第一部分專題五第二講點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系A(chǔ)組1．(文)設(shè)α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β.(A)A．若l⊥β，則α⊥βB．若α⊥β，則l⊥mC．若l∥β，則α∥βD．若α∥β，則l∥m[解析]選項(xiàng)A中，平面與平面垂直的判定，故正確；選項(xiàng)B中，當(dāng)α⊥β時，l，m可以垂直，也可以平行，也可以異面；選項(xiàng)C中，l∥β時，α，β可以相交；選項(xiàng)D中，α∥β時，l，m也可以異面．故選A．(理)設(shè)α、β、γ是三個互不重合的平面，m、n為兩條不同的直線．給出下列命題：①若n∥m，m?α，則n∥α；②若α∥β，n?β，n∥α，則n∥β；③若β⊥α，γ⊥α，則β∥γ；④若n∥m，n⊥α，m⊥β，則α∥β.其中真命題是(C)A．①和② B．①和③C．②和④ D．③和④[解析]若n∥m，m?α，則n∥α或n?α，即命題①不正確，排除A、B；若α∥β，n?β，n∥α，則n∥β，則命題②正確，排除D，故應(yīng)選C．2．如圖，在正四面體P－ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，下列四個結(jié)論不成立的是(D)A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC[解析]∵D、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴BC∥DF，∵BC?平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正確；在正四面體中，∵E為BC中點(diǎn)，易知BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE，∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故B正確；∵DF⊥平面PAE，DF?平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAE，∴C正確，故選D．3．如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，△AED、△EBF、△FCD分別沿DE、EF、FD折起，使A，B，C三點(diǎn)重合于點(diǎn)A′，若四面體A′EFD的四個頂點(diǎn)在同一個球面上，則該球的半徑為(B)A．eq\r(2) B．eq\f(\r(6),2)C．eq\f(\r(11),2) D．eq\f(\r(5),2)[解析]由條件知A′E、A′F、A′D兩兩互相垂直，以A′為一個頂點(diǎn)，A′E、A′F、A′D為三條棱構(gòu)造長方體，則長方體的對角線為四面體外接球的直徑，∵A′E＝A′F＝1，A′D＝2，∴(2R)2＝12＋12＋22＝6，∴R＝eq\f(\r(6),2).4．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝eq\r(2).將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中(B)A．存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直B．存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直C．存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直D．對任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直[解析]①過A、C作BD的垂線AE、CF，∵AB與BC不相等，∴E與F不重合，在空間圖(2)中，若AC⊥BD，∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥CE，這樣在平面BCD內(nèi)，過點(diǎn)C有兩條直線CE、CF都與BD垂直矛盾，∴A錯；②若AB⊥CD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，∵AB<BC，∴存在這樣的三角形ABC，AB⊥AC，AB＝AC，∴B選項(xiàng)正確，∴選項(xiàng)D錯；③若AD⊥BC，又CD⊥BC，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC，∵BC>AB，這樣的△ABC不存在，∴C錯誤．5．(2018·太原二模)對于不重合的直線m，l和平面α，β，要證α⊥β需具備的條件是(D)A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，l?αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，m?α[解析]對于A，如圖1，可得面α，β不一定垂直，故錯；對于B，如圖2，可得面α，β不一定垂直，故錯；對于C，m∥l，m⊥α，l⊥β?α∥β，故錯；對于D，有m∥l，l⊥β?m⊥β，又因?yàn)閙?α?α⊥β，故正確．6．已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，則下列四個命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.其中正確命題的序號是①③.[解析]直線l⊥平面α，直線m?平面β，當(dāng)α∥β有l(wèi)⊥m，故①正確．當(dāng)α⊥β有l(wèi)∥m或l與m異面或相交，故②不正確．當(dāng)l∥m有α⊥β，故③正確．當(dāng)l⊥m有α∥β或α與β相交，故④不正確．綜上可知①③正確．7．(2018·涼山州二模)在棱長為1的正方體ABCD－A′B′C′D′中，異面直線A′D與AB′所成角的大小是eq\f(π,3).[解析]在正方體ABCD－A′B′C′D′中，連接A′D，AB′，B′C，如圖所示：則A′B′∥DC，且A′B′＝DC，所以四邊形A′B′CD是平行四邊形，所以A′D∥B′C，所以∠AB′C是異面直線A′D與AB′所成的角，連接AC，則△AB′C是邊長為eq\r(2)的等邊三角形，所以∠AB′C＝eq\f(π,3)，即異面直線A′D與AB′所成角是eq\f(π,3).8．設(shè)x，y，z為空間不同的直線或不同的平面，且直線不在平面內(nèi)，下列說法中能保證“若x⊥z，y⊥z，則x∥y”為真命題的序號是①③⑤.①x為直線，y，z為平面；②x，y，z都為平面；③x，y為直線，z為平面；④x，y，z都為直線；⑤x，y為平面，z為直線．[解析]①x⊥平面z，平面y⊥平面z，所以x∥平面y或x?平面y.又因?yàn)閤?平面y，故x∥平面y，①成立；②x，y，z均為平面，則x可與y相交，故②不成立；③x⊥平面z，y⊥平面z，x，y為不同直線，故x∥y，③成立；④x，y，z均為直線，則x與y可平行，可異面，也可相交，故④不成立；⑤z⊥x，z⊥y，z為直線，x，y為平面，所以x∥y，⑤成立．9．(文)(2018·全國卷Ⅰ，18)如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC為折痕將△ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且AB⊥DA．(1)證明：平面ACD⊥平面ABC．(2)Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，求三棱錐Q-ABP的體積．[解析](1)由已知可得，∠BAC＝90°，則BA⊥AC．又BA⊥AD，AD∩AC＝A，所以AB⊥平面ACD．又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3eq\r(2).又BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，所以BP＝2eq\r(2).作QE⊥AC，垂足為E，則QE綊eq\f(1,3)DC＝1.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，因此，三棱錐Q-ABP的體積為VQ-ABP＝eq\f(1,3)×QE×S△ABP＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)×3×2eq\r(2)sin45°＝1.(理)如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠BAD＝eq\f(π,2)，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)．將△ABE沿BE折起到圖2中△A1BE的位置，得到四棱錐A1____BCDE.圖1圖2(1)證明：CD⊥平面A1OC；(2)當(dāng)平面A1BE⊥平面BCDE時，四棱錐A1____BCDE的體積為36eq\r(2)，求a的值．[解析](1)證明：在題圖1中，因?yàn)锳B＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中點(diǎn)，∠BAD＝eq\f(π,2)，所以BE⊥AC．又在題圖2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，從而BE⊥平面A1OC．又BC∥DE且BC＝DE，所以CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC．(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)知A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱錐A1-BCDE的高．由題圖1可知，A1O＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)a，平行四邊形BCDE的面積S＝BC·AB＝a2，從而四棱錐A1-BCDE的體積為V＝eq\f(1,3)×S×A1O＝eq\f(1,3)×a2×eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(\r(2),6)a3，由eq\f(\r(2),6)a3＝36eq\r(2)，得a＝6.B組1．已知α、β、γ是三個不同的平面，命題“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命題，如果把α、β、γ中的任意兩個換成直線，另一個保持不變，在所得的所有新命題中，真命題有(C)A．0個 B．1個C．2個 D．3個[解析]若α、β?lián)Q成直線a、b，則命題化為“a∥b，且a⊥γ?b⊥γ”，此命題為真命題；若α、γ換為直線a、b，則命題化為“a∥β，且a⊥b?b⊥β”，此命題為假命題；若β、γ換為直線a、b，則命題化為“a∥α，且b⊥α?a⊥b”，此命題為真命題，故選C．2．設(shè)m、n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面，有以下四個命題：①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∥γ))?β∥γ ②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,m∥α))?m⊥β③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m∥β))?α⊥β ④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,n?α))?m∥α其中，真命題是(C)A．①④ B．②③C．①③ D．②④[解析]①正確，平行于同一個平面的兩個平面平行；②錯誤，由線面平行、垂直定理知：m不一定垂直于β；③正確，由線面平行，垂直關(guān)系判斷正確；④錯誤，m也可能在α內(nèi)．綜上所述，正確的命題是①③，故選C．3．已知互不重合的直線a，b，互不重合的平面α，β，給出下列四個命題，錯誤的命題是(D)A．若a∥α，a∥β，α∩β＝b，則a∥bB．若α⊥β，a⊥α，b⊥β，則a⊥bC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，則a⊥αD．若α∥β，a∥α，則a∥β[解析]A中，過直線a作平面γ分別與α，β交于m，n，則由線面平行的性質(zhì)知a∥m∥n，所以m∥α，又由線面平行的性質(zhì)知m∥b，所以a∥b，正確；B中，由a⊥α，b⊥β，知a，b垂直于兩個平面的交線，則a，b所成的角等于二面角的大小，即為90°，所以a⊥b，正確；C中，在α內(nèi)取一點(diǎn)A，過A分別作直線m垂直于α，β的交線，直線n垂直于α，γ的交線，則由線面垂直的性質(zhì)知m⊥β，n⊥γ，則m⊥a，n⊥a，由線面垂直的判定定理知a⊥α，正確；D中，滿足條件的a也可能在β內(nèi)，故D錯．4．直三棱柱ABC－A1B1C1的直觀圖及三視圖如圖所示，D為ACA．AB1∥平面BDC1B．A1C⊥平面BDCC．直三棱柱的體積V＝4D．直三棱柱的外接球的表面積為4eq\r(3)π[解析]如圖，將直三棱柱ABC－A1B1C15．a(chǎn)、b表示直線，α、β、γ表示平面．①若α∩β＝a，b?α，a⊥b，則α⊥β；②若a?α，a垂直于β內(nèi)任意一條直線，則α⊥β；③若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，則a⊥b；④若a不垂直于平面α，則a不可能垂直于平面α內(nèi)無數(shù)條直線；⑤若l?α，m?α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，則α∥β.其中為真命題的是②⑤.[解析]對①可舉反例如圖，需b⊥β才能推出α⊥β.對③可舉反例說明，當(dāng)γ不與α，β的交線垂直時，即可得到a，b不垂直；④對a只需垂直于α內(nèi)一條直線便可以垂直α內(nèi)無數(shù)條與之平行的直線．所以只有②⑤是正確的．6．在三棱錐C－ABD中(如圖)，△ABD與△CBD是全等的等腰直角三角形，O為斜邊BD的中點(diǎn)，AB＝4，二面角A－BD－C的大小為60°，并給出下面結(jié)論：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC為正三角形；④cos∠ADC＝eq\f(\r(3),2).其中真命題是①③.(填序號)[解析]對于①，因?yàn)椤鰽BD與△CBD是全等的等腰直角三角形，O為斜邊BD的中點(diǎn)，所以CO⊥BD，AO⊥BD，AO∩OC＝O，所以BD⊥平面AOC，所以AC⊥BD，因此①正確；對于②，假設(shè)CO⊥AD，又CO⊥BD，可得CO⊥平面ABD，由①可得：∠AOC是二面角A－BD－C的平面角，這與已知二面角A－BD－C為60°矛盾，因此不正確；對于③，由△ABD與△CBD是全等的等腰直角三角形，O為斜邊BD的中點(diǎn)，所以O(shè)C＝OA，由①可得：∠AOC是二面角A－BD－C的平面角且為60°，所以△AOC為正三角形，因此③正確；對于④，AB＝4，由③可得：AC＝OA＝2eq\r(2)，AD＝CD＝4，所以cos∠ADC＝eq\f(2×42－2\r(2)2,2×42)＝eq\f(3,4)≠eq\f(\r(3),2)，因此不正確；綜上可得：只有①③正確．7．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊相等，M是PC上的一動點(diǎn)，請你補(bǔ)充一個條件①(或③)，使平面MBD⊥平面PCD．①DM⊥PC；②DM⊥BM；③BM⊥PC；④PM＝MC(填寫你認(rèn)為是正確的條件對應(yīng)的序號)．[解析]因?yàn)樵谒睦忮FP－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點(diǎn)，所以BD⊥PA，BD⊥AC，因?yàn)镻A∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC．所以當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD．而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD．8．如圖：在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°PA⊥平面ABCD，點(diǎn)M，N分別為BC，PA的中點(diǎn)，且PA＝AB＝2.(1)證明：BC⊥平面AMN；(2)求三棱錐N－AMC的體積；(3)在線段PD上是否存在一點(diǎn)E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的長，若不存在，說明理由．[解析](1)因?yàn)锳BCD為菱形，所以AB＝BC，又∠ABC＝60°，所以AB＝BC＝AC，又M為BC中點(diǎn)，所以BC⊥AM而PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC，又PA∩AM＝A，所以BC⊥平面AMN.(2)因?yàn)镾△AMC＝eq\f(1,2)AM·CM＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),2)，又PA⊥底面ABCD，PA＝2，所以AN＝1，所以，三棱錐N－AMC的體積V＝eq\f(1,3)S△AMC·AN＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×1＝eq\f(\r(3),6).(3)存在取PD