導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義第一課時復(fù)習(xí)引入1.兩類變化率問題:(1)高臺跳水運動員的速度平均速度瞬時速度(2)拋物線的切線斜率割線斜率切線斜率

這兩類問題來自不同的學(xué)科領(lǐng)域，但在解決問題時，都采用了由“平均變化率”逼近“瞬時變化率”的思想方法；問題的答案也有一樣的表示形式．下面我們用上述思想方法研究更一般的問題．2.問題：在“高臺跳水運動員的速度”和“拋物線的切線的斜率”兩個問題中，都涉及下列形式的極限①并且發(fā)現(xiàn)，對于定義域中自變量的某個取值x=x0，①式都是一個常數(shù)．如果函數(shù)y=f(x)是一般的函數(shù)，①式是否也是一個常數(shù)？如果①式也是一個常數(shù)，這個常數(shù)有怎樣的意義？探究新知探究:設(shè)函數(shù)f(x)=2x2，思考并回答上述問題.追問1：若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c呢？追問2：若函數(shù)f(x)=|x|，x0=0呢？通過對不同函數(shù)的探究發(fā)現(xiàn)，盡管對很多函數(shù)而言，①式是一個常數(shù)；但并不是對所有的函數(shù)，①式都是一個常數(shù).①xyO121234-1-2

f(x)＝|x|

如果對函數(shù)y=f(x)的自變量的某個取值x=x0，下式是一個常數(shù)，你能說出這個常數(shù)的意義嗎？結(jié)合“高臺跳水運動員的速度”和“拋物線的切線的斜率”兩個問題思考.1.平均變化率對于函數(shù)y＝f(x)，設(shè)自變量x從x0變化到x0＋?x，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f(x0)變化到f(x0＋?x).這時，x的變化量為?x，y的變化量為

?y＝f(x0＋?x)－f(x0).我們把比值，即叫做函數(shù)y＝f(x)從x0到x0＋?x的平均變化率.類似地，運用上述思想我們可以定義函數(shù)y=f(x)的平均變化率和瞬時變化率:如果是一個常數(shù)，那么這個常數(shù)就是微積分中的導(dǎo)數(shù).請嘗試給出導(dǎo)數(shù)的定義！2.導(dǎo)數(shù)的定義如果當?x→0時，平均變化率無限趨近于一個確定的值，即有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時變化率)，記作或，即導(dǎo)數(shù)是平均變化率的極限，是瞬時變化率的數(shù)學(xué)表達.(1)f′(x0)與x0的值有關(guān)，不同的x0其導(dǎo)數(shù)值一般也不相同；(2)f′(x0)與?x的具體取值無關(guān)；(3)瞬時變化率與導(dǎo)數(shù)是同一概念的兩個名稱；問題：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，我們再來重溫前面2個問題情境，你能用導(dǎo)數(shù)重述跳水運動員速度問題和拋物線切線問題的結(jié)論嗎？問題1中運動員在t=1時的瞬時速度為v(1)就是函數(shù)h(t)在t=1處的導(dǎo)數(shù)h′(1)，即問題2中拋物線f(x)＝x2在點P0(1,1)處的切線P0T的斜率k0就是函數(shù)f(x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)，即

實際上，導(dǎo)數(shù)可以描述任何運動變化事物的瞬時變化率，如效率、交變電流、比熱容等．(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值與Δx值的正、負無關(guān)．(

)(2)瞬時變化率是刻畫某函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化快慢的物理量．(

)(3)在導(dǎo)數(shù)的定義中，Δx，Δy都不可能為零．(

)(4)函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)是一個可以變化的數(shù).(5)導(dǎo)數(shù)就是瞬時速度.(

)(6)因為導(dǎo)數(shù)是平均變化率的極限，所以函數(shù)在其定義域內(nèi)都有導(dǎo)數(shù).(

)概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)例1已知函數(shù)f(x)＝x2，(1)計算函數(shù)f(x)從x＝1到x＝1＋Δx的平均變化率，其中Δx的值為①2；②1；③；④；(2)當Δx越來越小時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,1＋Δx]上的平均變化率有怎樣的變化趨勢？概念應(yīng)用求平均變化率可根據(jù)定義將相應(yīng)量代入公式直接求解，解題的關(guān)鍵是弄清自變量的增量Δx與函數(shù)值的增量Δy，求平均變化率的主要步驟如下：歸納提升鞏固練習(xí)

例2.解：概念應(yīng)用求函數(shù)y＝f(x)在x＝x0

處導(dǎo)數(shù)的步驟:歸納提升例3.將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱.已知在第

xh時，原油的溫度（單位：℃）為

計算第2h與第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.解：在第2h和6h時，原油溫度的瞬時變化率就是f′(2)和f′(6).所以分析：原油溫度在第2h時的瞬時變化率，從數(shù)學(xué)角度求的是什么？追問：

和在這個實際問題中的意義是什么？導(dǎo)數(shù)值的正負分別代表什么？

表示在第2h時，原油溫度的瞬時變化率為－3℃/h.這說明在第2h附近，原油溫度大約以3℃/h的速率下降.導(dǎo)數(shù)(瞬時變化率)為負，體現(xiàn)了下降的變化趨勢.

表示在第6h時，原油溫度的瞬時變化率為5℃/h，這說明在第6h附近，原油溫度大約以5℃/h的速率上升.導(dǎo)數(shù)(瞬時變化率)為正，體現(xiàn)了上升的變化趨勢.解：在第2s和6s時，汽車的瞬時加速度就是v′(2)和

v′(6).練習(xí).一輛汽車在公路上沿直線變速行駛，假設(shè)ts時汽車的速度(單位:m/s)為

，求汽車在第2s與第6s時的瞬時加速度，并說明它們的意義.在第2s與第6s時，汽車的瞬時加速度分別為2m/s2與－6m