2024屆廣東省湛江市大成中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在三棱錐中，面，是上兩個(gè)三等分點(diǎn)，記二面角的平面角為，則（）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值2．6名同學(xué)安排到3個(gè)社區(qū)，，參加志愿者服務(wù)，每個(gè)社區(qū)安排兩名同學(xué)，其中甲同學(xué)必須到社區(qū)，乙和丙同學(xué)均不能到社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為（）A．5 B．6 C．9 D．123．某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）與年產(chǎn)量（單位：萬(wàn)件）的函數(shù)關(guān)系式為，則該生產(chǎn)廠家獲取的最大年利潤(rùn)為（）A．300萬(wàn)元 B．252萬(wàn)元 C．200萬(wàn)元 D．128萬(wàn)元4．已知，，則等于()A． B． C． D．5．已知某同學(xué)在高二期末考試中，A和B兩道選擇題同時(shí)答對(duì)的概率為，在A題答對(duì)的情況下，B題也答對(duì)的概率為，則A題答對(duì)的概率為()A． B． C． D．6．已知實(shí)數(shù)，滿足，則與的關(guān)系是（）A． B． C． D．7．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),滿足.若，則（）A． B． C． D．8．如圖所示的電路有a，b，c，d四個(gè)開關(guān)，每個(gè)開關(guān)斷開與閉合的概率均為且是相互獨(dú)立的，則燈泡甲亮的概率為（）A． B． C． D．9．已知曲線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的最小值為（）A．10 B．9 C．6 D．410．已知高為的正三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為的球的球面上，若二面角的正切值為4，則（）A． B． C． D．11．某中學(xué)高二共有12個(gè)年級(jí)，考試時(shí)安排12個(gè)班主任監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個(gè)班級(jí)是自己的班主任監(jiān)考，則不同的安排方案有（）A．4455 B．495 C．4950 D．742512．已知函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)（）A．先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)保持不變B．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變C．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)保持不變D．先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使得成立的概率為．14．函數(shù)的最大值為_______.15．已知實(shí)數(shù)，滿足條件，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的最小值是_______．16．若復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，單位圓上存在兩點(diǎn)，滿足均與軸垂直，設(shè)與的面積之和記為．若，求的值；若對(duì)任意的，存在，使得成立，且實(shí)數(shù)使得數(shù)列為遞增數(shù)列，其中求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，,前n項(xiàng)和為．等比數(shù)列中，，且,．（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）求．19．（12分）羽毛球比賽中采用每球得分制，即每回合中勝方得1分，負(fù)方得0分，每回合由上回合的勝方發(fā)球．設(shè)在甲、乙的比賽中，每回合發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各回合發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立．若在一局比賽中，甲先發(fā)球．（1）求比賽進(jìn)行3個(gè)回合后，甲與乙的比分為的概率；（2）表示3個(gè)回合后乙的得分，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．20．（12分）如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，，．，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？不需說(shuō)明理由．21．（12分）已知的展開式中有連續(xù)三項(xiàng)的系數(shù)之比為1︰2︰3，（1）這三項(xiàng)是第幾項(xiàng)？（2）若展開式的倒數(shù)第二項(xiàng)為112，求x的值．22．（10分）已知函數(shù)在處的切線方程為.（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間：（Ⅱ）關(guān)于的方程在范圍內(nèi)有兩個(gè)解，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

將三棱錐放入長(zhǎng)方體中，設(shè)，，，計(jì)算，，則，得到答案.【題目詳解】將三棱錐放入長(zhǎng)方體中，設(shè)，，，如圖所示：過(guò)作平面與，與，連接，則為二面角的平面角，設(shè)為，則，，故.同理可得：設(shè)二面角的平面角為，.，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二面角，和差公式，均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，空間想象能力和綜合應(yīng)用能力.2、C【解題分析】分析：該題可以分為兩類進(jìn)行研究，一類是乙和丙之一在A社區(qū)，另一在B社區(qū)，另一類是乙和丙在B社區(qū)，計(jì)算出每一類的數(shù)據(jù)，然后求解即可.詳解：由題意將問(wèn)題分為兩類求解：第一類，若乙與丙之一在甲社區(qū)，則安排種數(shù)為種；第二類，若乙與丙在B社區(qū)，則A社區(qū)還缺少一人，從剩下三人中選一人，另兩人去C社區(qū)，故安排方法種數(shù)為種；故不同的安排種數(shù)是種，故選C.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)分類加法計(jì)數(shù)原理，在解題的過(guò)程中，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行正確的分類是解題的關(guān)鍵，并且需要將每一類對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)正確算出.3、C【解題分析】

求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解函數(shù)的最大值，即可得到答案.【題目詳解】由題意，函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)最大值為200萬(wàn)元，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值問(wèn)題，其中解答中熟記函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，準(zhǔn)確判定函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

根據(jù)余弦的半角公式化簡(jiǎn)、運(yùn)算，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，可知，則，又由半角公式可得，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題，其中解答中熟練應(yīng)用余弦函數(shù)的半角公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解題分析】分析：根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可.詳解：設(shè)事件A：答對(duì)A題，事件B：答對(duì)B題，則，..故選：B.點(diǎn)睛：本題考查了條件概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】

設(shè)，，則，對(duì)進(jìn)行平方展開化簡(jiǎn)得，代入得，兩式相加即可.【題目詳解】設(shè)，，則且，等式兩邊同時(shí)平方展開得：，即令等式中，化簡(jiǎn)后可得：兩式相加可得故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了代數(shù)式的計(jì)算化簡(jiǎn)求值，考查了換元法，屬于中檔題7、C【解題分析】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對(duì)稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對(duì)應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果.詳解：因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，所以,因此，因?yàn)?，所以，，從而，選C.點(diǎn)睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．8、C【解題分析】

由獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式計(jì)算．把組成一個(gè)事整體，先計(jì)算它通路的概率．【題目詳解】記通路為事件，則，所以燈泡亮的概率為．故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，由獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即可．9、B【解題分析】

曲線過(guò)點(diǎn)得，所以展開利用均值不等式可求最小值.【題目詳解】由曲線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)得.所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查利用均值不等式求滿足條件的最值問(wèn)題，特殊數(shù)值1的特殊處理方法，屬于中檔題.10、D【解題分析】

過(guò)作平面于，為中點(diǎn)，連接.證明面角的平面角為,計(jì)算得到,通過(guò)勾股定理計(jì)算得到答案.【題目詳解】如圖：正三棱錐，過(guò)作平面于，為中點(diǎn)，連接.易知：為中點(diǎn)二面角的平面角為正切值為4在中，根據(jù)勾股定理：故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了三棱錐的外接球，二面角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.11、A【解題分析】

根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行：先確定8個(gè)是自己的班主任老師監(jiān)考的班級(jí)，然后分析剩余的4個(gè)班級(jí)的監(jiān)考方案，計(jì)算可得其情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【題目詳解】某中學(xué)高二共有12個(gè)年級(jí)，考試時(shí)安排12個(gè)班主任監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個(gè)班級(jí)是自己的班主任監(jiān)考，首先確定8個(gè)是自己的班主任老師監(jiān)考的班級(jí)，有種，而剩余的4個(gè)班級(jí)全部不能有本班的班主任監(jiān)考，有種；由分步計(jì)數(shù)原理可得，共種不同的方案；故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題解題關(guān)鍵是掌握分步計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)計(jì)算公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.12、D【解題分析】

由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得，進(jìn)而得再利用圖像變換求解即可【題目詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得，即，解得，所以，，故只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)“先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得再將橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變,得”即可.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查圖像變換，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用零點(diǎn)分段法解不等式，得出解集與區(qū)間取交集，再利用幾何概型的概率公式計(jì)算出所求事件的概率．【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，成立，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí).所以，不等式的解集為，因此，由幾何概型的概率公式可知，所求事件的概率為，故答案為.s【題目點(diǎn)撥】本題考查絕對(duì)值不等式的解法、幾何概型概率公式的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是解出絕對(duì)值不等式，解絕對(duì)值不等式一般有零點(diǎn)分段法（分類討論法）以及幾何法兩種方法求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題．14、1【解題分析】

先將函數(shù)解析式寫出分段函數(shù)的形式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?；易得：?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值1.故答案為1【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的最值問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解即可，屬于?？碱}型.15、【解題分析】

先作出不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義將的最小值轉(zhuǎn)化成定點(diǎn)與區(qū)域中的點(diǎn)的距離最小的問(wèn)題利用圖形求解．【題目詳解】如圖，作出對(duì)應(yīng)的區(qū)域，由于為虛數(shù)單位），所以表示點(diǎn)與兩點(diǎn)之間的距離，由圖象可知的最小值為到直線的距離，即，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查一定點(diǎn)與區(qū)域中的一動(dòng)點(diǎn)距離最值的問(wèn)題，考查復(fù)數(shù)的幾何意義，利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．16、【解題分析】分析：由復(fù)數(shù)的幾何意義解得點(diǎn)的軌跡為以為端點(diǎn)的線段，表示線段上的點(diǎn)到的距離，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得結(jié)果.詳解：因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則到的距離之和為，所以點(diǎn)的軌跡為以為端點(diǎn)的線段，表示線段上的點(diǎn)到的距離，可得最小距離是與的距離，等于；最大距離是與的距離，等于；即的取值范圍是，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的幾何意義，是基礎(chǔ)題.復(fù)數(shù)的模的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離，所以若，則表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離，表示以為圓心，以為半徑的圓.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）或（2）【解題分析】

（1）運(yùn)用三角形的面積公式和三角函數(shù)的和差公式，以及特殊角的函數(shù)值，可得所求角；（2）由正弦函數(shù)的值域可得的最大值，再由基本不等式可得的最大值，可得的范圍，再由數(shù)列的單調(diào)性，討論的范圍，即可得到的取值范圍．【題目詳解】依題意，可得，由，得，又，所以．由得因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）又因?yàn)閷?duì)任意，存在，使得成立，所以，即，解得，因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，且，所以，從而，又，所以，從而，又，①當(dāng)時(shí)，，從而，此時(shí)與同號(hào)，又，即，②當(dāng)時(shí)，由于趨向于正無(wú)窮大時(shí)，與趨向于相等，從而與趨向于相等，即存在正整數(shù)，使，從而，此時(shí)與異號(hào)，與數(shù)列為遞增數(shù)列矛盾，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的恒等變換，以及不等式恒成立，存在性問(wèn)題解法和數(shù)列的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，試題綜合性強(qiáng)，屬于難題，著重考查了推理與運(yùn)算能力，以及分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力．18、（1），；（2）【解題分析】

（1）由題意,要求數(shù)列與的通項(xiàng)公式,只需求公差，公比,因此可將公差,公比分別設(shè)為d，q,然后根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,代入,,求出d，q即可寫出數(shù)列與的通項(xiàng)公式．（2）由（1）可得,即,而要求,故結(jié)合的特征可變形為,代入化簡(jiǎn)即可．【題目詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，d＞1，的等比為q則,,依題意有，解得或（舍去）故,（2）由（1）可得∴∴=．【題目點(diǎn)撥】本題第一問(wèn)主要考查了求數(shù)列的通項(xiàng)公式,較簡(jiǎn)單,只要能寫出的表達(dá)式,然后代入題中的條件正確計(jì)算即可得解,但要注意d＞1．第二問(wèn)考查了求數(shù)列的前n項(xiàng)和，關(guān)鍵是要分析數(shù)列通項(xiàng)的特征,將等價(jià)變形為,然后代入計(jì)算，這也是求數(shù)列前n項(xiàng)和的一種常用方法--裂項(xiàng)相消法！19、（1）0.1（2）見解析【解題分析】

（1）記“第回合發(fā)球，甲勝”為事件，=1，2，2，且事件相互獨(dú)立，設(shè)“2個(gè)回合后，甲與乙比分為2比1”為事件，由互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件乘法公式求出比賽進(jìn)行2個(gè)回合后，甲與乙的比分為2比1的概率；（2）的可能取值為0，1，2，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此求出的分布列和數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】解：記“第回合發(fā)球，甲勝”為事件，=1，2，2，且事件相互獨(dú)立．（1）記“2個(gè)回合后，甲與乙比分為2比1”為事件，則事件發(fā)生表示事件或或發(fā)生，且，，互斥．又，，．由互斥事件概率加法公式可得．答：2個(gè)回合后，甲與乙比分為2比1的概率為0.1．（2）因表示2個(gè)回合后乙的得分，則0，1，2，2．，，．．所以，隨機(jī)變量的概率分布列為01220.2160.10.2040.144故隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為=．答：的數(shù)學(xué)期望為1.276．【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.20、（1）詳見解析（2）（3）不存在【解題分析】

（1）根據(jù)平行四邊形求得，再利用線面平行的判定定理得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量，再利用夾角公式求得余弦值；（3）求得平面的法向量，證明得出平面與平面不可能垂直，得出不存在點(diǎn)G.【題目詳解】解：（1）因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形，所以．因?yàn)椋云矫妫?）在平面ABEF內(nèi)，過(guò)A作，因?yàn)槠矫嫫矫?，，，所以，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系．由題意得，，，，，．所以，．設(shè)平面的法向量為則即令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為則．所以二面角的余弦值．（3）線段上不存在點(diǎn)，使得平面，理由如下：解法一：設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，所以．因?yàn)?，所以平面與平面不可能垂直，從而線段上不存在點(diǎn)，使得平面．解法二：線段上不存在點(diǎn)，使得平面，理由如下：