利息與年金基礎(chǔ)ACTUARY利息與年金基礎(chǔ)第一節(jié)利息理論概述第二節(jié)確定年金第三節(jié)廣義年金與變額年金累計函數(shù)單利復(fù)利實際利率現(xiàn)值終值貼現(xiàn)利息力以上諸概念的關(guān)系期初年金期末年金延期年金

永久年金ACTUARYACTUARY第一節(jié)利息理論概述2.1.1累計函數(shù)和總量函數(shù)

本金(principal),即初始投資的資金額累積值(accumulatedvalue)是過一段時期后回收的總金額利息就是累種值和本金之間的差額。

ACTUARY2.1累計函數(shù)和總量函數(shù)

ACTUARY2.1.2單利與復(fù)利所謂單利，即利息是以時間的線性函數(shù)存在。假如本金1元，累積函數(shù)符合a(t)=1+it的計息方式就是單利，其中i為單利率，i和t所用時間單位一致復(fù)利的利息則是以時間的指數(shù)形式存在，假如本金1元，累積函數(shù)符合a(t)=(1+i)^t的計息方式就是復(fù)利，同樣，其中i為復(fù)利率，i和t所用時間單位一致【例2-2】老馬到銀行存了10,000，銀行按年利率10%的單利計息，存期三年，利息到期給付。那么第三年末這筆資金的本利和為多少？如果復(fù)利計算，三年末本息和是多少？

解:單利計息時第三年末該筆資金的本利和為 10,000+3×10,000×10%=13,000；

復(fù)利計息時第三末該筆資金本利和為 10,000×(1+10%)^3=13,310ACTUARY2.1.2單利與復(fù)利

ACTUARY2.1.3實際利率與名義利率

ACTUARY

2.1.3實際利率與名義利率ACTUARY

ACTUARY2.1.3實際利率與名義利率

ACTUARY2.1.3實際利率與名義利率5.金融領(lǐng)域有關(guān)名義利率與實際利率的常用術(shù)語介紹

一年換算m次利息的情況在金融實務(wù)中常見。若干金融工具掛牌時標注的利率實際是指一個標準計算期（一年）內(nèi)要進行多次利息結(jié)算，比如美國國債，票面利率通常是指半年結(jié)息一次的利率，既每半年給付票面利率的一半值。在此給出一些常用換算術(shù)語。

利息換算期，interestconversionperiod；每季換算，payablequarterly；每半年換算，compoundedsemiannually；按月?lián)Q算，convertiblemonthly。ACTUARY2.1.3實際利率與名義利率

ACTUARY2.1.4現(xiàn)值與終值

ACTUARY2.1.4現(xiàn)值與終值

ACTUARY2.1.4現(xiàn)值與終值【例2-6】老馬家孩子四年后讀大學(xué)，預(yù)計需在四年后準備兩萬元學(xué)費。（1）老馬準備以存款形式準備這筆資金。試以單利和復(fù)利計算，年利率6%時，現(xiàn)在分別應(yīng)該存多少錢？（2）老馬準備買一種理財產(chǎn)品，半年一期自動續(xù)期滾動，掛牌收益率6%。老馬現(xiàn)在應(yīng)該買多少錢？（3）另有一款理財產(chǎn)品，每月一期自動續(xù)期滾動，掛牌利率5.98。與（2）相比，老馬應(yīng)該買哪種產(chǎn)品？ACTUARY2.1.5實際貼現(xiàn)率與名義貼現(xiàn)率

ACTUARY2.1.5實際貼現(xiàn)率與名義貼現(xiàn)率

【例2-7】假如年實際利率為3%，試比較單利情況下的貼現(xiàn)函數(shù)與復(fù)利情況下的貼現(xiàn)函數(shù)的差異。

解，以40年為限，兩種情況下的貼現(xiàn)函數(shù)圖如圖所示。ACTUARY2.1.5實際貼現(xiàn)率與名義貼現(xiàn)率隨著時間的延長，復(fù)利貼現(xiàn)函數(shù)值比單利貼現(xiàn)函數(shù)值下降得快。

ACTUARY2.1.5實際貼現(xiàn)率與名義貼現(xiàn)率

ACTUARY2.1.5實際貼現(xiàn)率與名義貼現(xiàn)率

ACTUARY2.1.5實際貼現(xiàn)率與名義貼現(xiàn)率

ACTUARY2.1.6單貼現(xiàn)與復(fù)貼現(xiàn)【例2-8】假如實際年貼現(xiàn)率為3%，試比較單貼現(xiàn)和復(fù)貼現(xiàn)的差異。

解：以30年為限（單貼現(xiàn)情況下，34年就要為負數(shù)了），兩種情況下的貼現(xiàn)值如圖2.3所示。ACTUARY2.1.6單貼現(xiàn)與復(fù)貼現(xiàn)圖2.3單貼現(xiàn)與復(fù)貼現(xiàn)值隨時間變化圖注意比較單利下的貼現(xiàn)函數(shù)與復(fù)利下的貼現(xiàn)函數(shù)的區(qū)別

ACTUARY2.1.7實際利率與實際貼現(xiàn)率之關(guān)系

ACTUARY2.1.7實際利率與實際貼現(xiàn)率之關(guān)系

ACTUARY2.1.7實際利率與實際貼現(xiàn)率之關(guān)系

ACTUARY

ACTUARY

；

。a(t)的微分是變化量單位是元/年（或者每月每日）而利息力是瞬時的變化量除以本金

ACTUARY

；

。

ACTUARY

ACTUARY2.1.8實際利率、名義利率、實際貼現(xiàn)率、名義貼現(xiàn)率、利息力間的關(guān)系

ACTUARY2.1.8實際利率、名義利率、實際貼現(xiàn)率、名義貼現(xiàn)率、利息力間的關(guān)系

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ACTUARY2.1.8實際利率、名義利率、實際貼現(xiàn)率、名義貼現(xiàn)率、利息力間的關(guān)系

ACTUARY2.1.8實際利率、名義利率、實際貼現(xiàn)率、名義貼現(xiàn)率、利息力間的關(guān)系

ACTUARY2.1.8實際利率、名義利率、實際貼現(xiàn)率、名義貼現(xiàn)率、利息力間的關(guān)系【例2-6】計算下表中？部分的數(shù)值

解：

ACTUARY2.1.8實際利率、名義利率、實際貼現(xiàn)率、名義貼現(xiàn)率、利息力間的關(guān)系年名義利率年實際利率i=i=?i=0.08i=0.08i=?i=0.08年名義利率年實際利率i=0.0816i=0.082432i=0.08i=0.08i=0.083287i=0.08ACTUARY第二節(jié)確

定

年

金

ACTUARY2.2確定年金ACTUARY2.2.1期末付年金（ImmediateAnnuity）.現(xiàn)值：每年年末支付1單位貨幣，共支付n年，其現(xiàn)值以

表示。如下圖ACTUARY2.2.1期末付年金（ImmediateAnnuity）.

ACTUARY2.2.1期末付年金（ImmediateAnnuity）.2.終值：每年年末支付1，共支付n年，其終值以表示。如下圖

ACTUARY2.2.1期末付年金（ImmediateAnnuity）.

2.由公式

得

ACTUARY2.2.1期末付年金（ImmediateAnnuity）.注：如果以金融計算器計算，則只需要列出并輸入已知條件，再輸入要計算的變量既可輸出結(jié)果。通常計算器中以PV表示現(xiàn)值，F(xiàn)V表示終值，PMT表示每期支付額，I表示利率，N表示支付期數(shù)。本例解題過程為為：已知PMT＝1000，I＝6，N＝20；求PV及FV。按不同型號計算器操作要求輸入已知變量值及所求未變量值既可。后續(xù)案例類似，不加贅述。ACTUARY2.2.2期初付年金（Annuity-due）.1.現(xiàn)值：每年年初支付1，共支付n年，其現(xiàn)值以表示。

如下圖ACTUARY2.2.2期初付年金（Annuity-due）.1111112t=03n-1n2.終值：每年年初支付1，共支付n年，其終值表以表示。如下圖

ACTUARY2.2.2期初付年金（Annuity-due）.【例2-8】練習(xí)(1)試證的關(guān)系。(3)(4)(5)(6)(7)(8)

(2)ACTUARY2.2.2期初付年金（Annuity-due）.

ACTUARY2.2.2期初付年金（Annuity-due）.

ACTUARY2.2.2期初付年金（Annuity-due）.

ACTUARY2.2.2期初付年金（Annuity-due）.【例2-8】續(xù)前例，老馬家孩子四年后讀大學(xué)，預(yù)計需在四年后準備兩萬元學(xué)費。老馬收入一般，準備每年初定期存入一筆相同的錢。假如銀行提供年利率3%，試計算老年每年需要存多少錢。

ACTUARY2.2.3延期年金（DeferredAnnuity）1.延期期末年金現(xiàn)值：開始m期不支付年金，而從第m+1期起，每期末支付1，共支付n期，其現(xiàn)值記為。由上圖可知，

ACTUARY2.2.3延期年金（DeferredAnnuity）1.延期期初付年金現(xiàn)值：開始m期不支付年金，而從第m+1期起，每期初支付1，共支付n期，其現(xiàn)值記為。由圖可見，現(xiàn)值為ACTUARY2.2.3延期年金（DeferredAnnuity）

ACTUARY2.2.4永久年金（Perpetuities）

既支付年金期數(shù)為無窮的年金。以期末年金為例，如圖現(xiàn)值A(chǔ)CTUARY2.2.3延期年金（DeferredAnnuity）

ACTUARY2.2.5年金的不同評價時點與方式不同時間點上，年金價值有許多種表示方式，比如以下列7個時間點來評估一個七期年金，請仔細理解每一種表達方式。ACTUARY第三節(jié)廣義年金與變額年金ACTUARY2.3.1廣義年金

ACTUARY盡管給付周期大于利息換算周期、給付周期小于利息換算周期、期初年金、期末年金等都有不同的數(shù)值表達式，但實際上無論是期初年金還是期末年金，也無論給付頻率是大于利息換算期（如有效利率為年利率時，一年多次給付）還是給付頻率小于利息換算期（如有效利率為年利率時，多年給付一次），都有兩種計算的思路。一種方法較為簡便，分成兩步計算：（1）將利率換算成與給付頻率相同周期的利率；（2）按新利率計算年金值。在此要特別注意，不能將支付金額進行加總，加總成利率換算周期后再計算年金。2.3.1廣義年金ACTUARY

2.3.1廣義年金ACTUARY

2.3.1廣義年金ACTUARY

2.3.1廣義年金ACTUARY

2.3.1廣義年金ACTUARY

2.3.1廣義年金ACTUARY

2.3.1廣義年金ACTUARY2.3.2變額年金

ACTUARY2.3.2變額年金