《高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件》2011第三、四節(jié)可降階的及線性高階微分方程CONTENTS引言可降階的高階微分方程線性高階微分方程習(xí)題解答引言01請(qǐng)輸入您的內(nèi)容引言可降階的高階微分方程02定義與性質(zhì)定義可降階的高階微分方程是指通過(guò)一定的變換，能夠?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為較低階數(shù)的微分方程的方程。性質(zhì)可降階的高階微分方程具有較為簡(jiǎn)單的形式，便于求解和分析。變量代換法通過(guò)引入新的變量，將高階微分方程轉(zhuǎn)化為較低階數(shù)的微分方程，然后求解。積分法通過(guò)對(duì)高階微分方程進(jìn)行積分，將其轉(zhuǎn)化為多個(gè)低階微分方程或常微分方程，然后求解。冪級(jí)數(shù)法將高階微分方程的解表示為冪級(jí)數(shù)形式，然后通過(guò)代入初始條件和邊界條件求解。求解方法例1考慮方程$y^{(4)}=x$，通過(guò)引入新變量$z=y'$，可以得到$z'=frac{y^{(4)}}{y'}$，進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到$z'=x$，這是一個(gè)一階微分方程，易于求解。考慮方程$y^{(4)}=x^2$，通過(guò)對(duì)原方程進(jìn)行積分，可以得到$y^{(3)}=frac{1}{3}x^3+C_1$，再對(duì)上式進(jìn)行積分，可以得到$y''=frac{1}{4}x^4+C_1x+C_2$，最終得到$y=frac{1}{6}x^6+C_1x^2+C_2x+C_3$，其中$C_1,C_2,C_3$為常數(shù)?？紤]方程$y^{(4)}=e^x$，通過(guò)對(duì)原方程進(jìn)行積分，可以得到$y^{(3)}=frac{1}{2}e^x+C_1$，再對(duì)上式進(jìn)行積分，可以得到$y''=frac{1}{6}e^x+C_1x+C_2$，最終得到$y=frac{1}{24}e^x+C_1x^2+C_2x+C_3$，其中$C_1,C_2,C_3$為常數(shù)。例2例3實(shí)例解析線性高階微分方程03線性高階微分方程請(qǐng)輸入您的內(nèi)容習(xí)題解答04求解一階線性微分方程$y'+p(x)y=q(x)$?；A(chǔ)題1求解二階常系數(shù)線性微分方程$y''+a_1y'+a_0y=f(x)$?；A(chǔ)題2求解高階線性微分方程$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+cdots+a_1y'+a_0y=f(x)$?；A(chǔ)題3基礎(chǔ)題解答求解可降階的高階微分方程$y^{(n)}=f(x,y',ldots,y^{(n-1)})$。求解高階線性微分方程組的解。求解高階非線性微分方程的解。提高題1提高題2提高題3提高題解答求解高階微分方程與一階微分方程組的耦合問(wèn)題。綜合題1求解高階微分方程在物理、工程等領(lǐng)域的應(yīng)用問(wèn)