第3章狀態(tài)空間模型

基礎(chǔ)練習(xí)題

E3.1針對圖E3.1所示的RLC電路，為它選定一組合適的狀態(tài)變量。

圖E3.1RLC電路

【解析】一組合適的狀態(tài)變量為（a）通過4的電流%,（b）C2兩端的電壓%「（c）通過

4的電流乙O

還可以選擇G兩端的電壓k作為第三狀態(tài)變量，代替通過右的電流。

E3.2機械手某個關(guān)節(jié)的驅(qū)動系統(tǒng)可以由下面的微分方程描述：

粵女止。）_&乂/）+你,。）其中，丫。）是速度，N（。為位移，為電機的控制電

流。令勺=%=1，試根據(jù)上述微分方程，選定合適的狀態(tài)變量，建立狀態(tài)空間模型，并寫

為矩陣的形式。

【解析】位移的導(dǎo)數(shù)為速度，所以有與=心由題知“y=一匕丫。）一七”/）+饞.（，）

則矩陣形式為丁=,,+i

01

定義〃=i,令k\=h=l,則x=Ax+3”,其中A=

-1-1

E3.3某系統(tǒng)的狀態(tài)微分方程如式（3.16）所示，其中，A=試求系統(tǒng)特征方程的

—1—1

【解析】特征根表示為4,為⑷-4|=0的解。

=A（A+2）+l=A2+24+1=0,因此特征根為4

E3.4系統(tǒng)的微分方程模型為卓+4，+6孚+8y=20“。試將其改寫為狀態(tài)變量模型

的矩陣形式。

0100

【解析】狀態(tài)微分方程為x=4r+5",y=Cx,其中4=001B0

-8-6-420

C=[l00]o

E3.5某系統(tǒng)的框圖模型如圖E3.5所示，試參照式（3.16）和式（3.17）的格式，寫出該系統(tǒng)

的狀態(tài)方程。

圖E3.5某系統(tǒng)的框圖模型

【解析】由框圖可得狀態(tài)方程為％2=-（及+"）馬+以1+.，，*|=-如+〃

輸出方程為y

0-k1

因此，x=Ax+Bu,y=Cr+?！ǎ渲蠥/、，B=c=[()b],

-(八+")_|\_f

o=[o]。

E3.6某系統(tǒng)可以用方程（3.16）描述，其中A=

（a）試求系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中⑺。

（b）令初始條件為％（（））=￡（0）=1，求解X”）。

【解析】（a）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為①⑺=*=1+4+//+

由于1=0,貝=0,所以

10011t

=I+At=+t=

010001

(b)z>0,x(r)=①(r)x(0),由于玉(0)=々(0)=1,貝1]%。)=玉(0)+%(0)=1+「,

W(r)=%(0)=1。

E3.7考慮如圖3.3所示的質(zhì)量塊-彈簧系統(tǒng),其中M=1依，Z=100N/加且b=20N?s/〃?。

(a)試求其狀態(tài)向量微分方程。

(b)試求系統(tǒng)特征方程的根。

【解析】狀態(tài)方程為片=%，比2=-100玉一20%+〃，

「。0

寫成矩陣形式為*=_X+U

-10C-20

??4-1

特征方程為即_旬==分+20/1+100=(4+10)2=()

1002+20

特征根為4=4=-10。

E3.8直升機經(jīng)常需要通過人工操控，才能夠?qū)崿F(xiàn)在小型船只的移動著陸甲板上空低空懸停。

'010-

在惡劣天氣和海況下尤其如此。懸停條件模型中的狀態(tài)矩陣A為4=001試求特

0-6-3

征方程的根。

2-10

【解析】特征方程為|%/-A|=02-1=/l(A2+32+6)=0

062+3

特征根為4=0，=-1.5+jl.9365,Z,=-1.5-yl.9365o

E3.9圖E3.9給出了一個多回路系統(tǒng)的框圖模型，其中的狀態(tài)變量分別為花和々。

(a)若輸入為r(。，輸出為》(。，試推導(dǎo)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。

(b)確定閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程。

y($)

圖E3.9多回路反饋控制系統(tǒng)的框圖模型

【解析】(a)分析框圖可得

133

4=_%+/々+乙x2=x,--x2-r.y=x}--x2-r

狀態(tài)空間模型為

3

x+[-l]r

2

(b)特征方程為s2+gs+l=(s+2)(s+；]=0。

「。

E3.10某氣墊船控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型包括兩個狀態(tài)變量，且矩陣A為4=

—1

(a)試求其特征方程的根。

(b)求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中(。。

2-6

【解析】(a)特征方程為4/一4|=]^+5=2(A+5)+6=(2+2)(2+3)=0

所以，特征根為4=-2,4=一3。

-1

s-61s+56

(b)①(s)=卜/-(s+2)(s+3)[-lS

1s+5

3e-2,-2e~3'6e-2,-6e-3,

拉普拉斯逆變換可得①(f)=

-e"2'+ev-2e~2'+3e~3'

E3.ll某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為T(s)=曙=試確定它的一個狀態(tài)空間模型。

【解析】狀態(tài)空間模型為x=Ax+3r,y=Cr

010

其中A=,B=C=[124]o

-12-81

E3.12推導(dǎo)圖E3.12所示電路的一個狀態(tài)空間模型。當(dāng)初始電流和電容的初始電壓都為零時,

試求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。

1?[

【解析】運動方程為勺+Ri+匕=v,,其中匕=《Jidt

選擇狀態(tài)變量七=匕，x2=i,則

R11

oi/c1ro'

矩陣形式為T-1/L-R//叫1/"心

loooiro

當(dāng)。=0.()01尸，H=4C,L=0.1"時比=

—10-40JL10

dy

+y—2〃+aco=0

dt

E3.13某系統(tǒng)由如下兩個微分方程描述：其中，。和y都是時間的函

dco.，八

-------+4w=0

dt

數(shù),〃為輸入“機

(a)選擇一組合適的狀態(tài)變量。

(b)寫出系統(tǒng)矩陣微分方程，并求出矩陣中各元素的表達(dá)式。

(c)以。和〃為參數(shù)，求解系統(tǒng)特征方程的根。

【解析】(a)選擇狀態(tài)變量為％=y,

(b)對應(yīng)的狀態(tài)方程為％-辦2+2”,工2二如一4〃

—1-a2

矩陣形式為工=,x+ux=

b0-4

?.A+1ci、

(c)特征方程為pl/—A|==A2+A+ab=0,

—bA

因此特征根為A=--±-71-4^。

22

E3.14某種放射性物質(zhì)以r(r)=K“(r)的速度，將自身質(zhì)量轉(zhuǎn)移到另外一種質(zhì)量為M的放

射性物質(zhì)上，其中K為常數(shù)。試針對這一過程，選定合適的狀態(tài)變量，并建立狀態(tài)空間模

型。

【解析】假設(shè)質(zhì)量衰減與存在的質(zhì)量成正比，故M=-+其中q為比例常數(shù)。

選擇狀態(tài)變量x作為質(zhì)量Mo則狀態(tài)方程為x=-qx+Ku。

E3.15考慮圖E3.15所示的雙質(zhì)量塊系統(tǒng)，兩個質(zhì)量塊的摩擦系數(shù)都為人。試求該系統(tǒng)的微

分方程模型，并寫成矩陣形式。

【解析】運動方程為/nr+Ax+K（x-q）+/zr=O,mq+kq+bq+k[^q-x）-Q

0100'

k+k1bK

0

mmm

X,x=二元,

狀態(tài)變量形式為工=X,其中X1二二2&=q

0001

k\k+k、b

0

mmm_

x4=qQ

E3.16兩輛推車以圖E3.16的形式進行連接,且滾動摩擦可以忽略。系統(tǒng)的外部受力為“（f）.

輸出為推車加2的位移，即y（f）=q（f）,試推導(dǎo)該系統(tǒng)的一種狀態(tài)空間模型。

圖E3.16雙聯(lián)推車系統(tǒng)（忽略滾動摩擦）

【解析】運動的控制方程為町x+4（》一4）+4（x-q）="（。,

牲（7+&<7+仇4+4（4一尤）+4（<7—％）=（）,

令％=x,%2=x,%3=q，xA=q,則

0100

u

&_A收b、

1

町m1

X=x+町M(0

0001

uA

(&+12)3+H)

kb\0

m2嗎m2m2

由于輸出為y")=q(r),則y=[0010卜。

E3.17考慮圖E3.17所示的RC電路,試推導(dǎo)其矩陣形式的微分方程模型。

圖E3.17RC電路

【解析】在節(jié)點1有。/=三上+%上，在節(jié)點2有&嶺=三衛(wèi)+三上

&A24

令X]=匕，X2=v2,則矩形形式為

i

-----1-----

、RCR2G>

]lx+RC

1o

,di.

Ri+L-^-+v=v

ytata

1,

E3.18某系統(tǒng)可以用如下的微分方程組描述：L,—=%其中，R,A,,L,和。都

at

■,■_^dv

z.+z7=C—

'2dt

是給定常數(shù)，匕和均為輸入信號。選定3個狀態(tài)變量，分別為玉=4，尤2=12和*3=丫；

系統(tǒng)輸出為芻。試推導(dǎo)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。

【解析】運動的控制方程為即+L號+v=v“,L號+v=%,4-z2=C-，令再=4,

--1

0_10

A工

11

000

々=，21七=U,%=%,“2=為，故*=一工X+匚U

J_00

0

_CC

y=[00l]x+[()]wo

一010

x=x+u

E3.19某單輸入-單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為I-3-4jLd試求解該系統(tǒng)的傳

y=[100]x

遞函數(shù)G(s)=y(s)/U(s)。

【解析】計算矩陣立一4=:一)則①/、⑸/=("叫\(zhòng)-i=函1［5.+341s

35+4

5+41

其中A(S)=S2+4S+3。G(S)=[100]△("△("r°l=_12—°

v7-L」_3Lds+4s+3

.M，)

..ok

E3.20考慮圖E3.20所示的簡易單擺系統(tǒng)，其非線性運動方程為。+與5m。+—。=0其中，

Lm

g為重力常數(shù)，L為單擺長度，，〃為單擺末端小球的質(zhì)量(忽略擺桿質(zhì)量)，比為單擺支點

的摩擦系數(shù)。

(a)在平衡點。=0°附近，對單擺的運動方程進行線性化。

(b)取系統(tǒng)輸出為擺角。，試推導(dǎo)建立單擺的狀態(tài)空間模型。

【解析】(a)當(dāng)e=o°時sin。六。，則線性化方程為夕+&e+Ae=o。

Lm

(b)令玉=6,x2=0,則狀態(tài)變量形式為*=Ax,y=Cx,其中

01夕⑼一

AC=[l0],x(0)

一g"-k/m_'

011

*(')=x(r)+

E3.21某單輸入-單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為-1-20試推導(dǎo)系

y(f)=[0l]x(r)

統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)=y(s)/u(s),并求解系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。

【解析】傳遞函數(shù)為6(5)=。卜/-4「3+0=二/1

單位階躍響應(yīng)為y(t)=-l+e~'+te~'

x=Ax+Bu321

E3.22考察由下面的狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng),=J+?！捌渲蠥=,B=

34

C=[l0],0=[0]

(a)計算傳遞函數(shù)G(s)=y(s)/U(s)；

(b)確定系統(tǒng)的零點和極點；

(c)如果可能，確定能夠?qū)崿F(xiàn)(a)中得到的傳遞函數(shù)的等效一階系統(tǒng)，并表示為如下形

x=ax-\-bu

式：」其中，ci,b,c和d都是標(biāo)量。

y=cx+du

w—6

【解析】(a)傳遞函數(shù)為G(s)=/二7s+6

(b)系統(tǒng)的極點為M=1,$2=6,；零點為s=6。

(c)由于有一個零極點相消，可以將系統(tǒng)以狀態(tài)變量的形式寫為x=x-血”，y=-與-x,

傳遞函數(shù)為G(s)=—。

5-1

E3.23考察由三階微分方程描述的系統(tǒng)：

x(r)+3x(f)+3x(。+x(r)=〃(f)+2"(r)+4a(f)+(。

將x(r)取為輸入，取為輸出，試給出系統(tǒng)的一種狀態(tài)空間模型和一種框圖模型。

【解析】系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為x=Ax+3〃，y=Cx+Du,

01

其中A=00C=[01-1],o=[i]。

-1-3

框圖模型為

一般習(xí)題

P3.1考慮圖P3,1所示的RLC電路，

(a)為電路選定一組合適的狀態(tài)變量。

(b)根據(jù)所選變量，建立一組微分方程，用來描述該電路。

(c)建立系統(tǒng)的狀態(tài)微分方程。

圖P3.1RLC電路

【解析】根據(jù)基爾霍夫電壓定律可得回路方程為?=:丫一?，一；匕，其中匕=；「流。

CllLJLLL

(a)選擇狀態(tài)變量為9=匕。

|R|i

(b)相應(yīng)的狀態(tài)方程為X[=--v——xi—~-X2w=下內(nèi)。

LLL

-R/L-RLML

(c)令輸入"=V,則矩陣形式為x=X+U

i/co0

P3.2某平衡電橋網(wǎng)絡(luò)如圖P3.2所示,

(a)驗證該電路的狀態(tài)微分方程中的矩陣A和8分別為

b2/((a+為)C)o

A—

0-2HA/((a+/?2閭

1/C-

/L&/L-R./L

（b）選取狀態(tài)變量為（石,9）=（匕/），繪制該電路的框圖模型。

。21——。22-7（K+RJ\Lo

對應(yīng)的框圖模型如下：

信號流圖如下：

P3.3某RLC電路如圖P3.3所示,針對該電路定義了兩個狀態(tài)變量,分別為玉=乙和馬=匕。

試推導(dǎo)系統(tǒng)的狀態(tài)微分方程。

圖P3.3RLC電路

【解析】由基爾霍夫電壓定律，有一匕+彩一匕=0

at

對節(jié)點處利用基爾霍夫電流定律，有。半=-<+%,其中，R是流過電阻R的電流。

at

右回路有%+匕=0,即iR—―4+得

RR

因此也=_上人+當(dāng)，也=上+乜上。

dtRCCRCdtdtLL

，工、「0\/L入、「1/L-1/Lirv.-

矩陣形式的狀態(tài)微分方程為1="…,其中

㈤-1/C-1RC㈤0{RCv2

x=4,%=匕。信號流圖如下：

RC

P3.4某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為T(s)=%=飛s-+'s,+50一

給出系統(tǒng)的一種狀態(tài)微分方程

''R(s)?+452+6.V+10

模型，并繪制框圖模型。

-0

【解析】相量形式為x=0y=[102l]x,對應(yīng)的框圖模型

-10

如下：

R⑶如）

-41oir1'

輸入前饋形式為*=-601x+2r(r),_y=[10()]x輸入前饋形式的框圖

oj[10

-100

如下：

P3.5某閉環(huán)控制系統(tǒng)如圖P3.5所示，

（a）試推導(dǎo)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)T（s）=F（s）/R（s）。

（b）給出系統(tǒng)的一種狀態(tài)微分方程模型，并繪制框圖模型。

圖P3.5閉環(huán)控制系統(tǒng)

C1

【解析】（a）傳遞函數(shù)為T（S）=3-二不一"-

5+45--115+1

-01

（b）矩陣微分方程為x=Ax+3〃，y=Cx,其中A=00

-111

C=[l10]?？驁D模型如下：

----------->]------------

V+

+z-x1411Ml-'，_.1

RG）—*Q——?-——?—~-s-------*-4-0-?丫⑻

'-------------------11<-

-------------------------------------1<—

P3.6選定圖P3.6所示電路的3個狀態(tài)變量，分別為％=匕，*2=%和七=，。試推導(dǎo)該電

路矩陣形式的狀態(tài)變量微分方程。

【解析】節(jié)點方程為0.00025也+乙一九二匕=0,0.0005^-4+-^--i3=0,

dt4000dt1000

I?

0.002為+嶺一匕=0

dt2i

定義狀態(tài)變量為玉=匕，/=匕和&=，1則工=心+以/,其中

--I0-4000-10

A=0-22000,B=02000

500-500000

P3.7某遙控潛艇的深度自動控制系統(tǒng)如圖P3.7所示，系統(tǒng)利用壓力傳感器測量深度。當(dāng)上

浮或者下潛速度為25m/s時，尾部發(fā)動機的增益為K=l,潛艇的近似傳遞函數(shù)為

G(s)=t^-反饋回路上的壓力傳感器的傳遞函數(shù)為”(s)=2s+l。試給出系統(tǒng)的一種

狀態(tài)空間模型。

圖P3.7遙控潛艇的深度自動控制系統(tǒng)

【解析】給定K=l,則KG(s),=-(：：l\

ss(s1+l)

c2-LOV-I-Ic-14_7c-2c_3

閉環(huán)傳遞函數(shù)為T(s)=%m；=%三?、

3s+5s-+5s+l3+5s+5s~+s

0100

狀態(tài)空間模型為工=001x+0r,y=[l2l]xo

-1/3-5/3-5/31/3

P3.8登月艙的軟著陸過程模型如圖P3.8所示，定義了3個狀態(tài)變量，分別為玉=-

/=dy/〃和七=",輸入信號為力7?/力；g為月球上的引力常數(shù)。試推導(dǎo)該著陸過

程的狀態(tài)空間模型。這是一個線性模型嗎？

圖P3.8登月艙著陸控制

ku

【解析】狀態(tài)空間模型為％=*2，無2=--S,無3=〃

七

這是一個非線性模型。

P3.9可以不采用機械元件而是全部采用流體元件來設(shè)計速度控制系統(tǒng)，這稱為純流體控制

系統(tǒng)。所用的流體既可以是液體，也可以是氣體。由于流體本身的特殊性質(zhì)，這種純流體控

制系統(tǒng)對于大范圍溫度變化、電磁和核輻射、加速和振動等惡劣環(huán)境不敏感，因而具有較高

的可靠性。某系統(tǒng)能夠通過調(diào)節(jié)分離叉和閥門，將速度控制在預(yù)期值的0.5%的誤差范圍內(nèi)，

它通過一個流體噴射導(dǎo)流板放大器實現(xiàn)放大功能。該系統(tǒng)可以用于控制轉(zhuǎn)速為12000rpm且

功率為500kW的汽輪機，其框圖如圖P3.9所示。圖中各參數(shù)的無量綱取值分別為。=01，

J=1和=0.5。

(a)試推導(dǎo)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)T(s)=磯s)/R(s)。

(b)推導(dǎo)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。

(c)利用狀態(tài)空間模型中的矩陣A,推導(dǎo)系統(tǒng)的特征方程。

以S)

擾動

圖P3.9汽輪機控制系統(tǒng)框圖模型

【解析】(a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

10s-3

T(s)=-i_7--------------------，其中K1=0.5,J=l,

''J.V3+(Z?+10J)52+1Obs+10^l+10.1.<'+<2+5.<3

0=0.1。

0100

(b)狀態(tài)空間模型為工=001x+0r,co=\\00]xo

-5-1-10.110

s-10

(c)特征方程為det同一A]=det0s-1=53+10.Lv2+5+5=0

515+10.1

特征方程的根為4=-10.05,邑.3=-0.0250±0.7049；o

所有的根位于左平面，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。

P3.10許多控制系統(tǒng)必須同時工作在兩個維度上，例如，x軸和y軸。某雙軸控制系統(tǒng)如圖

P3.10所示，其中，X1和X2為預(yù)先定義的狀態(tài)變量。兩個軸的增益分別為4和K?。

(a)試推導(dǎo)系統(tǒng)的狀態(tài)微分方程。

(b)利用矩陣A,推導(dǎo)系統(tǒng)的特征方程。

(c)當(dāng)&=&=1時，求解系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

(a)(b)

圖P3.10雙軸控制系統(tǒng)。(a)信號流圖模型；(b)框圖模型

【解析】(a)根據(jù)信號流圖可以確定狀態(tài)空間模型為

(b)特征方程為det[si一A]=$2+((+Kjs+2(&=0

1

(c)當(dāng)&=&=1時4=To

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為①=C11[^-}=e-'COSEsinZ

-sintcost

1-20

P3.ll某系統(tǒng)可以描述為x=+其中，4=一c，8=八初始條件為

-30

X,(0)=%,(())=10?試求玉⑺和工2?)。

(2r-l)e-,-2te''

【解析】狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為①(/)=

2人(-21+1金

當(dāng)玉(0)=9(0)=10時，有x")=①⑺x(0)即々")=10”'。

Y(5)/、8(s+5)

P3.12某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為-44=T(s=-~_-

R(s)')?+12.v2+445+48

(a)試給出系統(tǒng)的一種狀態(tài)空間模型表示。

(b)試求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣①⑺。

0

【解析】(a)狀態(tài)空間模型為》=0y=[4080]xo

-48

(b)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為①(。=[①①2。)①3(3，其中

1—6/11-2/

-e——e-At+-e

848

A,2

①、⑺=-le^'+e---e-'o

-V744

-4e^'+-e~2'

.22_

P3.13重新考慮圖P3.1所示RLC電路，并將電路參數(shù)設(shè)定為R=2.5,乙=1/4和。=1/6。

(a)求解矩陣A,利用矩陣A求解系統(tǒng)的特征方程，據(jù)此判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

(b)求解該電路的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

(c)當(dāng)電感的初始電流為0.1A,且匕(0)=0和u(r)=O時，確定系統(tǒng)的響應(yīng)。

(d)當(dāng)初始條件為零，且y?)=E(E為常數(shù))，。＞0時，重做(c)o

-10-44

【解析】(a)RLC電路的狀態(tài)空間模型為*=x+u

600

特征方程為$2+10s+24=0,特征根為、=-4,$2=一6,所有的根位于左半平面，因此

系統(tǒng)穩(wěn)定。

3e?-Ze"'2/'+2/'

(b)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為①”)=

一3四+3人—2不+3U

(c)給定%(0)=0.1,^(0)=0,e(/)=0,則i(f)=x?)=0.3ef_0.2eY',

匕⑺=￡⑺=-0.3e?+0.3/'。

4E

(d)當(dāng)x(0)=(),v(f)=E時x(f)=①("？)5V,其中=

0

系統(tǒng)的響應(yīng)為x,(。=(―2垢+2e~4,)E,巧⑺=(1+2m)E。

P3.14某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為4?=T(s)=------吉斗---------試推導(dǎo)給出系統(tǒng)的

R(s)')54+12?+1052+34,V+16

一種狀態(tài)空間模型表示。

-0100

0010

【解析】狀態(tài)空間模型為x=Ax+5r,y=Cx,其中A=

0001

-50-34-10-12

P3.15某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為%=T(S)=F14《+4)——試推導(dǎo)系統(tǒng)的一種狀態(tài)空

R(s)')53+10?+3b+16

間模型表示，并繪制其框圖。

-0

【解析】狀態(tài)空間模型為1=0y=[56140]xo

-16

框圖如下：

14

R⑶Y(s)

P3.16受控潛艇的動態(tài)特性與飛機、導(dǎo)彈和水面船舶存在顯著差異。這一差異主要源于豎直

平面上由于浮力導(dǎo)致的動壓差。因此，對于潛艇而言，深度控制非常重要。潛艇在水下的航

行姿態(tài)如圖P3.16所示，根據(jù)牛頓運動方程，可以推導(dǎo)出潛艇的動力學(xué)方程。出于簡化方程

的目的，假定角度8非常小，速度v保持25ft/s不變。只考慮豎直方向上的控制特性，可以

將潛艇的狀態(tài)變量定義為％=。，%="。/力和工3=。，其中a為攻角。因此，潛艇的狀

0100

態(tài)向量微分方程為x=-0.0071-0.1110.12x+-0.095“⑺其中，輸入為尾

00.07-0.3+0.072

部控制面的傾斜度RW,即u(t)=8S(t)o

(a)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

(b)當(dāng)初始條件為零，尾部控制面的傾斜度為幅值是0.285°的階躍信號時，求解系統(tǒng)的

輸出響應(yīng)。

【解析】(a)特征方程為

5-10

det(5Z-A)=det0.00715+0.111-0.12=53+0.41Is2+0.0325+0.00213=0

0-0.075+0.3

特征根為y=-0.3343,S"=-00383±0.0700/。所有的根位于左半平面，因此系統(tǒng)穩(wěn)

定。

(b)尾部控制面的傾斜度為幅值是0.285°的階躍信號時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為

X(。=-2.66—0.1le《33,+e"038,(277cos0.07f+0.99sin0.07。

x,(r)=0.037e《33,_0<03必(Q.037cos0.07r+0.23sin0.07。

03fi,

&(r)=0.069-0.075e433r+e^(0.006cos0.07r-0.06sin0.07r)。

P3.17某系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為試確定其傳遞函數(shù)

y=[100]x

G(s)=y(s)/u(s)。

-45+12

【解析】傳遞函數(shù)為G（S）=C（S1-ALB

■3-14?+375+20°

P3.18機器人控制系統(tǒng)如圖P3.18所示，其中通過電機轉(zhuǎn)動肘關(guān)節(jié)之后，可以通過小臂移動

機器人的手腕。彈簧的彈性系數(shù)為阻尼系數(shù)為。；為該系統(tǒng)定義了3個狀態(tài)變量，分別

為X|=-%，=外/例）和毛=例/例），其中="（：；，）試推導(dǎo)系統(tǒng)矩陣形式的

狀態(tài)微分方程。

圖P3.18工業(yè)機器人（GCA公司友情提供）

【解析】定義狀態(tài)變量為玉=族一。2，%2=例/%,工3=牡/例），

機器人的狀態(tài)方程為4=華）%2一4“3，^2~~,一74+7工3+

4

01-10

矩陣形式為了=4?-i-b瓦x+di,其中a=-,b、=--,b2=--

yJj+J2J](t)oJ2g

ab2-b2

d=&~0

人口。

~Q|T

P3.19某系統(tǒng)的狀態(tài)微分方程為x（7）=x（。其中，x（z）=[x,（r）/。）[o

-2-3

（a）計算系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中。,0）。

（b）初始條件為玉（（））=1和赴（（））=-1,試?yán)茫╝）得到的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，求解狀態(tài)向

量x(r),r>0o

01,、/、

【解析】狀態(tài)方程為x=°?X,其中3(0)=1,w(O)=T。

—2—3

-e~2'+2e''-e"2'+e'

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為①(f)=

2e-2'-2e-'2e-2'-e-'

系統(tǒng)響應(yīng)為％⑺=(一e。+2e-')x,(O)+(—e。+e~(0)

W?)=(2""—2e-')%(0)+(2/'_/(0)

P3.20突然關(guān)閉處于平衡工作狀態(tài)且具有高強度中子流的熱核反應(yīng)堆，在關(guān)閉的瞬間，反應(yīng)

堆中位135(X)和碘135(I)的濃度分別為每單位體積內(nèi)有7xl0i6和3xl()i5個原子。銀

135和碘135的半衰期分別為9.2h和6.7h,其衰減方程分別為

/=一"空，火=一3萼x—/為了確定從反應(yīng)堆關(guān)閉時刻起，M135和碘135的濃度

6.79.2

變化情況，試求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和系統(tǒng)的時間響應(yīng)，并驗證圖P3.20所給的結(jié)果。

0.693

67「03x10”

【解析】狀態(tài)方程為x=6/八“。X,其中X(o)=16

.0.693'77xl016

-1----------L

L9.2」

0-0.10343310

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為①⑺=35.578雁3—皿6”

0-0075326,

系統(tǒng)響應(yīng)為X(f)=e如。如以工"。)

075326075326,

x2(/)=35.5786[e??433J^^]%1(0)+^x2(0)。

P3.21考慮圖P3.21給出的框圖模型，

丫(s)&s+%+a也

(a)驗證其傳遞函數(shù)為G(s)=

2

U(5)S+tZ15+fl0

01X+4〃

X二

(b)驗證對應(yīng)的狀態(tài)變量模型為|_-4_%」其中4=4且

4=瓦一宿。

(a)由圖P3.21可得

y(5)=-W(5)=-h}U(s)+，Q(s)=—U(s)+![%{/(s)—〃0y(s)—(s)+q4U(s)]

sssss

整理得（匕+鈔（$）*+，+用〃（立即y（T絲”卜⑸

（b）根據(jù)狀態(tài)變量表示法計算傳遞函數(shù)可得

s+q1

22

s+。/+。0s+qs+%4―知+為+叫

G(5)=C(5/-A)-1B=[10]

2

~a0Sh{}_s

s~2+4s+a。s~2+4s+/

P3.22考慮圖P3.22所示的RLC電路，該電路定義了3個狀態(tài)變量，分別為項=。/=M

和七=彩；輸出為%（。。試推