2024屆江蘇省蘇州市實驗中學(xué)教育集團高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．動點在圓上移動時，它與定點連線的中點的軌跡方程是（）A． B．C． D．2．若是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是()A．[－3,3] B．C． D．[－1,1]3．已知集合，集合，則（）A． B．C． D．4．若定義域為的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則函數(shù)在上的最大值為（）A．1 B． C． D．－5．已知向量，，則（）A． B． C． D．6．已知下列說法：①對于線性回歸方程，變量增加一個單位時，平均增加5個單位；②甲、乙兩個模型的分別為0.98和0.80，則模型甲的擬合效果更好；③對分類變量X與Y，隨機變量的觀測值k越大，則判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大；④兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)就越接近1．其中說法錯誤的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知命題若實數(shù)滿足，則或，，，則下列命題正確的是()A． B． C． D．8．已知直線與雙曲線分別交于點，若兩點在軸上的射影恰好是雙曲線的兩個焦點，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．4 D．9．設(shè)為方程的解.若，則n的值為（）A．1 B．2 C．3 D．410．有個人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，則不同的排法種數(shù)為（）A． B． C． D．11．隨機變量，且，則（）A．0.20 B．0.30 C．0.70 D．0.8012．已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且側(cè)棱垂直于底面）高為4，體積為16，則這個球的表面積是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機變量，若，則__________．14．引入隨機變量后，下列說法正確的有：__________（填寫出所有正確的序號）.①隨機事件個數(shù)與隨機變量一一對應(yīng)；②隨機變量與自然數(shù)一一對應(yīng)；③隨機變量的取值是實數(shù).15．已知集合，，則_______.16．一只螞蟻位于數(shù)軸處，這只螞蟻每隔一秒鐘向左或向右移動一個單位，設(shè)它向右移動的概率為，向左移動的概率為，則3秒后，這只螞蟻在x=1處的概率為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，為的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知點是雙曲線上的點．（1）記雙曲線的兩個焦點為，若，求點到軸的距離；（2）已知點的坐標為，是點關(guān)于原點的對稱點，記，求的取值范圍．19．（12分）從裝有2只紅球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.(Ⅰ)若抽取后又放回，抽3次.(ⅰ)分別求恰2次為紅球的概率及抽全三種顏色球的概率；(ⅱ)求抽到紅球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望及方差.(Ⅱ)若抽取后不放回，寫出抽完紅球所需次數(shù)的分布列.20．（12分）已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時，；（2）若在只有一個零點，求的值.21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在處取得極大值，求的取值范圍.22．（10分）如圖1，等邊中，，是邊上的點（不與重合），過點作交于點，沿將向上折起，使得平面平面，如圖2所示．（1）若異面直線與垂直，確定圖1中點的位置；（2）證明：無論點的位置如何，二面角的余弦值都為定值，并求出這個定值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

設(shè)連線的中點為,再表示出動點的坐標,代入圓化簡即可.【題目詳解】設(shè)連線的中點為,則因為動點與定點連線的中點為,故,又在圓上,故,即即故選：B【題目點撥】本題主要考查了軌跡方程的一般方法,屬于基礎(chǔ)題型.2、D【解題分析】

根據(jù)充分、必要條件的定義，可知當(dāng)時，恒成立，解一元二次不等式即可?！绢}目詳解】依題意可知，當(dāng)時，恒成立，所以，解得，故選D。【題目點撥】本題主要考查充分、必要條件定義的應(yīng)用以及恒成立問題的解法。3、C【解題分析】

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域，化簡集合集合，再利用交集的定義求解即可.【題目詳解】因為集合，集合，所以由交集的定義可得，故選C.【題目點撥】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究兩集合的關(guān)系時，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.4、A【解題分析】

根據(jù)已知的偶函數(shù)以及f（2﹣x）＝﹣f（x）可以求得函數(shù)f（x）在[﹣2，2]上的解析式，進而得到g（x）在[﹣2，2]上的解析式，對g（x）進行求導(dǎo)可知g（x）的增減性，通過增減性求得最大值【題目詳解】根據(jù),得函數(shù)關(guān)于點(1,0)對稱,且當(dāng)時,,則時，，所以當(dāng)時，;又函數(shù)為偶函數(shù),所以當(dāng)時，則,可知當(dāng)，故在[-2，0)上單調(diào)遞增,時，在[0,2]上單調(diào)遞減,故.故選：A【題目點撥】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)：對稱性，奇偶性，周期性．同時利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)研究了函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的最值問題，是中檔題5、C【解題分析】

由已知向量的坐標運算直接求得的坐標．【題目詳解】∵向量（-2，﹣1），（3，2），∴.故選C.【題目點撥】本題考查了向量坐標的運算及數(shù)乘運算，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

根據(jù)回歸分析、獨立性檢驗相關(guān)結(jié)論來對題中幾個命題的真假進行判斷?！绢}目詳解】對于命題①，對于回歸直線，變量增加一個單位時，平均減少個單位，命題①錯誤；對于命題②，相關(guān)指數(shù)越大，擬合效果越好，則模型甲的擬合效果更好，命題②正確；對于命題③，對分類變量與，隨機變量的觀測值越大，根據(jù)臨界值表，則犯錯誤的概率就越小，則判斷“與有關(guān)系”的把握程度越高，命題③正確；對于命題④，兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系的絕對值越接近于，命題④錯誤.故選：B.【題目點撥】本題考查回歸分析、獨立性檢驗相關(guān)概念的理解，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的理解和掌握情況，屬于基礎(chǔ)題。7、C【解題分析】由題意可知，p是真命題，q是假命題，則是真命題.本題選擇C選項.8、A【解題分析】

由直線與雙曲線聯(lián)立，可知x=為其根，整理可得.【題目詳解】解：由．，兩點在軸上的射影恰好是雙曲線的兩個焦點，．．故選：．【題目點撥】本題考查雙曲線的離心率，雙曲線的有關(guān)性質(zhì)和雙曲線定義的應(yīng)用，屬于中檔題．9、B【解題分析】

由題意可得，令，由，可得，再根據(jù)，即可求解的值.【題目詳解】有題意可知是方程的解，所以，令，由，所以，再根據(jù)，可得，故選B.【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，以及函數(shù)的零點的判定定理的應(yīng)用，其中解答中合理吧方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，利用零點的判定定理是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】總排法數(shù)為，故選C．點睛：本題是排列中的相鄰問題，用“捆綁法”求解，解決此問題分兩步，第一步把要求相鄰的三人捆綁在一起作為一個人，和其他3人看作是4人進行排列，第二步這三人之間也進行排列，然后用乘法原理可得解．11、B【解題分析】分析：由及可得．詳解：∵，∴．故選B．點睛：本題考查正態(tài)分布，若隨機變量中，則正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，因此有，（）．12、C【解題分析】

根據(jù)正四棱柱的底面是正方形,高為4,體積為16,求得底面正方形的邊長,再求出其對角線長,然后根據(jù)正四棱柱的體對角線是外接球的直徑可得球的半徑,再根據(jù)球的表面積公式可求得.【題目詳解】依題意正四棱柱的體對角線是其外接球的直徑,的中點是球心,如圖:依題意設(shè),則正四棱柱的體積為:,解得,所以外接球的直徑,所以外接球的半徑,則這個球的表面積是.故選C.【題目點撥】本題考查了球與正四棱柱的組合體,球的表面積公式,正四棱柱的體積公式,屬中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.8【解題分析】

直接根據(jù)正態(tài)分布的對稱性得到答案.【題目詳解】隨機變量，故.故答案為：.【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布，意在考查學(xué)生對于正態(tài)分布對稱性的靈活運用.14、③【解題分析】

要判斷各項中對隨機變量描述的正誤，需要牢記隨機變量的定義.【題目詳解】引入隨機變量,使我們可以研究一個隨機實驗中的所有可能結(jié)果，所以隨機變量的取值是實數(shù)，故③正確.【題目點撥】本題主要考查隨機變量的相關(guān)定義，難度不大.15、【解題分析】

集合，是數(shù)集，集合的交集運算求出公共部分.【題目詳解】，，故答案為：【題目點撥】本題考查集合交集運算.交集運算口訣：“越交越少，公共部分”.16、【解題分析】

3秒后，這只螞蟻在x=1處的概率即求螞蟻三次移動中，向右移動兩次，向左移動一次的概率，由次獨立重復(fù)試驗的概率計算即可?！绢}目詳解】3秒后，這只螞蟻在x=1處的概率即求螞蟻三次移動中，向右移動兩次，向左移動一次的概率，所以【題目點撥】本題主要考查獨立重復(fù)試驗概率的計算，屬于基礎(chǔ)題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析.(2).【解題分析】分析：（1）證，.即可由線面垂的判定定理得出結(jié)論；（2）通過建系，分別求出面DSC和面SCA的法向量，進行計算，觀察圖中二面角的范圍得出余弦值的符號（1）證明：因為平面平面，平面平面，且，所以平面，所以.又因為，，所以，即.因為，且平面，所以平面.（2）解：如圖，建立空間直角坐標系，令，則，，，，.易得，，.設(shè)為平面的一個法向量，則，取，則，，所以.又因為為平面的一個法向量，所以.所以二面角的余弦值為.點晴：空間立體是高考必考的解答題之一，在做這類題目時，正面題大家需要注意書寫的步驟分，判定定理的必要點必須要有；另外在求角等問題時我們可以利用向量法進行解決問題，注意角的范圍問題．18、（1）（2）【解題分析】

(1)利用，結(jié)合向量知識，可得的軌跡方程，結(jié)合雙曲線方程，即可得到點到軸的距離．(2)用坐標表示向量，利用向量的數(shù)量積建立函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)雙曲線的范圍，可求得的取值范圍．【題目詳解】(1)設(shè)點為，，而，，則，，，．，，即，整理，得①又，在雙曲線上，②聯(lián)立①②，得，即因此點到軸的距離為.(2)設(shè)的坐標為，，則的坐標為，，．的取值范圍是，．【題目點撥】本題主要考查向量的運算，考查雙曲線中點的坐標的求法和范圍問題的解法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.19、(1)①;②見解析;(2)見解析.【解題分析】分析：（1）(ⅰ)放回事件是獨立重復(fù)試驗，根據(jù)獨立重復(fù)試驗概率公式求結(jié)果，(ⅱ)抽到紅球次數(shù)服從二項分布，根據(jù)二項分布期望與方差公式求結(jié)果，（2）先確定隨機變量取法，再根據(jù)組合數(shù)求對應(yīng)概率，列表可得分布列.詳解：（1）抽1次得到紅球的概率為，得白球的概率為得黑球的概率為①所以恰2次為紅色球的概率為抽全三種顏色的概率②～B(3,),則，（2）的可能取值為2，3，4，5,,，即分布列為：2345P點睛：求解離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布)，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.20、（1）見解析；（2）【解題分析】

分析：(1)先構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減，最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式;(2)研究零點，等價研究的零點，先求導(dǎo)數(shù)：，這里產(chǎn)生兩個討論點，一個是a與零，一個是x與2，當(dāng)時，，沒有零點；當(dāng)時，先減后增，從而確定只有一個零點的必要條件，再利用零點存在定理確定條件的充分性，即得a的值.詳解：（1）當(dāng)時，等價于．設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減．而，故當(dāng)時，，即．（2）設(shè)函數(shù)．在只有一個零點當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個零點．（i）當(dāng)時，，沒有零點；（ii）當(dāng)時，．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒有零點；②若，即，在只有一個零點；③若，即，由于，所以在有一個零點，由（1）知，當(dāng)時，，所以．故在有一個零點，因此在有兩個零點．綜上，在只有一個零點時，．點睛：利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.21、（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）【解題分析】

（1）將代入函數(shù)解析式，求出，利用導(dǎo)數(shù)值判斷的單調(diào)區(qū)間即可；（2