第06講排列與組合【人教A版2019】·模塊一排列與排列數(shù)·模塊二組合與組合數(shù)·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一排列與排列數(shù)1．排列(1)排列的定義一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(mn，n,m∈)個(gè)元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.

(2)排列概念的理解

①排列的定義中包含兩個(gè)基本內(nèi)容，一是取出元素；二是按照一定的順序排列.

②兩個(gè)排列相同的條件：元素完全相同；元素的排列順序也相同.

③定義中“一定的順序”就是說排列與位置有關(guān)，在實(shí)際問題中，要由具體問題的性質(zhì)和條件進(jìn)行判斷，這一點(diǎn)要特別注意.

(3)排列的判斷

判斷一個(gè)問題是不是排列問題的關(guān)鍵：判斷是否與順序有關(guān)，與順序有關(guān)且是從n個(gè)不同的元素中任取m(mn，n,m∈)個(gè)元素的問題就是排列問題，否則就不是排列問題.而檢驗(yàn)一個(gè)問題是否與順序有關(guān)的依據(jù)就是變換不同元素的位置，看其結(jié)果是否有變化，若有變化就與順序有關(guān)，就是排列問題；若沒有變化，就與順序無關(guān)，就不是排列問題.2．排列數(shù)(1)排列數(shù)定義

從n個(gè)不同元素中取出m(mn，n,m∈)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號表示.

(2)排列數(shù)公式

=n(n1)(n2)(nm+1).這里，n,m∈，并且mn.(3)排列數(shù)公式的理解

①排列數(shù)公式推導(dǎo)的思路：第1步，排第1個(gè)位置的元素，有n種排法；第2步，排第2個(gè)位置的元素，有(n1)種排法；第3步，排第3個(gè)位置的元素，有(n2)種排法；；第m步，排第m個(gè)位置的元素，有(nm+1)種排法.因此，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有=n×(n1)×(n2)××(nm+1)種不同的排法.

②排列數(shù)公式的特征：第一個(gè)因數(shù)是n，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)因數(shù)少1，最后一個(gè)因數(shù)是nm+1，共有m個(gè)因數(shù).【考點(diǎn)1有關(guān)排列數(shù)的計(jì)算與證明】【例1.1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)4A(2)A4【例1.2】（2023下·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中）計(jì)算：(1)4A(2)A10【變式1.1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）計(jì)算：(1)A6(2)2A(3)若3Ax3=2【變式1.2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）（1）解不等式：3A（2）解方程：A2x+1【考點(diǎn)2無限制條件的排列問題】【例2.1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）A，B，C三名同學(xué)照相留念，成“一”字形排隊(duì)，所有排列的方法種數(shù)為（

）A．3種 B．4種C．6種 D．12種【例2.2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）5本不同的課外讀物分給5位同學(xué)，每人一本，則不同的分配方法有（

）A．20種 B．60種 C．120種 D．100種【變式2.1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）身高互不相同的6個(gè)人排成2橫3縱列照相，在第一行的每個(gè)人都比他同列身后的人個(gè)子矮，則不同的排法種數(shù)為（

）A．1 B．15 C．90 D．54【變式2.2】（2023下·山西運(yùn)城·高二?？茧A段練習(xí)）自然對數(shù)e也稱為歐拉數(shù)，它是數(shù)學(xué)上最重要的常數(shù)之一，e的近似值約為2.7182818?，若用歐拉數(shù)的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8設(shè)置一個(gè)6位數(shù)的密碼，則不同的密碼有（

）個(gè)A．180 B．240 C．360 D．720【考點(diǎn)3有限制條件的排列問題】【例3.1】（2023上·黑龍江雞西·高三?？计谀?023年杭州亞運(yùn)會(huì)期間，甲?乙?丙3名運(yùn)動(dòng)員與4名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰?丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（

）A．720 B．960 C．1120 D．1440【例3.2】（2023·河南開封·統(tǒng)考一模）現(xiàn)要從6名學(xué)生中選4名代表班級參加學(xué)校的4×100m接力賽，已知甲確定參加比賽且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，則合適的選擇方法種數(shù)為（

A．84 B．108 C．132 D．144【變式3.1】（2023·山東·統(tǒng)考一模）4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相鄰，女生與女生也互不相鄰，則不同的排法種數(shù)是（

）A．36 B．72 C．81 D．144【變式3.2】（2023下·上海閔行·高二?？计谥校楹霌P(yáng)我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計(jì)劃利用暑期開設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗(yàn)課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．某學(xué)生從中選2門課程學(xué)習(xí)，共有15種選法B．課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480種排法C．課程“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，共有144種排法D．課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法模塊二模塊二組合與組合數(shù)1．組合(1)組合的定義

一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(mn，n,m∈)個(gè)元素作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.

(2)組合概念的理解

①組合的概念中有兩個(gè)要點(diǎn)：要求n個(gè)元素是不同的；“只取不排”，即取出的m個(gè)元素與順序無關(guān)，無序性是組合的特征性質(zhì).

②兩個(gè)組合相同：只要兩個(gè)組合中的元素完全相同，無論元素的順序如何，都是相同的組合.

(3)排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別

聯(lián)系：都是從n個(gè)不同元素中取出m(mn，n,m∈)個(gè)元素.

區(qū)別：排列是把取出的元素按順序排成一列，它與元素的順序有關(guān)系，而組合只要把元素取出來就可以，取出的元素與順序無關(guān).可總結(jié)為：有序排列，無序組合.2．組合數(shù)與組合數(shù)公式(1)組合數(shù)

從n個(gè)不同元素中取出m(mn，n,m∈)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號表示.

(2)組合數(shù)公式

①連乘表示：

==.

這里，n,m∈，并且mn.

②階乘表示：=.

規(guī)定：=1.3．組合數(shù)的性質(zhì)(1)性質(zhì)1：=

這個(gè)性質(zhì)反映了組合數(shù)的對稱性，其實(shí)際意義：從n個(gè)不同元素中取出m(mn，n,m∈)個(gè)元素后，剩下(nm)個(gè)元素，因而從n個(gè)不同元素中取m個(gè)元素的組合，與剩下的(nm)個(gè)元素的組合是一一對應(yīng)的，因此取法是一樣多的.

利用這個(gè)性質(zhì)，當(dāng)m>時(shí)，我們可以不直接計(jì)算，而是改為計(jì)算，這樣可以簡化運(yùn)算.

(2)性質(zhì)2：=+

這個(gè)性質(zhì)可以理解為分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，在確定從(n+1)個(gè)不同元素中取出m(mn，n,m∈)個(gè)元素時(shí)，對于某一個(gè)特定元素，只存在取與不取兩種情況，如果取這個(gè)元素，則只需從剩下的n個(gè)元素中再取(m1)個(gè)元素，有種取法；如果不取這個(gè)元素，則需從剩下的n個(gè)元素中取出m個(gè)元素，有種取法.

由分類加法計(jì)數(shù)原理可得：=+.

在應(yīng)用中，要注意這個(gè)性質(zhì)的變形、逆用等.【考點(diǎn)1

有關(guān)組合數(shù)的計(jì)算與證明】【例1.1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)n為正整數(shù)，求值：(1)C2n?3(2)C13+n【例1.2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知m是自然數(shù)，n是正整數(shù)，且m≤n．求證：(1)Cn(2)Cn+1【變式1.1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）（1）計(jì)算：C（2）求等式Cn?15+【變式1.2】（2023下·高二單元測試）已知n∈N?，n≥2，(1)求值：kC(2)化簡：Cn【考點(diǎn)2組合計(jì)數(shù)問題】【例2.1】（2023上·甘肅白銀·高二?？计谀┠晨萍夹〗M有6名學(xué)生，其中男生4人，女生2人，現(xiàn)從中選出3人去參觀展覽，則至少有一名女生入選的不同選法種數(shù)為（

）A．12 B．16 C．18 D．24【例2.2】（2023·四川自貢·統(tǒng)考一模）2023年成都大運(yùn)會(huì)招募志愿者，現(xiàn)從某高校的6名志愿者中依次選出3名擔(dān)任語言服務(wù)，2名擔(dān)任人員引導(dǎo)，1名擔(dān)任應(yīng)急救助.每名志愿者只能擔(dān)任一項(xiàng)，則甲乙不參與同一項(xiàng)志愿服務(wù)的選法有（

）種.A．28 B．36 C．40 D．44【變式2.1】（2023上·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校派出五名教師去三所鄉(xiāng)村學(xué)校支教，其中有一對教師夫婦參與支教活動(dòng)．根據(jù)相關(guān)要求，每位教師只能去一所學(xué)校參與支教，并且每所學(xué)校至少有一名教師參與支教，同時(shí)要求教師夫婦必須去同一所學(xué)校支教，則不同的安排方案有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．48種【變式2.2】（2023上·山西忻州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)已圓滿落幕，志愿者“小青荷”們讓世界看到了新時(shí)代中國青年的風(fēng)采.早在2021年5月，杭州A公司便響應(yīng)號召，在全公司范圍內(nèi)組織亞運(yùn)會(huì)志愿者的報(bào)名與培訓(xùn)，經(jīng)過選拔，最終有3名黨員和3名團(tuán)員共6人脫穎而出.在彩排環(huán)節(jié)，需從這6人中選派2人去游泳館，2人去籃球館，且要求每個(gè)場館均至少有一位黨員，則不同的選派結(jié)果有（

）A．54種 B．45種 C．36種 D．18種【考點(diǎn)3排列、組合的綜合問題】【例3.1】（2023下·湖南長沙·高二統(tǒng)考期末）從A，B，C等8人中選出5人排成一排.(1)A必須在內(nèi)，有多少種排法？(2)A，B，C三人不全在內(nèi)，有多少種排法？(3)A，B，C都在內(nèi)，且A，B必須相鄰，C與A，B都不相鄰，都多少種排法？(4)A不允許站排頭和排尾，B不允許站在中間（第三位），有多少種排法？【例3.2】（2023下·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)(1)在組成的五位數(shù)中，所有偶數(shù)有多少個(gè)？(2)在組成的五位數(shù)中，大于31000的數(shù)有多少個(gè)？(3)在組成的五位數(shù)中，數(shù)字2和數(shù)字4不相鄰的數(shù)有多少個(gè)？【變式3.1】（2023下·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的科代表，求分別符合下列條件的選法數(shù).(1)有女生但人數(shù)必須少于男生；(2)某女生一定擔(dān)任語文科代表；(3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任語文科代表；(4)某女生一定要擔(dān)任語文科代表，某男生必須擔(dān)任科代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表.【變式3.2】（2023下·湖北宜昌·高二校聯(lián)考期中）第18屆亞足聯(lián)亞洲杯將于2023年舉行，已知此次亞洲杯甲裁判組有6名裁判，分別是A,B,C,D,E,F.（以下問題用數(shù)字作答）(1)若亞洲杯組委會(huì)邀請甲裁判組派裁判去參加一項(xiàng)活動(dòng)，必須有人去，去幾人由甲裁判組自行決定，問甲裁判組共有多少種不同的安排方法？(2)若亞洲杯組委會(huì)安排這6名裁判擔(dān)任6場比賽的主裁判，每場比賽只有1名主裁判，每名裁判只擔(dān)任1場比賽的主裁判，根據(jù)回避規(guī)則，其中A不擔(dān)任第一場比賽的主裁判，C不擔(dān)任第三場比賽的主裁判，問共有多少種不同的安排方法？(3)若亞洲杯組委會(huì)將這6名裁判全部安排到3項(xiàng)不同的活動(dòng)中，每項(xiàng)活動(dòng)至少安排1名裁判，每名裁判只參加1項(xiàng)活動(dòng)，問共有多少種不同的安排方法？模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023下·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）5A52A．74 B．98 C．124 D．1482．（2023下·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）已知A3m?A．0 B．2或3 C．1或3 D．33．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）五名同學(xué)彝族新年期間去邛海濕地公園采風(fēng)觀景，在觀鳥島濕地門口五名同學(xué)排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（

）A．12種 B．24種 C．48種 D．96種4．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）不等式A8A．2,8 B．2,6 C．7,12 D．85．（2023上·江西撫州·高二?？茧A段練習(xí)）在某城市中，A，B兩地有如圖所示的方格型道路網(wǎng)，甲隨機(jī)沿道路網(wǎng)選擇一條最短路徑，從A地出發(fā)去往B地，途經(jīng)C地，則不同的路線有（

）A．90種 B．105種 C．260種 D．315種6．（2023上·安徽合肥·高三?？茧A段練習(xí)）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)期間，甲、乙、丙3名運(yùn)動(dòng)員與5名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰、丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（

）A．1120 B．7200 C．8640 D．144007．（2023上·四川成都·高三成都實(shí)外校考階段練習(xí)）寒冬己至，大雪紛飛，峨眉山頂銀裝素裹.成實(shí)外教育集團(tuán)的5位學(xué)生相約一起爬山觀景.其中3位女生，2位男生，在到達(dá)零公里時(shí)，為了安全起見，他們排隊(duì)前進(jìn)，為了照顧大家安全，2位男生不能相鄰，且女生甲怕猴子，不能排在最后一個(gè)，則不同的排法種數(shù)共有（

）A．60 B．36 C．30 D．728．（2023上·江蘇鹽城·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）將甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到A,B,C,D四個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，要求每個(gè)社區(qū)至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在A社區(qū)的不同安排方法數(shù)為（

）A．24 B．36 C．60 D．969．（2023上·江西·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）北斗七星是夜空中的七顆亮星，我國漢代緯書《春秋運(yùn)斗樞》就有記載，它們組成的圖形像我國古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不僅是天上的星象，也是古人藉以判斷季節(jié)的依據(jù)之一.如圖，用點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示某一時(shí)期的北斗七星，其中B，D，E，F(xiàn)看作共線，其他任何三點(diǎn)均不共線，過這七個(gè)點(diǎn)中任意兩個(gè)點(diǎn)作直線，所得直線的條數(shù)為（

）A．4 B．13 C．15 D．1610．（2023下·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）將六枚棋子A，B，C，D，E，F(xiàn)放置在2×3的棋盤中，并用紅、黃、藍(lán)三種顏色的油漆對其進(jìn)行上色（顏色不必全部選用），要求相鄰棋子的顏色不能相同，且棋子A，B的顏色必須相同，則一共有（

）種不同的放置與上色方式A．11232 B．10483 C．10368 D．561611．（2023下·新疆烏魯木齊·高二?？计谥校?）計(jì)算：4A（2）證明：Cn12．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的分法：(1)分給甲