向量的夾角與模，以及平面向量數量積的運算，考查運算求解能力.12、A【解題分析】

利用指數函數和對數函數的單調性即可比較大小.【題目詳解】，，，，，，，，，故選：A.【題目點撥】本題考查了指數函數和對數函數的單調性，考查了計算能力和推理能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：詳解：函數是定義在上的奇函數，故函數)關于(2,0)中心對稱，函數的圖象關于直線對稱，得到函數的周期為：4，故答案為：0.點睛：這個題目考查了函數的對稱性和周期性，對于抽象函數，且要求函數值的題目，一般是研究函數的單調性和奇偶性，通過這些性質將要求的函數值轉化為已知表達式的區(qū)間上，將轉化后的自變量代入解析式即可.14、②【解題分析】

利用離散型隨機變量的定義直接求解．【題目詳解】①③④中的隨機變量的所有取值，我們都可以按照一定的次序一一列出，因此它們是離散型隨機變量；②中隨機變量可以取某一區(qū)間內的一切值，但無法按一定次序一一列出，故不是離散型隨機變量．故答案為：②【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意離散型隨機變量的定義的合理運用，比較基礎．15、【解題分析】

根據題意，分析可得有，即函數是周期為6的周期函數，進而可得，結合函數的奇偶性分析可得答案．【題目詳解】根據題意，函數滿足，則有，

則函數是周期為6的周期函數，

則，

又由為偶函數，則，

故；

故答案為：．【題目點撥】本題主要考查函數的奇偶性與周期性的應用，注意分析函數的周期性，屬于中檔題．16、.【解題分析】

根據題意，拋擲一枚均勻骰子，出現奇數或偶數概率為，則且的情況有2種：①當前2次同時出現偶數時，則后6次出現3次偶數3次奇數，②當前2次出現奇數時，則后6次出現5次偶數1次奇數，分別計算相應的概率求和即可.【題目詳解】拋擲一枚均勻骰子，出現奇數或偶數概率為，構造數列，使，記，則且的情況為：①當前2次同時出現偶數時，則后6次出現3次偶數3次奇數，相應的概率，②當前2次出現奇數時，則后6次出現5次偶數1次奇數，相應的概率為，所以概率為.故答案為：.【題目點撥】本題考查二項分布概率計算，結合排列組合與數列的知識，屬于綜合題，解題的關鍵在于對所求情況進行分析，再利用二項分布進行概率計算即可，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）分布列見解析；（2）見解析；（3），試解釋游戲規(guī)則的公平性見解析【解題分析】

（1）由題意得：，分別求出相應的概率，由此能求出的分布列.（2）由題意得，，，推導出，根據中點公式能證明點的中點橫坐標為；（3）由，求出，從而，，由此推導出甲獲勝的概率非常小，說明這種游戲規(guī)則是公平的.【題目詳解】（1），，，的分布列為：01（2）由題意得：，，.于是，有，整理可得：，根據中點公式有：，命題得證.（3）由（2）可知，于是又，所以，，.表示最終認為甲獲勝概率，由計算結果可以看出，在甲過關的概率為0.5，乙過關的概率為0.6時，認為甲獲勝的概率為，此時得出甲獲勝的概率非常小，說明這種游戲規(guī)則是公平的.【題目點撥】本題考查了離散型隨機變量的分布列，用概率說明游戲的公平性，考查了學生分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）最大值為，最小值為.【解題分析】

（1）求出導數，由可求出實數的值；（2）利用函數的導數，判斷函數的單調性，求出函數的極值以及端點的函數值，比較大小后可得出該函數的最值．【題目詳解】（1），，由于曲線在處的切線與軸平行，則，解得；（2）由（1）可得，該函數的定義域為，，令，可得.當時，，，此時；當時，，，此時.所以，函數在上單調遞增，在上單調遞減.，，當時，.，，令，則，所以，函數在時單調遞增，即，則，因此，函數在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【題目點撥】本題考查函數的導數的應用，利用切線斜率求參數以及函數的最值的求法，考查轉化思想的應用，是難題．19、（1）分布列見解析，（2）①，②萬元【解題分析】

（1）由題意列出X的可能取值為，，，，，，結合表格寫出概率及分布列，再求解期望（2）①建立二項分布求解三輛車中至多有一輛事故車的概率②先求出一輛二手車利潤的期望，再乘以100即可【題目詳解】（1）由題意可知：X的可能取值為，，，，，由統(tǒng)計數據可知：，，，，，.所以的分布列為：.（2）①由統(tǒng)計數據可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故的概率為，三輛車中至多有一輛事故車的概率為：.②設Y為給銷售商購進并銷售一輛二手車的利潤，Y的可能取值為所以Y的分布列為：YP所以.所以該銷售商一次購進輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤的期望值為萬元.【題目點撥】本題考查離散型隨機變量及分布列，考查二項分布，考查計算能力，是基礎題20、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解題分析】試題分析：（Ⅰ）先將兩邊同乘以可得，再利用，可得的直角坐標方程；（Ⅱ）先設的坐標，則，再利用二次函數的性質可得的最小值，進而可得的直角坐標．試題解析：（Ⅰ）由，得，從而有，所以．（Ⅱ）設，又，則，故當時，取最小值，此時點的直角坐標為．考點：1、極坐標方程化為直角坐標方程；2、參數的幾何意義；3、二次函數的性質．21、（1）見解析（2）【解題分析】

試題解析：（1）∵∠DAB=600，AB=2AD，由余弦定理得BD=AD，從而BD2+AD2=AB2故BD