2024年教師資格證考試-中學教師資格證數(shù)學(統(tǒng)考)歷年考試高頻考點試題附帶答案（圖片大小可自由調整）第1卷一.參考題庫(共25題)1.某老師在設計“函數(shù)單調性”一節(jié)的教學設計時，教學目標之一為“理解函數(shù)單調性概念”。請問這樣設計是否合適？理由是什么？如果不合適，請你給予改進。2.教師為了引導學生注意，激發(fā)學生學習動機，調動學生積極情感而采用的教學策略是（）。A、整體性策略B、問題性策略C、情境性策略D、過程性策略3.在△ABC中，已知A，B，C對應的邊分別為a，b，c，且∠C=2∠A，， （1）求cosC和cosB的值； （2）當時，求a，b，c的值。4.求下列極限： （1）；（2）5.不等式組的解集是（）。A、{x｜02B、{x｜0C、D、{x｜06.設f（x），g（x）在[a，b]上連續(xù)，且滿足 7.設，且a≠b，記｜a-b｜=m，求a-b與x軸正方向的夾角的余弦值。8.球面上有3個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過3個點的小圓的周長為4π，那么這個球的半徑為（）。A、4B、2C、2D、9.請從“過程與方法”的角度，闡述為什么要在統(tǒng)計的教學中強調案例教學。10.若，則在S1，S2，……，S100中，正數(shù)的個數(shù)是（）。A、16B、72C、86D、10011.從2，3，4，7，9這五個數(shù)字任取3個，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)。 （1）這樣的三位數(shù)一共有多少個？ （2）所有這些三位數(shù)的個位上的數(shù)字之和是多少？ （3）所有這些三位數(shù)的和是多少？12.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD1、DC1的中點，則直線OM（）。A、是AC和MN的公垂線B、垂直于AC，但不垂直于MNC、垂直于MN，但不垂直于ACD、與AC、MN都不垂直13.某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列為 商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元，η表示經(jīng)銷一件該商品的利潤。 （1）求事件A：“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）； （2）求η的分布列及期望Eη。14.在（1-x）5-（1-x）6的展開式中，含x2的項的系數(shù)是（）。A、-5B、5C、-10D、1015.已知曲線x2+2y2+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲線C。 （1）求曲線C的方程； （2）過點D（0，2）的直線l與曲線C相交于不同的兩點M、N，且M在D、N之間，設，求實數(shù)λ的取值范圍。16.已知正數(shù)x，y，z滿足x+y+z=xyz，且不等式恒成立，求λ的范圍。17.下列命題正確的是（）。A、經(jīng)過兩條直線有且只有一個平面B、經(jīng)過一條直線和一個點有且只有一個平面C、如果平面α與β有三個公共點，則兩個平面一定是重合平面D、兩個不重合的平面α、β有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線18.案例：閱讀下列兩位教師的教學過程。 教師甲的教學過程： 師：在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障。這是一條10km長的線路，如何迅速查出故障所在？ 如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多。每查一個點要爬一次10km長的電線桿子，大約有200多根電線桿子呢。想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？ 生1：直接一個個電線桿去尋找。 生2：先找中點，縮小范圍，再找剩下來一半的中點。 師：生2的方法是不是對呢？我們一起來考慮一下。 如圖，維修工人首先從中點C查，用隨身帶的話機向兩個端點測試時，發(fā)現(xiàn)AC段正常，斷定故障在BC段，再到BC段中點D，這次發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見故障在CD段，再到CD中點E來查。每查一次，可以把待查的線路長度縮減一半，如此查下去，不用幾次，就能把故障點鎖定在一兩根電線桿附近。 師：我們可以用一個動態(tài)過程來展示一下（展示多媒體課件）。 在一條線段上找某個特定點，可以通過取中點的方法逐步縮小特定點所在的范圍（即二分法思想）。 教師乙的教學過程： 師：大家都看過李詠主持的《幸運52》吧，今天咱也試一回（出示游戲：看商品、猜價格）。 生：積極參與游戲，課堂氣氛活躍。 師：競猜中，"高了"、"低了"的含義是什么？如何確定價格的最可能的范圍？ 生：主持人"高了、低了"的回答是判斷價格所在區(qū)間的依據(jù)。 師：如何才能更快的猜中商品的預定價格？ 生：回答各異。 老師由此引導學生說出"二分法"的思想，并向同學們引出二分法的概念。 問題： （1）分析兩種情景引入的特點。 （2）結合案例，說明為什么要學習用二分法求方程的近似解。19.在空間直角坐標系中表示（）。A、一個點B、兩條直線C、兩個平面的交線，即直線D、兩個點20.下列關于高中數(shù)學課程的變化內(nèi)容，說法不正確的是（）。A、高中數(shù)學課程中的向量既是幾何的研究對象，也是代數(shù)的研究對象B、高中數(shù)學課程中，概率的學習重點是如何計數(shù)C、算法是培養(yǎng)邏輯推理能力的非常好的載體D、集合論是一個重要的數(shù)學分支21.已知數(shù)列{an}中，a1=1，且 （1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （2）求數(shù)列{an}的通項公式。22.在a>0，b>0的條件下，，其中正確的個數(shù)是（）。A、0B、1C、2D、323.閱讀下面“函數(shù)的圖象”一節(jié)的問題情境創(chuàng)設，分析其中存在的問題。 平均變化率 一、問題情境演示實驗。將熱水通過虹吸管從錐形瓶中輸入盛有少量冷水的燒杯，利用溫度傳感器探測燒杯中的水溫，同時通過數(shù)據(jù)采集器在屏幕上繪制溫度隨時間變化的曲線。 問題1：實驗中有哪些變化？ 問題2：觀察圖象，曲線有哪些特點？ 問題3：選定兩段曲線AB、BC，如何用數(shù)量來刻畫曲線的陡峭的程度？ 二、學生活動與師生互動24.若方程有解，則a的取值范圍是（）。A、a>0或a≤-8B、a>0C、D、25.如何理解高中數(shù)學課程的過程性目標？第2卷一.參考題庫(共25題)1.已知命題，則是（）。 A、AB、BC、CD、D2.設，求集合A與B之間的關系。3.論述在高中課程教學中，為什么概率的教學，要安排在排列、組合知識學習之前？4.針對“點到直線的距離公式”，有兩位老師分別設計了以下兩個教學片段。請你分析哪一個教學情境更好。 （一）師：一條河的兩岸可以看成平行的直線，某人在岸邊要駕駛船到對岸，請問，他應該選擇在哪個位置到對岸，才能以最短的路徑實現(xiàn)目的？ 生：隨便那個位置都可以，因為岸的一邊上任意點到對岸的距離都相等。 師：為什么？ 生：感覺。 師：這種感覺很好，但我們應該給予證明。今天，我們就來學習點到直線的距離公式。 …… （二）師：前面我們學習了平面上兩直線的位置關系：平行與相交。當兩直線相交時，我們采用角來刻畫它們的“相交程度”。那么，如果兩直線平行時，我們采用什么方法來刻畫呢？（師平行地拿兩支筆進行遠近移動） 生：距離。 師：什么意思？ 生：你剛才在比劃，給我們一個感覺，兩平行直線有遠和近的區(qū)別。 師：好，那么怎樣刻畫兩直線的距離呢？ 生甲：作任意一條直線與兩直線都垂直，被它們所截得的線段長度都相等，這個長度我們就定義為兩平行線的距離。 師：很好！但要說明怎么作任意直線與兩直線都垂直，還有別的什么方法？ 生乙：其實，兩平行直線上的一點到另一條直線的距離相等，這個距離可以定義為兩平行直線間的距離。 師：很好！為了研究兩平行直線的距離，我們可以選擇甲和乙的辦法，大家看，該選擇哪個辦法？ 生丙：選擇甲，因為點到點的距離最原始。 生?。哼x擇乙，因為點到直線的距離也是通過點到點的距離來刻畫的，如果能夠得到點到直線的距離，可以少走彎路。 師：兩位同學的構思都有道理，那么，我們就合二為一。今天，我們就開始學習點到直線的距離。 ……5.為什么在數(shù)學教學中要貫徹理論與實際相結合的原則？6.（）是學生在教師的指導或鼓勵下，通過類比、歸納、質疑和反思等思維活動，親自去探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學的概念、定理、公式和解題方法等的一種教學方法。A、發(fā)現(xiàn)式教學法B、講解式教學法C、自學輔導法D、討論式教學法7.高中課程的算法與計算機課程的算法有何差異？8.高中"等差數(shù)列"設定的教學目標如下： ①通過實例，理解等差數(shù)列的概念，探索并掌握等差數(shù)列的通項公式； ②能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關系并能用有關知識解決相應的問題，體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系： ③讓學生對日常生活中的實際問題進行分析，引導學生通過觀察，推導，歸納抽象出等差數(shù)列的概念：由學生建立等差數(shù)列模型用相關知識解決一些簡單的問題，進行等差數(shù)列通項公式應用的實踐操作并在操作過程中，通過類比函數(shù)概念、性質、表達式得到對等差數(shù)列相應問題的研究。完成下列任務： （1）根據(jù)教學目標①，給出至少三個實例，并說明設計意圖； （2）根據(jù)教學目標②，設計至少兩個問題，讓學生用等差數(shù)列求解，并說明設計意圖； （3）確定本節(jié)課的教學重點； （4）作為高中階段的重點內(nèi)容，其難點是什么？ （5）本節(jié)課的教學內(nèi)容對后續(xù)哪些內(nèi)容的學習有直接影響？9.以三角形為例，說明教學過程中設計開放性問題的作用。10.正三棱錐的底面邊長是2cm，側棱與底面成60°角，求它的外接球的表面積。11.有位學生說，在考試中不考建模，就沒必要學習建模了。請談談你對這種觀點的看法。12.若展開式中含項的系數(shù)與含項的系數(shù)之比為-5，則n等于（）。A、4B、5C、6D、1013.以幾何學習為例，說明在這個學習過程中是如何體現(xiàn)合情推理與演繹推理的。14.舉例說明高中數(shù)學內(nèi)容在現(xiàn)實生活中的原型。15.設則必有（）。A、AP1P2=BB、AP2P1=BC、P1P2A=BD、P2P1A=B16.針對“函數(shù)的圖象”中有關圖象變換的問題，很多學生抓不住相位變換的實質，請你對此設計幾個問題，通過設問使學生能更好的掌握。17.簡述新課程標準中對于評價的要求。18.四面體的頂點和各棱的中點共10個點。 （1）設一個頂點為A，從其他9點中取3個點，使它們和點A在同一平面上，不同的取法有多少種？ （2）在這10點中取4個不共面的點，不同的取法有多少種？19.根據(jù)新課程標準的要求，論述如何選擇合適的素材幫助學生掌握集合的性質與運算。20.已知A，B均是n階矩陣，A2=A，B2=B，（A+B）2=A+B，證明AB=0。21.下列關于高中數(shù)學課程中促進多元化評價的說法不正確的是（）。A、評價應以尊重被評價對象為前提，評價主體要參與學校數(shù)學教育活動，并注意主體間的溝通B、定性評價可采取評語或成長記錄等形式，評語或成長記錄中應使用激勵性語言全面、客觀地描述學生的狀況C、要重視學生做數(shù)學的過程，充分發(fā)揮數(shù)學作業(yè)在學生評價中的作用D、不提倡使用計算器、計算機等現(xiàn)代教育技術手段在評價學生學習中的運用22.下面是互聯(lián)網(wǎng)上的一段對話，請對甲、乙學習集合的情況進行簡要點評。 甲：“剛接觸集合一頭霧水，大家把在學習集合時的疑與難說些給我聽吧！” 乙：“理解集合，通俗地說，就像要把一個小區(qū)的垃圾，分放到小區(qū)設立的不同垃圾桶里面。垃圾是可以分類的，有的可以回收利用，可回收的垃圾主要包括：紙類、塑料類、金屬類、泡沫類、玻璃類等。每一類都是一個集合，每一件垃圾都是某集合的元素。集合申元素的互異性、無序性、確定性就不用說了，曉得就行。某類垃圾就是我們書寫集合的那個框框而已，就這么簡單。至于子集、全集、補集單從詞義上就可以理解。實在不行，打開書反復看，總會理解其內(nèi)涵的?！?幾天后 甲：“自學了N天，感覺也不難了。呵呵！”23.旋轉曲面是（）。A、xOy平面上橢圓繞y軸旋轉成的橢球面B、xOy平面上橢圓繞x軸旋轉成的橢球面C、xOz平面上橢圓繞y軸旋轉成的橢球面D、xOz平面上橢圓繞z軸旋轉成的橢球面24.“大于”與“小于”這兩個概念屬于（）關系。A、矛盾關系B、對立關系C、從屬關系D、同一關系25.試論述把算法加入數(shù)學課程的原因。第3卷一.參考題庫(共25題)1.案例：某教師在對基本初等函數(shù)進行教學時，給學生出了如下一道練習題： 問題：（1）指出該生解題過程中的錯誤，分析其錯誤原因； （2）給出你的正確解答； （3）指出你在解題時運用的數(shù)學思想方法。2.下面是一段關于先學函數(shù)還是先學映射的討論。根據(jù)《新課標》的要求，談談你對這一問題的認識。 甲：從去年開始，高一教材安排的是先講函數(shù)概念，后講映射概念。而以往教材是先講映射，后講函數(shù)。我個人認為改動的必要性不大。 乙：先講映射，再講函數(shù)，這樣做教師比較熟悉，心理上容易接受；先講函數(shù)再講映射，可能立意于從初中函數(shù)入手，是從學生角度考慮問題。但哪個好，還說不清楚，需要經(jīng)過實踐檢驗。 丙：先學映射后學函數(shù)，是從一般到特殊。先講函數(shù)后講映射，是從特殊到一般，更符合認識的規(guī)律。 ?。哼€是先講函數(shù)的好，函數(shù)是映射的特殊形式啊！這樣也符合數(shù)學中從特殊到一般的規(guī)律。 戊：我個人覺得，先學映射，后學函數(shù)比較好。我覺得，學習函數(shù)概念，不比學習映射簡單多少。還不如把一般的東西學好，再學習一些特例。（就像你學了函數(shù)概念后，再慢慢學一次函數(shù)、二次函數(shù)。）我個人學其他東西也喜歡先學基礎的，再學具體的。 己：不用那么嚴格區(qū)分哪個先，哪個后，只要不一起講就行。以前我們讀書時是先映射后函數(shù)，也不是過來了嗎？現(xiàn)在倒過來講，沒覺得學生不舒服啊。 庚：對基礎較好的學生，我認為先講映射好一些，對基礎不太好、理解能力較弱的學生，先講函數(shù)好一些。 辛：我認為先講函數(shù)好。時代在進步，以往的教材符合過去的時代，現(xiàn)的教材符合現(xiàn)在孩子的心理，先講函數(shù)孩子們不會感到陌生，反而覺得很親切，這樣學起來才有信心和動力。3.高中"方程的根與函數(shù)的零點"（第一節(jié)課）設定的教學目標如下： ①通過對二次函數(shù)圖象的描繪，了解函數(shù)零點的概念，滲透由具體到抽象思想，領會函數(shù)零點與相應方程實數(shù)根之間的關系， ②理解提出零點概念的作用，溝通函數(shù)與方程的關系。 ③通過對現(xiàn)實問題的分析，體會用函數(shù)系統(tǒng)的角度去思考方程的思想，使學生理解動與靜的辨證關系。掌握函數(shù)零點存在性的判斷。 完成下列任務： （1）根據(jù)教學目標，設計一個問題引入，并說明設計意圖； （2）根據(jù)教學目標①，設計問題鏈（至少包含三個問題），并說明設計意圖； （3）根據(jù)教學目標③，給出至少一個實例和三個問題，并說明設計意圖； （4）確定本節(jié)課的教學重點； （5）作為高中階段的基礎內(nèi)容，其難點是什么？ （6）本節(jié)課的教學內(nèi)容對后續(xù)哪些內(nèi)容的學習有直接影響？4.若A，B是正交矩陣，則下列說法錯誤的是（）。A、AB為正交矩陣B、A+B為正交矩陣C、ATB為正交矩陣D、AB-1為正交矩陣5.直線3x-4y-9=0與圓x2+y2=4的位置關系是（）。A、相交且過圓心B、相切C、相離D、相交但不過圓心6.（）是教學的基礎。A、上課B、課外工作C、備課D、考試7.Rt△ABC中，∠C=90°，BC=36，若平面ABC外一點P與平面A，B，C三點等距離，且P到平面ABC的距離PH為80，M為AC的中點。 （1）求證：PM⊥AC； （2）求P到直線AC的距離； （3）求PM與平面ABC所成角的正切值。 8.設函數(shù)z=x2y，則等于（）。A、1B、2C、1+D、2+9.為什么說幾何是認識和描述現(xiàn)實世界空間與圖形關系的重要工具？10.舉例說明在高中數(shù)學課程中，如何利用整體性質討論方程的近似解。11.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則（）。A、2B、C、1D、12.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2：3：5?，F(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本，樣本中A種型號產(chǎn)品有16件。求此樣本的容量n。13.對數(shù)學基礎知識的評價，要變側重于對知識單純的形式化背記為側重于理解基礎上的認識和記憶，評價學生能否利用概念來分析和說明問題。請舉例說明這一點。14.下列四個函數(shù)中，以π為最小正周期，且在區(qū)間（）上為減函數(shù)的是（）。A、y=cos2xB、y=2｜sinx｜C、D、y=cotx15.下列說法中不正確的是（）。A、選擇性是整個高中課程的基本理念B、在教學中，教師要幫助學生養(yǎng)成良好的學習習慣C、在教學過程中，結果是最重要的，老師要時刻關注學生的學習成績D、新課程標準強調數(shù)學文化的重要作用16.設a是數(shù)域P中一個固定的數(shù)，要使是Pn的子空間，則必有（）。A、a=0B、a≠0C、a≤0D、a≥017.設冪級數(shù)的收斂半徑分別為與，則冪級數(shù)的收斂半徑為（）。A、5B、√5/3C、1/3D、1/518.已知，， （1）求tan2α的值： （2）求β。19.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，則△ABC的形狀一定是（）。A、等腰直角三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、等邊三角形20.已知p：方程x2+mx+1=0有兩個不等負實根。q：方程4x2+4（m-2）x+1=0無實根。若p或q為真，p且q為假。求實數(shù)m的取值范圍。21.已知集合，求。22.若定義在（-1，0）內(nèi)的函數(shù)，則a的取值范圍是（）。 A、AB、BC、CD、D23.在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系。已知點A的極坐標為，直線l的極坐標方程為，且點A在直線l上。 （1）求α的值及直線ι的直角坐標方程： （2）圓c的參數(shù)方程為，試判斷直線l與圓C的位置關系。24.數(shù)學建模屬于（）試題類型。A、客觀性B、探究性C、開放性D、應用性25.已知a>1，設命題p：a（x-2）+1>0，命題q：（x-1）2>a（x-2）+1。試尋求使得p、q都是真命題的x的集合。第1卷參考答案一.參考題庫1.參考答案: 不合適。這一陳述中“理解”的含義不清，難以作為判斷學生是否已經(jīng)“理解”的標準，實際上“理解”的基本含義是學生能用概念做出判斷。因此可以改述為：能給出增函數(shù)、減函數(shù)的具體例證和圖象特征；能用函數(shù)單調性定義判斷一個函數(shù)的單調性。2.參考答案:B3.參考答案: 4.參考答案: 5.參考答案:C6.參考答案: 7.參考答案: 8.參考答案:B9.參考答案: 與傳統(tǒng)的數(shù)學教學不同的是，新課程標準要求通過大量的實際案例來講授統(tǒng)計，希望學生通過實際問題的解決來理解統(tǒng)計的思想，而不是死背公式和概念。這就要求學生掌握解決統(tǒng)計問題的全過程，這也是整個中學統(tǒng)計教學的一個指導思想。之所以如此，是因為處理統(tǒng)計問題的思維方式和傳統(tǒng)的數(shù)學思維方式有所不同，傳統(tǒng)的數(shù)學更強調演繹推理，而統(tǒng)計是根據(jù)具體數(shù)據(jù)概括出來的，更強調歸納的過程。在統(tǒng)計教學中，通過收集數(shù)據(jù)、利用圖表整理和分析數(shù)據(jù)，求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、進行統(tǒng)計推斷，這就是通過對數(shù)據(jù)的處理，歸納出數(shù)據(jù)特征的過程。在高中階段，學習統(tǒng)計不是從定義定理出發(fā)，而是從具體的實例出發(fā)，這有助于幫助學生了解和掌握解決一個統(tǒng)計問題的全過程：提出統(tǒng)計問題、收集信息、整理信息、從中提取信息并說明問題。因此，要特別注重統(tǒng)計的過程，即讓學生經(jīng)歷“收集數(shù)據(jù)一整理數(shù)據(jù)一分析數(shù)據(jù)一作出推斷”的數(shù)據(jù)處理全過程，在此過程中學習一些數(shù)據(jù)處理的方法，運用所學的知識和方法去解決實際問題，并培養(yǎng)學生歸納思維的能力。10.參考答案:C11.參考答案: 12.參考答案:A13.參考答案: （1）由A表示事件“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”。 則表示事件“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”， 。 （2）η的可能取值為200元，250元，300元， η的分布列為 Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240。14.參考答案:D15.參考答案: 16.參考答案: 17.參考答案:D18.參考答案: （1）甲教師從實際問題入手，利用計算機演示用二分法思想查找故障發(fā)生點，通過演示讓學生初步體會二分法的算法思想與方法，說明二分法原理源于現(xiàn)實生活，并在現(xiàn)實生活中廣泛應用。乙教師利用視頻與游戲的形式，學生會踴躍參與；商品價格競猜也是學生熟悉的，競猜的方法多樣，可以進行競賽；通過問題，啟發(fā)學生尋找確定區(qū)間的依據(jù)，為后面探索"用二分法求方程近似解"埋下伏筆。 （2）首先，新課程標準強調函數(shù)的應用，用二分法求方程的近似解體現(xiàn)了函數(shù)在數(shù)學其他方面的應用。概括來說，函數(shù)應用表現(xiàn)在兩個方面，一是在數(shù)學其他方面的應用；二是在其他科學領域和實際問題中的應用。其次，二分法簡便而又應用廣泛，用在求方程的近似解方面是依據(jù)了方程解存在的重要結論，即函數(shù)的應用。二分法求方程的解這一內(nèi)容也是函數(shù)思想存在的一個良好載體。二分法還是數(shù)學必修3中算法學習的一個鋪墊。在教學中可以用框圖表示二分法求方程近似解的流程。再次，二分法樸素地體現(xiàn)了數(shù)學逼近的過程，二分法雖然簡單，但包含了許多以后可以在其他地方運用和推廣的樸素的思想，如"整體一局部"、"定性一定量"、"精確一近似"、"計算一技術"等。這些數(shù)學思想發(fā)展的過程，具有萌發(fā)數(shù)學思想的數(shù)學教育價值。19.參考答案:C20.參考答案:B21.參考答案: 22.參考答案:C23.參考答案: 本節(jié)課中的實驗不僅沒有任何積極意義，反而轉移了學生的注意力，并且掩蓋了思維活動。因為面對變化的現(xiàn)象，想到用函數(shù)的圖象來考察這個變化是有一個思考、探索、認定的過程的?？墒窃谏厦娴慕虒W設計中，這個過程都被電腦繪出的曲線掩蓋了，因而，這樣的問題情境是無效的.24.參考答案:D25.參考答案: 把"過程與方法"作為課程目標是本次課程改革最大的變化之一。在以前的《大綱》中，都在不同程度上強調了"過程與方法"的重要性，但是，這次課程改革把過程與方法作為課程目標。這樣，"過程與方法"不再是可有可無的東西，而是必須實現(xiàn)的基本目標，我們必須認識到這種變化不僅力度大，而且有非常重要的意義。實際上，在長期的教學活動中，優(yōu)秀的教師不僅關注學生對知識技能的掌握，而且關注掌握知識技能的過程，包括知識的來龍去脈，結論的背景、產(chǎn)生過程和意義，獲取知識的能力和方法等等。在數(shù)學知識技能中，蘊涵著一些重要的數(shù)學思想和方法。學習的目的，不僅在于掌握數(shù)學知識技能和結果，更重要的是經(jīng)歷形成這些數(shù)學知識技能的過程，體會其中所蘊涵的數(shù)學思想和方法，學會運用這些思想和方法去學習其他的知識，并能從中感悟數(shù)學的作用和價值，提高學生學習數(shù)學的興趣，樹立學生學好數(shù)學的信心。因此，在教學活動中，不僅要關注學生對知識技能的掌握，而且要特別關注掌握知識技能的過程。第2卷參考答案一.參考題庫1.參考答案:A2.參考答案: 3.參考答案: 在自然科學和社會科學以及當前市場經(jīng)濟中，人們碰到越來越多地隨機現(xiàn)象。對隨機現(xiàn)象有一個較清楚的認識，成為每一個公民文化素質的基本要求，這正是高中開設概率課程的基本目的。過去的概率課，往往把重點放在用排列組合計算古典概率上，而忽略了對概率本身的理解。排列組合的題目可以很難，這樣在教學中就可能把學習的重點變成如何計數(shù)，而不是如何理解隨機現(xiàn)象，其結果會導致學生學完后，并不能很好地認識周圍發(fā)生的隨機現(xiàn)象，如天氣預報，彩票中獎等。而在新課程標準中，更強調對隨機現(xiàn)象的認識，所以把概率的教學安排在排列組合知識學習之前。不僅在中學，大學的統(tǒng)計概率課程也在做調整。在本科教育中，不論是數(shù)學還是非數(shù)學專業(yè)中，有兩個大的趨勢，一個是統(tǒng)計的比重會大大加強；另一個是在概率課程中，減小古典概率的比重，淡化在古典概率中計數(shù)（排列、組合）的難度，強化對隨機思想的理解。4.參考答案: 第二個教學情境的創(chuàng)設更好。第一位教師的創(chuàng)設存在優(yōu)點也存在缺陷。優(yōu)點是他聯(lián)系現(xiàn)實背景設計教學，非常實在，學生通過教師的教學能夠知道現(xiàn)實生活需要研究點到直線的距離，激發(fā)了學習的動機。缺陷在于：一方面是學生不知道老師今天為什么突然提出這樣一個問題，只能機械地配合老師去探索；另一方面教師剝奪了學生研究問題的策略。而第二位教師能夠從數(shù)學本身出發(fā)，讓學生感受數(shù)學研究的策略，加強了數(shù)學的內(nèi)在知識結構的聯(lián)系，引導學生發(fā)現(xiàn)自己所研究的方向。如果第二位教師在教學過程中能夠在補充地問學生一句：“在現(xiàn)實生活中也需要得到點與直線、平行直線間的距離，你能夠舉出例子嗎？”那么，這位教師就既能夠注重數(shù)學的研究規(guī)律又不忽視實際的聯(lián)系，這樣的教學設計將更有意義。5.參考答案: 理論與實踐相結合，既是認識論與方法論的基本原理，又是教學論中的一般原理。而研究數(shù)學理論和發(fā)展理論的目的，最終還是為了用于實踐。數(shù)學的發(fā)展正是沿著"實踐、認識、再實踐、再認識"的規(guī)律不斷發(fā)展著。每一次的實踐，肯定了一些理論，提出一些問題，推動著理論的發(fā)展。這一原則是數(shù)學特點所決定的。數(shù)學雖是非?，F(xiàn)實的，但舍去了與數(shù)量關系和空間形式無關的性質，以致它以高度抽象的形式出現(xiàn)。這就要求在教學的時候，不僅要聯(lián)系實際來闡明理論，還要適當?shù)?、有機地使理論與實際交叉進行。此原則也是培養(yǎng)學生分析問題與解決問題能力所需要的。因為這個能力主要是指如何使學生把實際問題歸結為數(shù)學問題的能力。顯然，這就要求學生明確抽象理論的實際意義，并了解從實際現(xiàn)象上升為理論的探討過程。數(shù)學的內(nèi)容是依邏輯的順序進行安排，并按照理論循序漸進地展開的，所以并非每一個抽象理論都反映具體實際現(xiàn)象。另外，由于數(shù)學各項理論內(nèi)容的繁簡與學生理解能力的強弱不同，故在教學中使理論與實踐結合穿插進行的密度也不一致，因此必須適當、有機地進行。且隨著年級的增高、個別理論難度加大，穿插進行的密度也相對地減小。6.參考答案:A7.參考答案: 在高中數(shù)學課程中，算法內(nèi)容的設計分為兩部分：一部分主要介紹算法的基礎知識，可以稱作算法的“三基”：算法基本思想，算法基本結構，算法基本語句。另一部分通過一些具體的案例介紹算法的基本思想，使學生了解：為了解決一個問題，設計出解決問題的一系列步驟。任何人實施這些步驟就可以解決問題，這就是解決這個問題的一個算法。這是對算法的一種廣義的理解。算法的基本結構一般有三種：順序結構、分支結構、循環(huán)結構。算法的基本語句有輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句等等。因此，高中數(shù)學課程對算法教學的定位，重在“算理”，學生通過學習算法能初步理解和體會算法的思想，并能根據(jù)實際問題設計出相應的算法框圖。計算機課程的算法側重于算法框圖用算法語言編程，使其能在計算機上實現(xiàn)。現(xiàn)在使用的算法語言是很多的，例如BASIC語言、PASCAL語言、C語言等等。在高中的數(shù)學課程中，不要求介紹算法語言，僅僅需要了解基本語句。在不同的語言中，這些語句的表示可能不一樣，數(shù)學課程要求采用公認的統(tǒng)一表示，稱為偽代碼。偽代碼很容易被翻譯成任何一種算法語言。8.參考答案: （1）實例①：2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運會上，女子舉重被正式列為比賽項目。該項目共設置了7個級別。其中較輕的4個級別體重組成數(shù)列（單位：kg）：48，53，58，63。 實例②：水庫的管理人員為了保證優(yōu)質魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清理水庫的雜魚。如果一個水庫的水位為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5。 實例③：我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計算下一期的利息。按照單利計算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×存期）。例如，按活期存入10000元錢，年利率是0.72%。那么按照單利，5年內(nèi)各年末的本利和分別是： 各年末的本利和（單位：元）組成了數(shù)列：10072，10144，10216，10288，10360。 設計意圖：引導學生首先從三個現(xiàn)實問題（女子舉重獎項設置問題、水庫水位問題、儲蓄問題）概括出數(shù)組特點并抽象出等差數(shù)列的概念。 （2）問題①：求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項。 問題②：-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，…的項？如果是，是第幾項？ 設計意圖：從該例題中可以看出，等差數(shù)列的通項公式其實就是一個關于an、a1、d、n（獨立的量有3個）的方程，通過此例題讓學生懂得利用通項公式來判斷所給的數(shù)是不是數(shù)列中的項，當判斷是第幾項的項數(shù)時還應看求出的項數(shù)是否為正整數(shù)，如果不是正整數(shù)，那么它就不是數(shù)列中的項。 （3）教學重點：理解等差數(shù)列的概念及其性質，探索并掌握等差數(shù)列的通項公式；會用公式解決一些簡單的問題，體會等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的聯(lián)系。 （4）教學難點：概括通項公式推導過程中體現(xiàn)出的數(shù)學思想方法。 （5）數(shù)列是高中數(shù)學重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用。一方面，數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面，學習數(shù)列也為進一步學習數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準備。而等差數(shù)列是在學生學習了數(shù)列的有關概念和給出數(shù)列的兩種方法--通項公式和遞推公式的基礎上，對數(shù)列的知識進一步深入和拓廣。同時等差數(shù)列也為今后學習等比數(shù)列提供了學習對比的依據(jù)。9.參考答案: 例如，在教學過程中可以設問：△ABC中，三邊a、b、c成等差數(shù)列，由此可得哪些結果？這是一個結論開放的問題，由三邊成等差數(shù)列，聯(lián)系三角形的有關定理、公式如正弦定理、余弦定理、射影定理、面積公式以及其他三角、幾何定理公式，可得到許多結果，諸如等等。通過對這個問題的探討，不僅使學生復習鞏固了所學知識，將多學科的許多不同思想方法都聯(lián)系到了一起，而且充分鍛煉了思維的多向性、靈活性和創(chuàng)造性。10.參考答案: 如圖，PD是三棱錐的高，則D是△ABC的中心，延長PD交球于E，則PE就是外接球的直徑，，則，而AP⊥AE，則PA=PD·PE，那么. 11.參考答案: 這種觀點是錯誤的。在《新課標》中，數(shù)學建模與數(shù)學探究、數(shù)學文化是一個重要的學習領域?！缎抡n標》要求高中階段的學習要讓學生結合實際問題，“感受運用函數(shù)概念建立模型的過程和方法”，“力求對現(xiàn)實世界中蘊涵的一些數(shù)學模型進行思考和做出判斷”，收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等）的實例，了解函數(shù)模型的廣泛應用，體會運用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實生活問題的重要性?？梢姡缎抡n標》是十分強調學生親身經(jīng)歷建模過程的重要性的。事實上，數(shù)學建模是培養(yǎng)學生問題意識和應用意識的重要載體。通過數(shù)學建模，學生能體驗數(shù)學在解決實際問題中的作用、數(shù)學與日常生活及其他學科的聯(lián)系，從而能促進學生逐步形成和發(fā)展數(shù)學應用意識，提高實踐能力。在通過數(shù)學建模解決問題的過程中，學生能逐漸積累經(jīng)驗，對數(shù)學的本質會有更多的思考，會意識到“數(shù)學可以解決實際問題”，并且也認識到“自己的數(shù)學知識還有待提高”，增強探究和解決問題的意識，逐步提高數(shù)學應用的水平。12.參考答案:C13.參考答案:學習幾何通常要經(jīng)歷直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等幾個階段。學生通過觀察實物模型、空間幾何體等，直觀認識和理解空間圖形的性質以及空間點、線、面的位置關系，并用數(shù)學語言表述這些性質。在此基礎上通過直接觀察、操作確認得出空間點、線、面的基本性質，以這些基本性質作為推理的出發(fā)點，探索并證明空間點線面位置關系的一些其他性質。這是一個對空間圖形進行探索、研究、建立幾何模型的過程，體現(xiàn)了合情推理與演繹推理的結合，這個過程能培養(yǎng)和發(fā)展學生的合情推理和演繹推理的能力。14.參考答案: 函數(shù)有豐富的實際背景，出租車的計價、郵局寄包裹的計費都是分段函數(shù)的實際應用；考古學中也應用到了指數(shù)函數(shù)的性質；簡諧振動的數(shù)學模型就是三角函數(shù)；平拋運動抽象為數(shù)學模型就是二次函數(shù)。又例如：儲蓄中的單利問題是等差數(shù)列模型，復利問題是等比數(shù)列模型。算法中的取最小值問題、排序問題都是實際中常見的。生活中的擲硬幣決勝負、抽簽決定出場次序都是概率模型在生活申的應用。在研究力和速度時，向量就是很好的模型。宇宙天體的運行軌道、鉛球出手后的運動軌跡、汽車的廣角燈等，都是圓錐曲線模型在實際中的應用。通過這些實際例子，可以幫助我們更深刻地理解數(shù)學中的重要概念，有了對于這些重要概念（模型）的本質理解，就可以更好地利用這些模型采刻畫（描述）實際問題。15.參考答案:C16.參考答案: 針對“函數(shù)的圖象”中有關圖象變換的問題，很多學生抓不住相位變換的實質，對此可以設計以下幾個問題： ①將函數(shù)的圖象上所有的點向左平移個單位，所得圖象的解析式是什么？ ②將函數(shù)的圖象上所有的點向左平移個單位，所得圖象的解析式是什么？ ③將函數(shù)y=f（x）的圖象上所有的點向左平移個單位后得到函數(shù)y=sin2x的圖象，那么y=f（x）的解析式是什么？ 然后通過作圖、比較、分析，搞清楚變換的實質是“平移變換是針對自變量的變換（自身的變換）”。17.參考答案: 新課程標準中提倡評價既要關注學生數(shù)學學習的結果，也要關注他們數(shù)學學習的過程；既要關注學生數(shù)學學習的水平，也要關注他們在教學活動中所表現(xiàn)出來的情感態(tài)度的變化。除了給學生打分的終結性評價之外，更多地提倡過程性評價，即關注對學生理解數(shù)學概念、數(shù)學思想等過程的評價，關注對學生提出、分析、解決問題等過程的評價以及在學習過程中表現(xiàn)出來的與人合作的態(tài)度、表達與交流的意識以及實踐能力、探索和創(chuàng)新的精神、堅韌不拔的意志等方面的評價。18.參考答案: （1）如圖，含頂點A的四面體的三個面上，除點A外都有5個點，從中取出3點必與點A共面，共有3C53種取法。 含頂點A的棱有三條，每條棱上有3個點，它們與所對棱的中點共面，共有3種取法，根據(jù)分類計數(shù)原理和點A共面三點取法共有3C53+3=33種。 （2）取出的4點不共面比取出的4點共面的情形要復雜，故采用間接法：先不加限制任取4點（C104種取法）減去4點共面的取法。 取出的4點共面有三類：第一類：從四面體的同一個面上的6點取出4點共面，有4C64種取法；第二類：每條棱上的3個點與所對棱的中點共面，有6種取法；第三類：從6條棱的中點取4個點共面，有3種取法，根據(jù)分類計數(shù)原理4點共面取法共有4C64+6+3=69。 故取4個點不共面的不同取法有C104-4C64+6+3）=141（（種）。 19.參考答案: 新課程標準就集合的學習指出：“集合是一個不加定義的概念，教學中應結合學生的生活經(jīng)驗和已有的數(shù)學知識，通過列舉豐富的實例，使學生理解集合的含義?！边@就告訴我們，學習集合時重在集合的含義，包括集合之間的關系的含義寫表達，集合的運算是什么。在本單元的教學過程中，教師應以學生已有的數(shù)學知識為基礎，引導學生對以往所學的數(shù)學內(nèi)容用集合的形式來回顧、梳理，例如用集合表述自然數(shù)、整數(shù)、方程的解或不等式的解等。以這些知識為背景獲得學生運用集合語言進行表達和交流的情境和機會，同時與自然語言、圖形語言進行轉換和比較，使學生體會自然語言、圖形語言、集合語言各自的特點，進而感受用集合表示數(shù)學內(nèi)容的簡潔性和準確性。20.參考答案: 由（A+B.2=A2+AB+BA+B2=A+B+AB+BA=A+B，得AB+BA=0①。對①式分別用A左乘和右乘，并把A2=A代入得AB+ABA=0，ABA+BA=0，兩式相減得AB-BA=0②。①+②得2AB=0，所以AB=0。21.參考答案:D22.參考答案: 這段對話很有意思，一方面，表現(xiàn)出甲的求知欲很強和開始學集合時的無奈，但在乙的引導下終于自學成功。另一方面，可以看出乙對知識的理解和學習建議確實很好，垃圾分類的例子很生動，短短的一段話，深入淺出。23.參考答案:B24.參考答案:B25.參考答案: 1.時代的需要算法嚴格地說是數(shù)學的一個分支，它有自己的體系，它滲透到很多數(shù)學分支，尤其是應用數(shù)學分支。從另一個角度看，計算機科學的飛速發(fā)展對數(shù)學的發(fā)展起了極大的推動作用，它開拓了數(shù)學研究的領域，豐富了數(shù)學研究的方法，加強了數(shù)學與其他學科的聯(lián)系，拓展了數(shù)學的應用范圍。所有這一切，算法起了重要的作用。了解算法的基礎知識和基本應用，對一個人的發(fā)展是非常重要的。 2.與傳統(tǒng)的內(nèi)容有密切的聯(lián)系算法并不是一個十分陌生的內(nèi)容。雖然在傳統(tǒng)的數(shù)學內(nèi)容中沒有出現(xiàn)過這個名詞，但它的思想反復體現(xiàn)在傳統(tǒng)的數(shù)學內(nèi)容中，可以說滲透到了大部分內(nèi)容之中。 3.能引起學生的興趣算法的特點是可以操作、可以檢驗，在條件允許的學?？梢宰寣W生在計算機上實現(xiàn)，這些都是受學生歡迎的，它們會使學生產(chǎn)生成就感。4.對教師沒有太大的難度算法的內(nèi)容對教師來說，難度不大，經(jīng)過培訓就能完全掌握。有些教研室和學校采取了一些有效的措施，例如分成小組、分工備課、集體研討、教案共享，很好地解決了這個問題。5.算法將對未來的數(shù)學課程產(chǎn)生很大的影響算法進入高中是一件大事，會產(chǎn)生一系列的連鎖反應，估計下面的一些情況會引起數(shù)學教育工作者的關注和研究。 （1）大學課程設計中，會對算法的內(nèi)容給予更多的關注。有一些學校已經(jīng)開設“算法”的選修課；有的學校把“算法”和相關的課程有機地結合起來。“算法”在大學數(shù)學教育中會成為關注的問題之一。 （2）“算法”的內(nèi)容會以某種方式滲透到初中和小學，這～點是需要認真研究的課題。 （3）“算法”的內(nèi)容進入高中，給出一個明確的導向，數(shù)學教育將更加關注“通性通法”，強化基本技能，淡化技巧。 （4）“算法”是培養(yǎng)邏輯推理能力的非常好的載體。“算法”在數(shù)學教育中的地位和作用應該成為數(shù)學教育研究的重要方面。第3卷參考答案一.參考題庫1.參考答案: 2.參考答案: 函數(shù)是一種兩個實數(shù)集合之間的對應關系，而映射是一種兩個集合之間的對應關系。映射的思想和函數(shù)的思想在本質上是一樣的，只是它們連接的兩類對象不同?！缎抡n標》中有關函數(shù)教學指導性意見的描述是這樣的，“函數(shù)概念的引入一般有兩種方法，一種方法是先學習映射，再學習函數(shù)；另一種方法是通過具體實例，體會數(shù)集之間的一種特殊的對應關系，即函數(shù)?？紤]到多數(shù)高中學生的認知特點，為了有助于他們對函數(shù)概念本質的理解，建議采用后一種方式，從學生已掌握的具體函數(shù)和函數(shù)的描述性定義入手，引導學生聯(lián)系自己的生活經(jīng)歷和實際問題，嘗試列舉各種各樣的函數(shù)，構建函數(shù)的一般概念”。這是教學建議，是一種傾向性意見，并不是硬性規(guī)定，這個建議的道理也很簡單，注重了從特殊到一般的思維形式，突出了函數(shù)概念的實際背景，從大量的兩個變量之間的相依關系中歸納出函數(shù)的概念，理解函數(shù)的意義。這也為學習、理解更加抽象的映射奠定了基礎。另外，在《新課標》中，關于映射只有一句話，即“了解缺射的概念”。3.參考答案: （1）問題引入：求方程3x2+6x-1=0的實數(shù)根。 變式：解方程3x5+6x-1=0的實數(shù)根。（一次、二次、三次、四次方程的解都可以通過系數(shù)的四則運算，乘方與開方等運算來表示，但高于四次的方程不能用公式求解。大家課后去閱讀本節(jié)后的"閱讀與思考"，還有如lnx+2x-6=0的實數(shù)根很難下手，我們尋求新的角度--函數(shù)來解決這個方程的問題。） 設計意圖：從學生的認知沖突中，引發(fā)學生的好奇心和求知欲，推動問題進一步的探究。通過簡單的引導，讓學生課后自己閱讀相關內(nèi)容，培養(yǎng)他的自學能力和更廣泛的興趣。開門見山的提出函數(shù)思想解決方程根的問題，點明本節(jié)課的目標。 （2）問題①：求方程x2-2x-3=0的實數(shù)根，并畫出函數(shù)y=x2-2x-3的圖象； 問題②：觀察形式上函數(shù)y=x2-2x-3與相應方程x2-2x-3=0的聯(lián)系。 問題③：由于形式上的聯(lián)系，則方程x2-2x-3=0的實數(shù)根在函數(shù)y=x2-2x-3的圖象中如何體現(xiàn)？ 設計意圖：以學生熟悉二次函數(shù)圖象和二次方程為平臺，觀察方程和函數(shù)形式上的聯(lián)系，從而得到方程實數(shù)根與函數(shù)圖象之間的關系。理解零點是連接函數(shù)與方程的結點。 （3）實例：如果把函數(shù)比作一部電影，那么函數(shù)的零點就像是電影的一個瞬間，一個鏡頭。有時我們會忽略 一些鏡頭，但是我們?nèi)匀荒芡茰y出被忽略的片斷?，F(xiàn)在我有兩組鏡頭（圖略），哪一組能說明他的行程一定曾渡過河？ 設計意圖：從現(xiàn)實生活中提出的問題，讓學生體會動與靜的關系，系統(tǒng)與局部的關系。 問題①：將河流抽象成x軸，將前后的兩個位置視為A、B兩點。請問當A、B與x軸是怎樣的位置關系時，AB間的一段連續(xù)不斷的函數(shù)圖象與x軸一定會有交點？ 設計意圖：將現(xiàn)實生活中的問題抽象成數(shù)學模型，進行合情推理，將原來學生只認為靜態(tài)的函數(shù)圖象，理解為一種動態(tài)的過程。 問題②：A、B與x軸的位置關系，如何用數(shù)學符號（式子）來表示？ 設計意圖：由原來的圖象語言轉化為數(shù)學語言。培養(yǎng)學生的觀察能力和提取有效信息的能力。體驗語言轉化的過程。 問題③：滿足條件的函數(shù)圖象與x軸的交點一定在（a，B)內(nèi)嗎？即函數(shù)的零點一定在（a，B)內(nèi)嗎？ 設計意圖：讓學生體驗從現(xiàn)實生活中抽象成數(shù)學模型時，需要一定修正。加強學生對函數(shù)動態(tài)的感受，對函數(shù)的定義有進一步的理解。 （4）教學重點：了解函數(shù)零點的概念，體會方程的根與函數(shù)零點之間的聯(lián)系，掌握函數(shù)零點存在性的判斷。 （5）教學難點：準確認識零點的概念，在合情推理中讓學生體會到判定定理的充分非必要性，能利用適當?shù)姆椒ㄅ袛嗔泓c的存在或確定零點。 （6）本節(jié)課是在學生學習了《基本初等函數(shù)（Ⅰ）》的基礎上，學習函數(shù)與方程的第一課時，本節(jié)課中通過對二次函數(shù)圖象