立體幾何與空間向量

目錄

一、異面直線所成角..............................................................................1

二、直線與平面所成角............................................................................4

三、二面角問題.................................................................................12

四、存在性問題與折疊問題(綜合)...............................................................23

一、異面直線所成角

注意向量的夾角與異面直線所成的角的區(qū)別：當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角

時(shí)，就是此異面直線所成的角；當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是異面直

線所成的角.

1、如圖，在四棱錐P-ABC。中，出_L平面ABCC,底面A8CD是菱形，AB=2,ZBAD=

60°.

(1)求證：8。，平面R1C;

(2)若%=AB,求PB與AC所成角的余弦值.

【解】(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛8CD是菱形，所以AC_L8/).

因?yàn)橛?，平面A8CQ,所以用

又因?yàn)?CnM=4,所以801.平面以C.

(2)設(shè)ACC8。=。.

因?yàn)?BAO=60。，PA=AB=2,

所以8。=1,AO=CO=y[?>.

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。孫z,

則P(0,一小，2),4(0，一小，0),8(1,0,0),C(0,小，0).

所以諭=(1,小，-2),危=(0,2小，0).

設(shè)PB與AC所成角為仇則

_6_^6

~2yj2X2\f3~4,

即PB與AC所成角的余弦值為小.

2、如圖，在三棱錐尸-A2C中，％J_底面ABC,N5AC=90。.點(diǎn)。，E,N分別為棱B4,PC,

8c的中點(diǎn)，M是線段4。的中點(diǎn)，必=4C=4,4B=2.

(1)求證：MN〃平面8OE；

(2)己知點(diǎn)，在棱以上，且直線N”與直線BE所成角的余弦值為當(dāng)，求線段4H的長(zhǎng).

解：如圖，以A為原點(diǎn)，分別以AC,肝的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間

直角坐標(biāo)系.依題意可得4(0,0,0),8(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),0(0,0,2),

E(0,2,2),M(0,0,I),Ml，2,0).

(1)證明：DE=(0,2,0),DB=(2,0,-2).

設(shè)〃=(x,y,z)為平面的法向量，

n撫=0,2y=0,

則.即.

2x—2z=0.

_nDB=0,

不妨設(shè)z=l,可取〃=(1,0,1).

又加=(1,2,-1),可得加?"=().

因?yàn)槠矫鍮DE,

所以MN〃平面BDE.

(2)依題意，設(shè)AH=〃(0W〃W4),則4(0,0,h),

進(jìn)而可得而/=(-1,-2,h),BE=(~2,2,2).

由已知，得|cos<NH,BE)空)■

\NH\\BE\

\2h~2\V7

一52+5X24―21，

Q1

整理得I0/I2-21/?+8=0,解得力=5或人=不

Q1

所以，線段A”的長(zhǎng)為1或‘

3、如圖所示，菱形A8CD中，ZABC=60°,AC與8。相交于點(diǎn)0,AE_L平面ABC。，CF

//AE,AB=AE=2.

(1)求證：BOJ_平面ACFE；

(2)當(dāng)直線R?與平面BE。所成的角為45。時(shí)，求異面直線。尸與BE所成角的余弦值的大小.

解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛8C。是菱形，

所以BDLAC.

因?yàn)锳E_L平面ABCO,8OU平面ABCC,

所以BD1.AE.

又因?yàn)锳CCAE=4,AC,AEU平面ACFE.

所以8O_L平面ACFE.

(2)以。為原點(diǎn)，0A,08所在直線分別為x軸，y軸，過點(diǎn)。且平行于CF的直線為z

軸(向上為正方向)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則B(0,4，0),0(0,一小，0),E(l,0,2),F(~l,0,。)伍＞0),OF=(~1,0,

a).

設(shè)平面E8。的法向量為〃=(x,y,z),

〃OB=0,

則有，即1*

[nOE=0,〔x+2z=0，

令z=l,則zi=(-2,0,1),

由題意得sin45°=|cos〈OF,〃〉|=川

\OF)\n\

\2+a\y[2

.?+].小2'

解得4=3或4=—g(舍去).

所以5>=(—1,0,3),近=(1,一小，2),

8s(OF,BE)=君蒜等,

故異面直線OF與8E所成角的余弦值為李.

二、直線與平面所成角

利用向量求直線與平面所成的角有兩個(gè)思路：①分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的

方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；②通過平面的法向量來(lái)求，即求出斜

線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角.

注意夾角的取值范圍：若直線/與平面a的夾角為仇直線/的方向向量，與平面a的法向

TT7T

量”的夾角為則9~2~P或6=4—

1、如圖，在幾何體ACO-ABiG。中，四邊形AOS4與四邊形COQG均為矩形，平面

ADDiA」平面CQCiG，814」平面4。。小，AD=CD=l,A4i=ABi=2,E為棱AAi的

中點(diǎn).

(I)證明:BiGJL平面CGE;

(2)求直線81G與平面BCE所成角的正弦值.

【解】(I)證明：因?yàn)橐?,平面ADDi4，所以BIAJCDI，又。BiAlDDiAi

=4,

所以￡>C1_L平面AiBiCiDi,

又DD"CC\、所以CCJ平面Ai&CQi.

因?yàn)锽iGU平面AiBGOi，所以CCJBiCi.

因?yàn)槠矫鍭ODiAiJ?平面COCiCi，平面AD￡)i4ri平面CDGG=〃Di，CiDi±DD|,

所以CQi-L平面ADDiAi.

經(jīng)計(jì)算可得2iE=小，BiC尸?EC尸小,

從而B\E?=B\C]+EC\,

所以在△5EG中，BiCi±C)￡.

又CG，GEU平面CGE,CCinCiE=Ci，

所以81cl_L平面CC\E.

(2)如圖，以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得4(0，0,0),C(l,0,1),

81(0,2,2),Ci(l,2,I),E(0,1,0),

則在=(一1,1,-1),Bjc=(l,-2,-1).

///,J8IC=0?

設(shè)平面3ICE的法向量為〃I=(R,y,z),則,

mCE=3

Lr—2y-z=0,

即1:消去x得y+2z=0,

[-x+y—z=0,

不妨設(shè)z=l,可得m=(-3,—2,1)為平面8CE的一個(gè)法向量,

易得瓦2]=(1,0,-1),設(shè)直線8]G與平面8CE所成角為以

一4_2巾

則sin6=|cos(m,B\C\)|=VT4XA/2=7,

\m\?|BiCi|

故直線BQ與平面8CE所成角的正弦值為邛7

2、如圖，在四棱錐P-A8CD中，AP_L平面PCD,ADIIBC,ABIBC,

AP=AB=BC=-AD,E為4。的中點(diǎn)，AC與BE相交于點(diǎn)O.

2

⑴證明：PO_L平面48CD.

⑵求直線BC與平面PBD所成角的正弦值.

【解析】⑴證明：?.?APJ_平面PCD,CQu平面PCD,??.AP，CD，

ADIIBC,BC=LAD,"為AD的中點(diǎn)，則BC//DE且BC=OE.

2

二四邊形8CDE為平行四邊形，：.BE//CD,.-.APA.BE.

又?.?A8LBC,A5=BC=LA。，且E為4D的中點(diǎn)，，四邊形A8CE為正方形,

2

:.BE上AC,又APnAC=A.?.跖，平面APC，

???POu平面APC，則5ELPO.

AP，平面PCD,PCu平面PCD,AP_LPC,

乂4c=J5AB=JI4P，為等腰直角三角形，

???。為斜邊4：上的中點(diǎn)，，。0,4。且4。08石=0,，。0，平面98.

⑵解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,如圖所示

不妨設(shè)08=1,則B(1,O,O),C(O,1,O),尸(0,0,1),。(—2,1,0),

貝辰=(一1,1,0),而=(1,(),一1),PD=(-2,1,-1).

設(shè)平面PBD的法向量為n=(x,y,z),

n-PB=0,x-z=O,X=Z,

則〈—即《即<

n-PD-0,-2x+y—z=0,J=3z,

令z=l，得幾=(1,3,1).

設(shè)BC與平面PBD所成角為0，

|-lxl+3xl+0xl|x/22

則sin8=cos<BC,n>|=

Vl2+32+l27(-l)2+l2IT

3、如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形,BFL平面ABCD,DEA.平面ABCD,

BF=DE,M為棱AE的中點(diǎn).

(1)求證：平面BDW〃平面EFC；

(2)若DE=2AB,求直線AE與平面所成角的正弦值.

解：(1)證明：連接4C,交BO于點(diǎn)N,連接仞V,

則N為AC的中點(diǎn)，

又M為AE的中點(diǎn)，所以MN〃EC.

因?yàn)镸NQ平面EFC,ECU平面EFC,

所以MN〃平面EFC.

因?yàn)?F,力E都垂直底面A8C7),所以BF〃DE.

因?yàn)锽F=DE,

所以四邊形BDEF為平行四邊形,

所以BD//EF.

因?yàn)?/X平面EFC,EFU平面EFC,

所以平面EFC.

又MNCBD=N,所以平面3DW〃平面EFC.

(2)因?yàn)镺E_L平面A8CD,四邊形A8C力是正方形,

所以。A,DC,DE兩兩垂魚,如圖，建立空間直角坐標(biāo)系力-盯z.

設(shè)A3=2,則。E=4,從而￡)(0,0,0),8(2,2,0),M(I,0,2),A(2,0,0),E(0,

0,4),

所以加=(2,2,0),血=(1,0,2),

設(shè)平面8OM的法向量為"=(x,y,z),

n-DB=0,(2x+2y=0,

則1得彳'

、"血=0,卜+2二=0.

令x=2,則y=—2,z=-1,從而〃=(2,—2,—1)為平面8DW的一個(gè)法向量.

因?yàn)檠?(-2,0,4),設(shè)直線AE與平面BOM所成的角為仇則

sin6=|cos{n-AE}|=

所以直線AE與平面BDM所成角的正弦值為普.

4、如圖，四棱錐P-ABCD中，底面A5CD為菱形，PD=PB,H為PC上的點(diǎn)，過AH的

平面分別交PB,PD于點(diǎn)M,N,且8?！ㄆ矫鍭A///N.

(1)證明：MNLPC；

⑵設(shè)H為PC的中點(diǎn)，PA^PC=yf3AB,PA與平面ABCD所成的角為60°,求AD與平面

AM印V所成角的正弦值.

AD

解：(1)證明：如圖①，連接4c交8。于點(diǎn)O,連接PO.

圖①

因?yàn)樗倪呅蜛BC。為菱形,

所以8￡>>L4C,且。為8。的中點(diǎn).

因?yàn)镻D=PB,所以POLBD,

因?yàn)锳CCPO=O,且AC,POU平面以C,

所以8Q_L平面PAC.

因?yàn)镻CU平面％C,所以8OJ_PC.

因?yàn)??！ㄆ矫鍭MHN,且平面AM4NC平面PBD=MN,所以BD//MN,所以MN±PC.

(2)由(1)知BDLAC3.POLBD,

因?yàn)榕?PC,且。為AC的中點(diǎn)，

所以尸O_L4C,所以尸O_L平面A8CD,

因?yàn)镻A與平面A8CO所成的角為NM。，所以/以。=60°,所以4。=；%,2。=

因?yàn)镻4=小AB,所以BO=

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,OD,次的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖②

所示的空間直角坐標(biāo)系，記加=2,則0(0,0,0),41,0,0),8(0,一坐，0),C(-l,

0,0),o(o,坐,

所以詬=(o,￥，0

nBD=O,3>'=0'

設(shè)平面AMHN的法向量為"=(x,y,z),則，即_

,nAH=Q,t-2x+2Z=O>

令x=2,解得y=0,z=2小，所以〃=(2,0,2小)是平面AMHN的一個(gè)法向量.

記AO與平面AMHN所成，角為仇

則sin^=|cos〈〃，AD)|=

InllAbl4

所以AZ)與平面AMHN所成甬的正弦值為坐.

5、如圖，在三陵錐P-A8C中，AE4C為等腰直角三角形，PA=PC,AC=2,AABC

為正三角形，。為AC的中點(diǎn).

⑴證明：平面PDB_L平面P4C；

⑵若二面角P—AC-3的平面角為銳角，且棱錐P—ABC的體積為走，求直線物與

6

平面PC3所成角的正弦值.

【解析】⑴證明：：B4=PC,。為AC中點(diǎn)，叨，

又AA3C為等邊三角形，BA=BC,：.AC±BD,

。,AC_L平面尸。8，

ACu平面P4C,...平面R4cl.平面DDB；

(2)由(1)知點(diǎn)p在平面ABC內(nèi)的射影0在直線BDE,又二面角P-AC-B的平面角為銳

h1Fy]

角，.二。在射線上，S^=—x4=j3,V=-S?PO=—,AP0=-,

ZVIBUCC4.rp—/AIZBJCC3ZMVIBWC2

又PD=k：.OD=H,即。為BO中點(diǎn)，取AB中點(diǎn)E，連接OE,則OE//AD，

2

???OEd.平面POB，,OE,OB,OP兩兩互相垂直，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。旦。民。2所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

X

E

B

Y

(R\(g,o]c

則0(0,0,0),80,胃,0,A1,-T-今，，P。，*

<2JI2)

PB=。,岑,-g,BC=(-l,-V3,0)

設(shè)平面PCS的法向量為3=(x,y,z)

且y」z=。

n-PB=0

由，得《2-2

n?BC=0

-x—Gy=0

令y=i,得平面PCB的一個(gè)法向量為7=(->n,1,6),

又尸A=,設(shè)Q4與平面PCB所成角為a,

22

則()〃，.刀_2K_V42

sina=ks(,PA|n|.|PA||=V7-V2=-F，

直線PA與平面PCB所成角的正弦值為叵.

7

6、如圖，在直三棱柱ABC—A5G中，M是A6的中點(diǎn).

⑴求證：BCJ平面MC4；

⑵若ABMC是正三角形，且AB=3a，求直線A3與平面MCR所成角的正弦值.

【解析】⑴連接AG，設(shè)AC；與4c的交點(diǎn)為N,則N為AG的中點(diǎn)，連接MN,又M

是AB的中點(diǎn)，所以MN//BG.又肱Vu平面MCA，8Gz平面MC^,所以//平

面MC4.

(2)Af是AB的中點(diǎn)，ABWC是正三角形，則NA8C=60°，ZBAC=30°，ZACB=90\

設(shè)BC=I,則AC=CG=石，以cq為x軸，CB為>軸，04為z軸建立空間直角坐

標(biāo)系.

則3（0,1,0）,A（0,0,5/3）,A（石，0,石），通=仲，-6），

I22J

CM=乎],西=（6，0，百）.

、22,

/\c伉兩=0,八

設(shè)〃=（尤,y,z）是平面MCA）的法向量，貝葉k八，可取平面的法向量為

[n?CA]=0

萬(wàn)=（1,6,—1）,則

,一,\AB-ri\Jfs/7T

|cos〈AB/〉|=L—=所以直線AB與平面MCA所成角的正弦值為1.

三、二面角問題

利用向量法計(jì)算二面角大小的常用方法

找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量

的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.

找與棱垂直的方向向量法:分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩

個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.

注意：求余弦值時(shí)需加絕對(duì)值，再判斷是鈍二面角還是銳二面角

1、如圖，直四棱柱ABC。-4B1G。的底面是菱形，44=4,AB=2,NBAD=60。，E,M,

N分別是BC,BBi，Ai。的中點(diǎn).

（1）證明:MN〃平面GOE；

（2）求二面角A-M4-N的正弦值.

5

【解】(1)證明：連接8C,ME因?yàn)镸,E分別為B3],BC的中點(diǎn)，所以ME〃助C,且

ME=\B\C.

又因?yàn)镹為40的中點(diǎn)，所以N￡>=941D

由題設(shè)知幺。C,可得8C幺40,

故ME^ND,

因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN//ED.

又MW平面EDCi，所以MN//平面GDE.

(2)由已知可得。E_LD4.以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，房的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系D-xyz,則A(2,0,0),4(2,0,4),M(l,小,2),N(l,0,2),AA=(0,0,

-4),^^=(一1,小，-2),/C/V=(-l,0,-2),A//V=(0,~y[3,0).

設(shè)m=(JGy,z)為平面AM4的法向量,

mA\M=0f所以「、+亞f=。，

I—4z=0.

)m-A\A=0.

可取m=(4,1,0).

nMN=0,

設(shè)〃=(p,q,r)為平面AMN的法向量，則<

n-A\N=0.

一小q=0,

所以可取麓=(2,0,-1).

-p_2/=0.

2V5

于是cos{m,

―I詞”廠2X小-5

所以二面角N的正弦值為月2

2、如圖，已知四棱錐S-ABC7)的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，且平面S4O_L平面ABC。，M,

N分別為棱AO,BC的中點(diǎn)，P,。為側(cè)棱SD上的三等分點(diǎn).

(1)求證：PN〃平面MQC；

(2)若SA=S￡>=，i,求二面角。-SAW的余弦值.

因?yàn)镻,。為側(cè)棱S￡>上的三等分點(diǎn)，所以SP=PQ=QD

又M為4。的中點(diǎn)，所以4P〃仞。.

因?yàn)?RI平面QMC,MQU平面QMC,所以AP〃平面QMC.

因?yàn)镸,N分別為棱40,8c的中點(diǎn)，所以易得AN〃CM.

因?yàn)锳N4平面QWC,CMU平面QWC,所以AN〃平面QMC.

因?yàn)锳P,ANU平面必M^APHAN=A,所以平面以N〃平面MQC.

又PNU平面PAN,所以PN〃平面MQC.

法二：如圖，連接NO交CM于點(diǎn)R,連接QR,MN.

因?yàn)樵谡叫蜛8CD中，M,N分別為AD,8c的中點(diǎn)，

所以四邊形MNCO為矩形，所以R為ND的中點(diǎn)、.

又Q為PO的中點(diǎn)，所以PN//QR.

因?yàn)镼RU平面MQC,PNQ平面MQC,

所以PN〃平面MQC.

⑵因?yàn)镾A^SD^AD1,所以△SAO為等腰直角三角形.

連接SM,因?yàn)镸為AQ的中點(diǎn)，所以SM_LA。，所以SM=1.又平面SAO_L平面A8CQ,所

以SM_L平面ABCD.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AO所在直線分別為x,y軸，過點(diǎn)A且與平面A8C。垂直的直線為

z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0).N(2,1.0),0(0,2,0),S(0,I,1),

所以俞=(2,1,0),AS=(0,I,I).

設(shè)“i=(x,y,z)為平面SAN的法向量，

iii,AN=0,[2r+y=0,

則，得取y=2,得小=(一1,2,-2).

衣=o，b'+z=0'

又平面S40的一個(gè)法向量為〃2=(1，0,0),

“\川?m-11

戶斤以COS("1，H2/=；~~~；=1\/:=一彳，

|ni|?I/12I1X33

易知二面角Q-SAW為銳二面角，

故二面角DSA-N的余弦值為去

3、如圖，在四棱錐P—ABCZ)中，底面ABC。，AD//BC，NA5C=90°,

/BCD=45°,BC=2AD.

⑴求證：BD1PC；

(2)若PC=BC,求平面尸AD和平面PBC所成的角(銳角)的余弦值.

【解析】(1)證明：取8C的中點(diǎn)E，連接OE，

因?yàn)?C=2AO,所以AT>=8E，

又因?yàn)锳D〃BC,所以四邊形ABED是平行四邊形.

因?yàn)閆ABC=90。所以四邊形ABED是矩形.所以O(shè)E，8c.

又ZBC￡>=45°所以。E=CE=，BC.所以△BCD是直角三角形，即8DLCD.

2

又PO_L底面ABCD,BDu底面ABC。，所以BDLPD.

又COu平面尸CD,。。<=平面尸。。，且尸。^^8=￡>.所以80_1平面??！?.

又PCu平面尸CD,所以BDLPC.

(2)如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DB，DC，。尸所在直線為工軸，丫軸,z軸建立空間

直角坐標(biāo)系。一Ayz,

設(shè)AD=1，則BC=2,

由(1)知￡>E=1，DC=72-DB=0

又PC=BC,

所以P￡)=J5.

所以8(a,0,0),。(0,0,0),尸(0,0,夜),￡寧,學(xué)。

I22)

所以團(tuán)=(一忘,0,0),定=((),&,一0).

,、無(wú)J_BC

設(shè)平面PBC的法向量為〃=(x,y,z),則，一

''nl.PC

n-BC=0+夜y=0

所以《—，即

n?PE=0顯=0

取x=1,則y=1,z=1,

所以平面PBC的一個(gè)法向量為3=(1,1,1).

____（五叵、

又平面FAO的一個(gè)法向量為m=0E=—,—,0

---m?n5/2A/6

所以cos——=—j=—=——

|m||n|V3xl3

所以平面PAD和平面PBC所成的角（銳角）的余弦值為—.

3

4、如圖所示，在四棱錐P-A8C。中，底面ABC/）為平行四邊形，平面物OJ_平面ABC。,

是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，BCLPB,E是A。的中點(diǎn).

（1）求證：BE1.PD；

（2）若直線AB與平面PAD所成角的正弦值為季，求平面PAD與平面PBC所成的銳二面角

的余弦值.

解：（1）證明：因?yàn)椤髁?。是等邊三角形，E是AQ的中點(diǎn)，所以尸E_LAD

又平面陽(yáng)平面ABCD,平面外力n平面ABCD^AD,PEU平面PAD,所以尸EJ_平面

ABCD,所以PELBC,PE工BE.又BCSB,PBCPE=P,所以BC_L平面PBE,所以BCLBE.

又BC〃4O,所以

又AOCPE=E'且AD,PEU平面以。，所以BE_L平面以。，所以BELPD.

（2）由（1）得BE_L平面PAD,所以/BAE就是直線A8與平面外￡）所成的角.

因?yàn)橹本€AB與平面以。所成角的正弦值為呼，

即sinNR4E=^,所以cosNBAE=J.

所以cosN8AE=M=心=4，解得A8=8,則8后=毋薩三詬=2店.

/\Df\D4Vv

由（1）得EA,EB,EP兩兩垂直，所以以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA,EB,EP所在直線分別為x軸,

y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)P(0,0,2小)，4(2,0,0),D(-2,0,0),8(0,2y[15,0),C(一4,26，0),

所以兩=(0,2V-2小)，PC=(-4,2VT5,一2小).

設(shè)平面PBC的法向量為/n=(_v,y,z),

PBm=O,2回廠2sz=0,x=0,

由二解得

-4x+2正)，-2/z=0,工=曬.

.PC?m=0,

令y=l,可得平面P8C的一個(gè)法向量為，〃=(0,I,小).

易知平面BAD的一個(gè)法向量為〃=(0,1,0),

設(shè)平面以。與平面PBC所成的銳二面角的大小為仇

mn_(0,1,而40,1,0)

貝1]cos8=

1詞1川一乖XI6,

所以平面PAD與平面PBC所成的銳二面角的余弦值為坐.

O

5、如圖，四棱錐p—ABCD中，底面ABCD為梯形，PDJ_底面ABCD,AB//CD,AD1CD，

AD=AB=\<BC=V2-

(1)求證：平面PBD,平面PBC；

(2)設(shè)H為CD上一點(diǎn)，滿足由=2〃方，若直線PC與平面PBD所成的角的正切值為逅,

3

求二面角”一P3-C的余弦值.

【解析】⑴由A￡>，a),AB//C￡>,A￡)=AB=l,可得&)=0,

乂BC=6,N=%,:.BC上BD.

4

從而CD=2,-.-PD±^\ABCD,:.BC±PD

?;PDcBD=D，；.BC_L平面PBD,所以平面PBD,平面PBC.

(H)由⑴可知ZBPC為PC與底面PBD所成角.

所以tan/BPC.所以PB=#,PD=1

3

64

又2兩=3麗及8=2,可得CH=g,DH=w，

以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DP分別x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則3(1,1,0),P(0,0,1),C(0,2,0),

設(shè)平面HPB的法向量力=(x,y,z).

4八

n-PB=0—y+z=o/、

則由，—得《5取”=(1,-5,-4)

n-PB=Q

尤+y-z=0

同理平面PBC的法向量為慶=(L1,2)

所以心的")=麗=-〒

又二面角〃—為銳角.所以二面角〃—余弦值為2".

7

6、在底面為正方形的四棱錐。一ABC。中，平面PAD_L平面ABC。,Q4=PRE,尸分別

為棱PC和AB的中點(diǎn).

(1)求證:防//平面1PAD;

⑵若直線PC與A8所成角的正切值為更，求平面P4O與平面PBC所成銳二面角的大

2

小.

【解析】⑴證明:取CO的中點(diǎn)M，連接

因?yàn)镋,尸分別為尸。和A6的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形,

所以EM//P￡>,FMHAD,

因?yàn)镋AKEMu平面EFM,PD,ADu平面PAD，

所以平面EfM//平面PAD.

因?yàn)镸u平面￡7力/.

所以E戶//平面B4￡).

(2)因?yàn)槠矫鍼AD，平面ABCD，平面P4Z)n平面ABC。=AD,CDkAD

COu平面ABC。

所以CD_L平面K4Z＞，

所以CD_LPE＞，

因?yàn)锳B//CD,

所以NPCD就是直線PC與AB所成的角，

所以tanZ.PCD=，

DC2

設(shè)尸。=J5,CO=2,

分別取AD和BC的中點(diǎn)。,N,連PO,ON,

因?yàn)镼4=P￡＞,

所以POJ_A。，

因?yàn)槠矫鍼ADLI'：面ABCD，平面PAD口平mABCD=AD,POu平面.尸相＞，

所以PO_L平面ABCD

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。-zyz,

則尸(0,0,2),C(-l,2,0),3(1,2,0),

所以麗=(2,0,0),而=(1,一2,2),

一.、(x-2y+2z=0

設(shè)〃?=(x,y,z)是平面6PC的一個(gè)法向量，則｛_

X—v

取y=l,則z=l，所以加=(0,1,1)

7=(0,1,0)是平面尸49的一個(gè)法向量，

---mn1V2_______jr

所以M=麗=萬(wàn)萬(wàn)=彳’＜…＞二

所以所求二面角的大小為士兀

7、如圖，在三棱錐P-ABC中，△%(：為等腰直角三角形，ZAPC=90,AABC為正三角形,

D為A的中點(diǎn)，AC=2.

⑴證明：PB14C；

（2）若三棱錐P-ABC的體積為—，求二面角A-PC-B的余弦值

3

【答案】（1）證明見解析（2）且

7

【解析】

⑴證：QAPAC為等腰直角三角形，。為中點(diǎn)，.?.P0LAC,

又AABC為正三角形，。為中點(diǎn)，AC,

乂PDcBD=D，PD,BDu平面PBD,

.?.AC_L平面PBD,又PBu平面PB9，

（2）解：設(shè)三棱錐P—ABC的高為〃，

BO=8Csin60=6，

：.VPARC=-x-xACxBDxh=^-h^—，

P-ABC3233

;.h=l,又「。=’4。=1,；.20_1_平面人8（：,

2

如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。一盯z,

則A(l,0,0),B(0,V3,0),C(-l,0,0),P(0,0,l),

.?.詼=儉,百,0),麗=(1,0,1),礪=(l,G,0),

CP-72=0x+z=0

設(shè)〃=（九,y,z）為平面PBC的一個(gè)法向量,則〈即.

CB?而=0X+V5y=o

V3

y=--------

令X=1,得V3,.??〃二卜了一十

z=-1

＜文＞=普?—電

又麗是平面尸AC的一個(gè)法向量,cos

DB-n7'

由圖可知二面角A—PC—8的平面角為銳角，.?.二面角A—PC—8的余弦值為立

7

8、如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABC。所在的平面與半圓弧C。所在平面垂直，M是C。上

異于C，。的點(diǎn).

⑴證明：平面AMDJ_平面BMC；

⑵當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.

【解析】⑴由題設(shè)知，平面CMD_L平面ABCD,交線為CD.因?yàn)?cl.c。乃CU平面A8CD,所以BC

_1_平面CMD,故BC1DM.

因?yàn)镸為加上異于C，。的點(diǎn)，且。C為直徑，所以

又BCflCM=C，所以。乂_1_平面8MC.

而D/WU平面AMD,故平面A/WD_L平面BMC.

⑵以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，次的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.

當(dāng)三棱錐/W-ABC體積最大時(shí)，/W為。方的中點(diǎn).

由題設(shè)得。（0,0,0）4（2,0,0）,8（2,2,0）,。（0,2,0）,M（0,1,1）,

AM=（-2,1,1）,AB=（0,2,0）,^4=（2,0,0）

設(shè)〃=（x,y,z）是平面MA8的法向量，則

n-AM=0,-2x+y+z=0,

〈___即＜

n-AB=0.2y=0.

可取”=(1,0,2).

DA是平面MCD的法向量，因此

Kn-DAV5

cos幾DA=-；——r=——

|啊5，

sinn,DA.=^^-，

所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是短.

5

四、存在性問題與折疊問題（綜合）

存在性問題：在設(shè)存在性問題過程中，要學(xué)會(huì)減少未知數(shù)個(gè)數(shù)，學(xué)會(huì)用向量的共線方法去設(shè)

折疊性問題：要注意在折疊翻轉(zhuǎn)過程中的不變量

1、已知在四棱錐P-ABC。中，底面ABCO是邊長(zhǎng)為4的正方形，△P4O是正三角形,

CD,平面%D,"G,。分別是PGP0BGA。的中點(diǎn).

（回）求證：P。上平面ABCO；

畫求平面EFG與平面A8CO所成銳二面角的大??；

回線段PA上是否存在點(diǎn)M，使得直線GM與平面EFG所成角為$,若存在，求線段PM

6

的長(zhǎng)度；若不存在，說明理由.

【解析】佃）證明:因?yàn)椤魇珹D是正三角形，

。是AO的中點(diǎn)，

所以PO1AD.

又因?yàn)镃D,平面PAO，POu平面尸AD，

所以「CD

ADC}CD=D,AD,CDu平面ABC。，

所以POL面ABCD.

回如圖，以。點(diǎn)為原點(diǎn)分別以。4、0G、。戶所在直線為X軸、y軸、Z軸建立空間直角

坐標(biāo)系.

則0(0,0,0),A(2,0,0),5(2,4,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),G(0,4,0),P(0,0,2百)，

E(-l,2,回下(-1,0,回而=(0,-2,0),的=(1,2,一唐),

設(shè)平面EFG的法向量為優(yōu)=(x,y,z)

EF?/n=0=0,

所以，即Vr

EG-m=0[x+2y-J3z=0,

令Z=l,則歷=(6,0,1),

又平面ABCD的法向量G=(0,0,1),

設(shè)平面EFG與平面A5CZ)所成銳二面角為。,

m-n]?

所以cos”

布，(可+”12

所以平面EFG與平面ABCD所成銳二面角為y.

倒假設(shè)線段PA上存在點(diǎn)M，

TT

使得直線GM與平面EFG所成角為7,

即直線GM與平面EFG法向量而所成的角為|，

UUUUUrT

設(shè)PM=4PA，2G[0,1],

UUUUUUUUUUUUUU

GM=GP+PM=GP十九PA,，

UUU/L\

所以GM=(24,T,2G(1-

所以cos^=cos(GM,7n\|=-/"一,

3'712j4K2—6/1+7

整理得2丸2-34+2=0，

zl<0,方程無(wú)解，

所以，不存在這樣的點(diǎn)M.

2、己知如圖1直角梯形ABC。，ABIIICD,NZMB=90°,AB=4,AD=CD=2,

E為AB的中點(diǎn)，沿EC將梯形4BCD折起(如圖2),使平面8ED1.平面AECD.

(1)證明：8￡1平面4￡8；

(2)在線段CD上是否存在點(diǎn)F,使得平面FAB與平面EBC所成的銳二面角的余弦值為,

若存在，求出點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

c

圖1A

圖2

【解析】⑴證明連接AC,則ACLOE,

又平面BZ)E_L平面AECD，平面BDEc平面A￡CD=O￡,ACu平面AECD，

所以AC_L平面BOE，

所以AC_LBE.

又BE上CE,ACACE=C,AC,C￡u平面AECD，

所以BE1平面AECD.

⑵⑴得BE1平面AEC。，所以

所以E4，EB,EC兩兩垂直，

分別以麗，EB>反方向?yàn)閤,y,z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系￡一七"，

則E(0,0,0),4(2,0,0),3(020),

設(shè)E(a,0,2),0<a<2,

所以A尸=(a-2,0,2),BF=(a,—2,2),

設(shè)平面FAB的法向量為3=(x,y,z),

AF-n=(x-2)x+2z=0,

則

BF-n=ax-2y+2z=0,

取x=2,得〃=(2,2,2-a).

取平面EBC的法向量為碗=(1,0,0).

所以cos(/小〃m-n_2_2

|m|-|/?|J/-44+123

所以。=1.

所以線段CO上存在點(diǎn)F,且F為CO中點(diǎn)時(shí)，使得平面E48與平面所成的銳:面

角的余弦值為

3、如圖所示，直角梯形ABCD中，AD//BC,AD±AB,A3=BC=2AD=2,四邊

形EDCF為矩形，CF=6，平面EDb_L平面ABCD.

⑴求證：。尸||平面ABE；

⑵求平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值.

⑶在線段DF上是否存在點(diǎn)P,使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為年,若存在,

4

求出線段BP的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解析】(即取。為原點(diǎn)，D4所在直線為X軸，OE所在直