天津市河西區(qū)2019年中考數(shù)學模擬試卷（四）含答案解析

一、選擇題

1.當1<XW2時，ax+2>0,則a的取值范圍是（）

A.a>-1B.a>-2C.a>0D.a>-1且aWO

2.如圖，有一塊矩形紙片ABCD,AB=8,AD=6,將紙片折疊，使得AD邊落在AB邊上，折痕為AE,再將AAED

沿DE向右翻折，AE與BC的交點為F,則4CEF的面積為（）

Iq

A.4B.-xC.2D.4

28

3.函數(shù)y=［半的圖象為（）

4.如圖是自行車騎行訓練場地的一部分，半圓0的直徑AB=100,在半圓弧上有一運動員C從B點沿半圓周勻速

運動到M（最高點），此時由于自行車故障原地停留了一段時間，修理好繼續(xù)以相同的速度運動到A點停止.設

運動時間為t,點B到直線0C的距離為d,則下列圖象能大致刻畫d與t之間的關系是（）

5.貨車和小汽車同時從甲地出發(fā)，以各自的速度勻速向乙地行駛，小汽車到達乙地后，立即以相同的速度沿原

路返回甲地，已知甲、乙兩地相距180千米，貨車的速度為60千米/小時，小汽車的速度為90千米/小時，則

下圖中能分別反映出貨車、小汽車離乙地的距離y（千米）與各自行駛時間t（小時）之間的函數(shù)圖象是（）

y(程)y(程)

二、填空題

6.分解因式：3x2-27-.

7.計算---(1一一『)的結果是?

a2-b2a+b——

2

8.已知x=/2-2,則X-叔+44-(―-1)=__?

x'x

9.若實數(shù)a、b滿足(4a+4b)(4a+4b-2)-8=0,貝!Ja+b=.

10.二次函數(shù)y=-2(x-3)(x+1)的圖象與y軸的交點坐標是.

11.若方程xZ-2x-l=0的兩根分別為％,X2,貝！13x43x2-4XIX2的值為—.

12.以下四個命題：

①若一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別互相垂直，則這兩個角互補；

②邊數(shù)相等的兩個正多邊形一定相似；

③等腰三角形ABC中，D是底邊BC上一點，E是一腰AC上的一點，若NBAD=60°且AD=AE,則NEDC=30°；

④任意三角形的外接圓的圓心一定是三角形三條邊的垂直平分線的交點.

其中正確命題的序號為—.

13.將一副三角尺按如圖所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角邊和含45°角的三角尺的一條直角邊

重合，則N1的度數(shù)是—.

14.如圖，在正方形ABCD中，點F為CD上一點，BF與AC交于點E.若NCBF=20°,則NAED等于度.

頻教人

25

20

15

10

5

20.522.524.526.52S.53c.5點雇外

16.如圖，圓0的直徑AB=8,AC=3CB,過C作AB的垂線交圓。于M,N兩點，連結MB,則NMBA的余弦值為

17.一食堂需要購買盒子存放食物，盒子有A,B兩種型號，單個盒子的容量和價格如表.現(xiàn)有15升食物需要

存放且要求每個盒子要裝滿，由于A型號盒子正做促銷活動：購買三個及三個以上可一次性返還現(xiàn)金4元，則

一次性購買盒子所需要最少費用為一元.

單個盒子容量（升）

單價（元）

18.如圖，菱形0ABC的頂點A的坐標為（2,0）,ZC0A=60",將菱形0ABC繞坐標原點0逆時針旋轉(zhuǎn)120°得

到菱形0DEF,則線段0B=—；圖中陰影部分的面積為一.

19.小麗的家和學校在一條筆直的馬路旁，某天小麗沿著這條馬路上學，先從家步行到公交站臺甲，再乘車到

公交站如乙下車，最后步行到學校（在整個過程中小麗步行的速度不變）.圖中折線ABCDE表示小麗和學校之

間的距離y（米）與她離家時間x（分鐘）之間的函數(shù)關系.

（1）小麗步行的速度為一;

（2）寫出y與x之間的函數(shù)關系式：

F（米）

0r-815-is

20.現(xiàn)有多個全等直角三角形，先取三個拼成如圖1所示的形狀，R為DE的中點，BR分別交AC,CD于P,Q,

易得BP：QP：QR=3：1：2.

（1）若取四個直角三角形拼成如圖2所示的形狀，S為EF的中點，BS分別交AC,CD,DE于P,Q,R,貝ljBP：

PQ：QR：RS=

（2）若取五個直角三角形拼成如圖3所示的形狀，T為FG的中點，BT分別交AC,CD,DE,EF于P,Q,R,S,

貝！IBP：PQ：QR：RS；ST=.

圖1鄴圖3

三、解答題

_

21.若關于x、y的二元一次方程組?2x+y=3irr+-2的解滿足x+y>-卷3,求出滿足條件的m的所有正整數(shù)值.

[x+2y=42

22.父親節(jié)快到了，明明準備為爸爸煮四個大湯圓作早點：一個芝麻餡，一個水果餡，兩個花生餡，四個湯圓

除內(nèi)部餡料不同外，其它一切均相同.

（1）求爸爸吃前兩個湯圓剛好都是花生餡的概率；

（2）若給爸爸再增加一個花生餡的湯圓，則爸爸吃前兩個湯圓都是花生餡的可能性是否會增大？請說明理由.

23.水果店張阿姨以每斤2元的價格購進某種水果若干斤，然后以每斤4元的價格出售，每天可售出100斤.通

過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種水果每斤的售價每降低0.1元，每天可多售出20斤.為了保證每天至少售出260斤，張阿姨

決定降價銷售.

（1）若將這種水果每斤的售價降低x元，則每天的銷售量是一斤（用含x的代數(shù)式表示）；

（2）銷售這種水果要想每天盈利300元，張阿姨需將每斤的售價降低多少元？

（3）當每斤的售價定為多少元時，每天獲利最大？最大值為多少？

24.如圖，在一次軍事演習中，藍方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿

南偏西60°方向前進實施攔截，紅方行駛1000米到達C處后，因前方無法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏

西45°方向前進了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍方，求攔截點D處到公路的距離（結果不取近似值）.

B

D

25.如圖所示，體育場內(nèi)一看臺與地面所成夾角為30°,看臺最低點A到最高點B的距離為106，A,B兩點

正前方有垂直于地面的旗桿DE.在A,B兩點處用儀器測量旗桿頂端E的仰角分別為60°和15°(仰角即視線

與水平線的夾角)

(1)求AE的長；

(2)已知旗桿上有一面旗在離地1米的F點處，這面旗以0.5米/秒的速度勻速上升，求這面旗到達旗桿頂端

需要多少秒？

26.如圖，在平面直角坐標系中A點的坐標為(8,y),ABJ_x軸于點B,sinNOAB*,反比例函數(shù)y上的圖

5x

象的一支經(jīng)過A0的中點C,且與AB交于點D.

(1)求反比例函數(shù)解析式；

(2)若函數(shù)y=3x與y*的圖象的另一支交于點M,求三角形OMB與四邊形OCDB的面積的比.

x

27.已知：如圖，在aABC中，AB=AC,以AC為直徑的。。交AB于點M,交BC于點N,連接AN,過點C的切線

交AB的延長線于點P.

(1)求證：ZBCP=ZBAN

(2)求證:AM_CB

MN-BP

28.如圖，在RtZkABC中，NACB=90°,AC=6,BC=8.動點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB向

點B勻速運動；同時，動點N從點B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿BA向點A勻速運動.過線段MN的中

點G作邊AB的垂線，垂足為點G,交AABC的另一邊于點P,連接PM、PN,當點N運動到點A時，M、N兩點同

時停止運動，設運動時間為t秒.

(1)當弋=秒時，動點M、N相遇；

(2)設△PMN的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關系式.

29.大學畢業(yè)生小王響應國家“自主創(chuàng)業(yè)''的號召，利用銀行小額無息貸款開辦了一家飾品店.該店購進一種

今年新上市的飾品進行銷售，飾品的進價為每件40元，售價為每件60元，每月可賣出300件.市場調(diào)查反映：

調(diào)整價格時，售價每漲1元每月要少賣10件；售價每下降1元每月要多賣20件.為了獲得更大的利潤，現(xiàn)將

飾品售價調(diào)整為60+x(元/件)(x>0即售價上漲，xVO即售價下降),每月飾品銷量為y(件)，月利潤為w

(元).

(1)直接寫出y與x之間的函數(shù)關系式；

(2)如何確定銷售價格才能使月利潤最大？求最大月利潤；

(3)為了使每月利潤不少于6000元應如何控制銷售價格？

30.在aAOB中，C,D分別是OA,0B邊上的點，將△OCD繞點0順時針旋轉(zhuǎn)到△(?：'D，.

(1)如圖1,若NA0B=90°,OA=OB,C,D分別為0A,OB的中點，證明：①AC，=BD'；②AL±BDZ；

(2)如圖2,若aAOB為任意三角形且NA0B=9,CD〃AB,AC'與BD'交于點E,猜想NAEB=。是否成立？請

說明理由.

31.已知：拋物線y=x?+(2m-1)x+n？-1經(jīng)過坐標原點，且當x<0時，y隨x的增大而減小.

(1)求拋物線的解析式，并寫出y〈0時，對應x的取值范圍；

(2)設點A是該拋物線上位于x軸下方的一個動點，過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點D,再作ABJ_x

軸于點B,DC_Lx軸于點C.

①當BC=1時，直接寫出矩形ABCD的周長；

②設動點A的坐標為(a,b),將矩形ABCD的周長L表示為a的函數(shù)并寫出自變量的取值范圍，判斷周長是否

存在最大值？如果存在，求出這個最大值，并求出此時點A的坐標；如果不存在，請說明理由.

32.如圖，在矩形OABC中，0A=5,AB=4,點D為邊AB上一點，將4BCD沿直線CD折疊，使點B恰好落在邊0A

上的點E處，分別以OC,0A所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系.

(1)求0E的長及經(jīng)過0,D,C三點拋物線的解析式；

(2)一動點P從點C出發(fā)，沿CB以每秒2個單位長度的速度向點B運動，同時動點Q從E點出發(fā)，沿EC以每

秒1個單位長度的速度向點C運動，當點P到達點B時，兩點同時停止運動，設運動時間為t秒，當t為何值

時，DP=DQ；

(3)若點N在(1)中拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N,使M,N,C,E為頂

點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出M點坐標；若不存在，請說明理由.

參考答案與試題解析

一、選擇題

1.當1WXW2時，ax+2>0,則a的取值范圍是（）

A.a>-1B.a>-2C.a>0D.a>-1且aWO

【考點】不等式的性質(zhì).

【分析】當x=l時，a+2>0；當x=2,2a+2>0,解兩個不等式，得到a的范圍，最后綜合得到a的取值范圍.

【解答】解：當x=l時，a+2>0

解得：a>-2；

當x=2,2a+2>0>

解得：a>-1,

；.a的取值范圍為：a>-1.

【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)，解決本題的關鍵是熟記不等式的性質(zhì).

2.如圖，有一塊矩形紙片ABCD,AB=8,AD=6,將紙片折疊，使得AD邊落在AB邊上，折痕為AE,再將4AED

沿DE向右翻折，AE與BC的交點為F,則4CEF的面積為（）

DC￡QEC

1Q

A.4B.4c.2D.4

28

【考點】翻折變換（折疊問題）.

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，在圖②中得到DB=8-6=2,ZEAD=45°；在圖③中，得到AB=AD-DB=6-2=4,AABF

為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得到BF=AB=4,CF=BC-BF=6-4=2,EC=DB=2,最

后根據(jù)三角形的面積公式計算即可.

【解答】解：AD=6,紙片折疊，使得AD邊落在AB邊上，

.\DB=8-6=2,ZEAD=45°,

又???△AED沿DE向右翻折，AE與BC的交點為F,

；.AB=AD-DB=6-2=4,AABF為等腰直角三角形，

；.BF=AB=4,

.*.CF=BC-BF=6-4=2,

而EC=DB=2,-1-X2X2=2.

故選：c.

【點評】本題考查了折疊的性質(zhì):折疊前后的兩個圖形全等,即對應線段相等，對應角相等.也考查了等腰三

角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì).

3.函數(shù)的圖象為（

【專題】壓軸題.

【分析】從XVO和x>0兩種情況進行分析，先化簡函數(shù)關系式再確定函數(shù)圖象即可.

【解答】解：當xVO時，函數(shù)解析式為：y=-x-2,

函數(shù)圖象為：B、D,

當x>0時，函數(shù)解析式為：y=x+2,

函數(shù)圖象為：A、C、D,

故選：D.

【點評】本題考查的是函數(shù)圖象，利用分情況討論思想把函數(shù)關系式進行正確變形是解題的關鍵，要能夠根據(jù)

函數(shù)的系數(shù)確定函數(shù)的大致圖象.

4.如圖是自行車騎行訓練場地的一部分，半圓0的直徑AB=1OO,在半圓弧上有一運動員C從B點沿半圓周勻速

運動到M（最高點），此時由于自行車故障原地停留了一段時間，修理好繼續(xù)以相同的速度運動到A點停止.設

運動時間為t,點B到直線OC的距離為d,則下列圖象能大致刻畫d與t之間的關系是（）

AB

【考點】動點問題的函數(shù)圖象.

【專題】壓軸題.

【分析】設運動員C的速度為v,則運動了t的路程為vt,設NBOC=a,當點C從運動到M時，當點C從M運

動到A時，分別求出d與t之間的關系即可進行判斷.

【解答】解：設運動員C的速度為v,則運動了t的路程為vt,

設NBOC=a,

當點C從運動到M時，

..,Ct-K-505冗a

?…麗「?通r

二?；?，

5冗

在直角三角形中，???d=50sina=50sin^空J50sin罵"t,

5冗5兀

，d與t之間的關系d=50sin空絆t,

5幾

當點C從M運動到A時，d與t之間的關系d=50sin（180-空"t），

5兀

故選：C.

【點評】本題考查的是動點問題的函數(shù)圖象，熟知圓的特點是解答此題的關鍵.

5.貨車和小汽車同時從甲地出發(fā)，以各自的速度勻速向乙地行駛，小汽車到達乙地后，立即以相同的速度沿原

路返回甲地，已知甲、乙兩地相距180千米，貨車的速度為60千米/小時，小汽車的速度為90千米/小時，則

下圖中能分別反映出貨車、小汽車離乙地的距離y（千米）與各自行駛時間t（小時）之間的函數(shù)圖象是（）

【考點】函數(shù)的圖象.

【專題】壓軸題.

【分析】根據(jù)出發(fā)前都距離乙地180千米，出發(fā)兩小時小汽車到達乙地距離變?yōu)榱?，再?jīng)過兩小時小汽車又返

回甲地距離又為180千米；經(jīng)過三小時，貨車到達乙地距離變?yōu)榱悖识贸龃鸢?

【解答】解：由題意得出發(fā)前都距離乙地180千米，出發(fā)兩小時小汽車到達乙地距離變?yōu)榱?，再?jīng)過兩小時小

汽車又返回甲地距離又為180千米，經(jīng)過三小時，貨車到達乙地距離變?yōu)榱?，故C符合題意，

故選：C.

【點評】本題考查了函數(shù)圖象，理解題意并正確判斷輛車與乙地的距離是解題關鍵.

二、填空題

6.分解因式：3/-27=3(x+3)(x-3).

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.

【專題】因式分解.

【分析】觀察原式3x2-27,找到公因式3,提出公因式后發(fā)現(xiàn)必-9符合平方差公式，利用平方差公式繼續(xù)分

解.

【解答】解：3x2-27,

=3(X2-9),

=3(x+3)(x-3).

故答案為：3(x+3)(x-3).

【點評】本題主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟記公式是解題的關鍵，難點在于要

進行二次分解因式.

7.(2019?黃岡)計算2、z2+(1-。)的結果是-^-7-.

a'-ba+b一af—

【考點】分式的混合運算.

【專題】計算題.

【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分即可得到結果.

［解答］解：原式=7■尋一rri-4?畢」7?

(a+b)(a-b)a+b(a+b)(a-b)ba-b

故答案為：

a-b

【點評】此題考查了分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

8.已知x=V2"2,則x2-4X+4+(2_1)=4-血.

XX

【考點】分式的混合運算.

【分析】先將被除式分子因式分解，計算括號內(nèi)分式的減法，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分可化簡原式，把X的

值代入計算可得.

【解答】解：原式

XX

-(x-2)

(x-2)

=2-x,

當x二*歷-2時，

原式=2-(a-2)

=2-

=4-72.

故答案為：4-y[2,

【點評】本題主要考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的性質(zhì)可分式運算的法則是解題的關鍵.

9.若實數(shù)a、b滿足(4a+4b)(4a+4b-2)-8=0,則a+b=-2?或1.

--2---

【考點】換元法解一元二次方程.

【分析】設a+b=x,則原方程轉(zhuǎn)化為關于x的一元二次方程，通過解該一元二次方程來求x即(a+b)的值.

【解答】解：設a+b=x,則由原方程，得

4x(4x-2)-8=0,

整理，得16x2-8x-8=0,BP2x2-x-1=0,

分解得：(2x+l)(x-1)=0,

解得:X1=-y,X2=l.

則a+b的值是-或L

故答案是：-"或1.

【點評】本題主要考查了換元法，即把某個式子看作一個整體，用一個字母去代替它，實行等量替換.

10.二次函數(shù)y=-2(x-3)(x+l)的圖象與y軸的交點坐標是(0,象.

【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【分析】計算自變量為0時的函數(shù)值即可得到拋物線與y軸的交點坐標.

【解答】解：當x=0時，尸-2(x-3)(x+l)=6,

所以二次函數(shù)y=-2(x-3)(x+l)的圖象與y軸的交點坐標為(0,6).

故答案為：(0,6).

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式.

11.若方程方-2x-1=0的兩根分別為Xi,X2,貝!I3XI+3X2-4XIX2的值為10.

【考點】根與系數(shù)的關系.

【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關系得到XI+X2=2,XIX2=-1,然后利用整體代入的方法計算.

【解答】解：根據(jù)題意得Xi+Xz=2,XiX2=-1?

所以3XI+3X2-4xix2=2X3-4X(-1)=10.

故答案為10.

2￡

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若X”X2是一元二次方程ax+bx+c=0(a^0)的兩根時，X1+x2=--,xIx2-.

aa

12.(2019?呼和浩特)以下四個命題：

①若一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別互相垂直，則這兩個角互補；

②邊數(shù)相等的兩個正多邊形一定相似；

③等腰三角形ABC中，D是底邊BC上一點，E是一腰AC上的一點，若NBAD=60°且AD=AE,則NEDC=30°；

④任意三角形的外接圓的圓心一定是三角形三條邊的垂直平分線的交點.

其中正確命題的序號為②③④.

【考點】命題與定理.

【專題】壓軸題.

【分析】要找出正確命題，可運用相關基礎知識分析找出正確選項，也可以通過舉反例排除不正確選項，從而

得出正確選項.

【解答】解：①若一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別互相垂直，則這兩個角相等或互補，①錯誤；

②邊數(shù)相等的兩個正多邊形一定相似，②正確；

③如圖所示，VZAED=ZC+ZEDC=ZB+ZEDC,

:.ZADC=ZADE+ZEDC=ZAED+ZEDC=ZB+2ZEDC,

XVZADC=ZB+ZBAD=ZB+60°,

；.NB+2NEDC=NB+60°,

，NEDC=30°,

故③正確；

④任意三角形的外接圓的圓心一定是三角形三條邊的垂直平分線的交點，④正確.

故答案為②③④.

【點評】主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關鍵是要

熟悉課本中的性質(zhì)定理.

13.將一副三角尺按如圖所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角邊和含45°角的三角尺的一條直角邊

重合，則N1的度數(shù)是75°.

【考點】三角形的外角性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理.

【分析】根據(jù)含30°角的三角尺的短直角邊和含45°角的三角尺的一條直角邊重合，得出平行線，再利用平行

線的性質(zhì)和對頂角相等得出N2=45°,再利用三角形的外角性質(zhì)解答即可.

【解答】解:

?.?含30°角的三角尺的短直角邊和含45°角的三角尺的一條直角邊重合,

.?.AB〃CD,

AZ3=Z4=45°,

；.N2=N3=45°,

VZB=30°,

.*.Zl=Z2+ZB=30o+45°=75°,

故答案為：75。.

【點評】此題考查三角形外角性質(zhì)，關鍵是利用平行線性質(zhì)和對頂角相等得出N2的度數(shù).

14.（2019?黃岡）如圖，在正方形ABCD中，點F為CD上一點，BF與AC交于點E.若NCBF=20°,則NAED

【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出NBAE=NDAE,再利用SAS證明AABE與AADE全等，再利用三角形的內(nèi)角和解

答即可.

【解答】解：；正方形ABCD,

，AB=AD,NBAE=NDAE,

在AABE與aADE中，

'AB=AD

-ZBAE=ZDAE.

AE=AE

AAABE^AADE(SAS),

AZAEB=ZAED,NABE=NADE,

VZCBF=20°，

：.ZABE=70°,

/.ZAED=ZAEB=180°-45°-70°=65°,

故答案為：65

【點評】此題考查正方形的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)得出NBAE=NDAE,再利用全等三角形的判定和性質(zhì)

解答.

【考點】頻數(shù)（率）分布直方圖.

【分析】利用合格的人數(shù)即50-4=46人，除以總?cè)藬?shù)即可求得.

【解答】解：該班此次成績達到合格的同學占全班人數(shù)的百分比是咨L±X100%=92%.

50

故答案是：92%.

【點評】本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力；利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真

觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題.

16.如圖，圓0的直徑AB=8,AC=3CB,過C作AB的垂線交圓0于M,N兩點，連結MB,則NMBA的余弦值為

【考點】垂徑定理；解直角三角形.

【分析】如圖，作輔助線；求出BC的長度；運用射影定理求出BM的長度，借助銳角三角函數(shù)的定義求出NMBA

的余弦值，即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接AM;

VAB=8,AC=3CB,

，BC=LAB=2：

4

TAB為。0的直徑,

AZAMB=90°；

由射影定理得:

BM2=AB?CB,

，BM=4,COS/MBA=MW，

AB2

故答案為向.

【點評】該題主要考查了圓周角定理及其推論、射影定理、銳角三角函數(shù)的定義等知識點及其應用問題；解題

的方法是作輔助線，構造直角三角形；解題的關鍵是靈活運用圓周角定理及其推論、射影定理等知識點來分析、

判斷、解答.

17.一食堂需要購買盒子存放食物，盒子有A,B兩種型號，單個盒子的容量和價格如表.現(xiàn)有15升食物需要

存放且要求每個盒子要裝滿，由于A型號盒子正做促銷活動：購買三個及三個以上可一次性返還現(xiàn)金4元，則

一次性購買盒子所需要最少費用為元.

型號AB

單個盒子容量（升）23

單價（元）56

【考點】一次函數(shù)的應用.

15-2x

【分析】設購買A種型號盒子x個，購買盒子所需要費用為y元，則購買B種盒子的個數(shù)為‘03個，分兩種

情況討論：①當0WxV3時；②當3Wx時，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解答.

【解答】解：設購買A種型號盒子x個，購買盒子所需要費用為y元，

則購買B種盒子的個數(shù)為氣絲個，

15-9v

①當0Wx<3時，y=5x+3X6=x+30,

,.,k=l>0,

；.y隨x的增大而增大，

.?.當x=0時，y有最小值，最小值為30元；

15-9v

②當3Wx時，y=5x+———X6-4=26+x,

3

Vk=l>0,

，y隨x的增大而增大，

...當x=3時，y有最小值，最小值為29元；

綜合①②可得，購買盒子所需要最少費用為29元.

故答案為：29.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的應用，解決本題的關鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決

最小值的問題，注意分類討論思想的應用.

18.如圖，菱形OABC的頂點A的坐標為（2,0）,ZC0A=60°,將菱形0ABC繞坐標原點0逆時針旋轉(zhuǎn)120°得

到菱形ODEF,則線段0B=_?J5_；圖中陰影部分的面積為4”-2y.

【考點】菱形的性質(zhì)；扇形面積的計算.

【分析】過點B作BG_Lx軸于點G,連接OE,0B,由菱形0ABC的頂點A的坐標為（2,0）,可求得0A=2,又由

將菱形OABC繞坐標原點。逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到菱形ODEF,NC0A=60°,可求得NA0B=/E0F=30°,AB=OA=2,

繼而求得線段BG的長，則可求得扇形E0B與菱形0ABC的面積，繼而求得答案.

【解答】解：過點B作BGLx軸于點G,連接0E,0B,

?菱形OABC的頂點A的坐標為（2,0）,

.?.0A=2,

,??將菱形OABC繞坐標原點。逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到菱形ODEF,NC0A=60°,

貝！|NA0B=NE0F=30°,AB=0A=2,

.,.ZBAG=60°,

AZABG=30",

/.AG=；IAB=1,BG=JAB?-AG2"1^,

.,.OB=2BG=2V5，

VZB0E=120°,

?*?S息影=11°兀—)—=4",SS?OABC=OA,BG=2>/^,

360

；?S陰影=S扇形-S菱形OABC=4n-

故答案為:2仃，4n

【點評】此題考查了菱形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及扇形的面積.注意準確作出輔助線是解此題的關鍵.

19.小麗的家和學校在一條筆直的馬路旁，某天小麗沿著這條馬路上學，先從家步行到公交站臺甲，再乘車到

公交站如乙下車，最后步行到學校（在整個過程中小麗步行的速度不變）.圖中折線ABCDE表示小麗和學校之

間的距離y（米）與她離家時間x（分鐘）之間的函數(shù)關系.

（1）小麗步行的速度為50米/分鐘；

r-50x+3900(0<x<5)

3650(5<x<8)

（2）寫出y與x之間的函數(shù)關系式：_尸）

-500x+7650(8<x<15)--

-50x+900(15<x<18)

【分析】（D觀察函數(shù)圖象AB段，根據(jù)“速度=路程+時間”即可算出小麗步行的速度;

（2）根據(jù)（1）的結論結合函數(shù)圖象可得出點D的縱坐標.設y與x之間的函數(shù)關系式為y=kx+b.觀察函數(shù)圖

象，找出點的坐標，分段利用待定系數(shù)法求出各段y關于x的函數(shù)關系式，由此即可得出結論.

【解答】解：（1）小麗步行的速度為：（3900-3650）4-5=50（米/分鐘），

故答案為：50米/分鐘.

(2)點D的縱坐標為：50X(18-15)=150.

設y與x之間的函數(shù)關系式為y=kx+b.

黑。解得:k=-50

當0WxW5時，有

b=39001

.,.此時y=-50x+3900；

當5VxW8時,此時y=3650；

黑;黑解得:k=-500

當8VxW15時，有

b=7650

，此時y=-500x+7650；

150=15k+bfk=-50

當15VxW18時，有解得:tb=900

0=18k+b

二此時y=-50x+900.

r-50x+3900(0<x<5)

3650(5<x<8)

綜上可知：y與x之間的函數(shù)關系式為尸，

-500x+7650(8<x<15),

-50x+900(15<x<18)

r-50x+3900(0<x<5)

3650(5<x<8)

故答案為：y=-

-500x+7650(8<x<15)'

-50x+900(15<x<18)

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關鍵是：(1)結合數(shù)量關系直接計算；(2)分段利用

待定系數(shù)法求出各段函數(shù)解析式.本題屬于中檔題，難度不大，但稍顯繁瑣，解決該題型題目時，觀察函數(shù)圖

象，找出點的坐標，再結合點的坐標利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關鍵.

20.現(xiàn)有多個全等直角三角形，先取三個拼成如圖1所示的形狀，R為DE的中點，BR分別交AC,CD于P,Q,

易得BP：QP：QR=3：1：2.

(1)若取四個直角三角形拼成如圖2所示的形狀，S為EF的中點，BS分別交AC,CD,DE于P,Q,R,貝ljBP：

PQ：QR：RS=4：1：3：2

(2)若取五個直角三角形拼成如圖3所示的形狀，T為FG的中點，BT分別交AC,CD,DE,EF于P,Q,R,S,

則BP：PQ：QR：RS：ST=5：1；4：2：3.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】壓軸題.

【分析】⑴首先證明△BCQs/iBES,從而可求得CQ=1EF，DQ=~|EF,然后證明△BAPS2^QDR得到BP：QR=4：

3從而可知：BP：PQ：QR=4：1：3,然后由DQ〃SE,可知:QR：RS=DQ：SE=3：2,從而可求得BP：PQ：QR；RS=4：

1：3：2；

(2)由AC〃DE〃GF,可知：△BPCS4BERSBTG,能夠求得：AP：DR：FT=5：4：3,然后再證明△BAPs/XQDR

^△SFT.,求得BP：QR：ST=AP：DR：FT=5：4：3,因為TBP：QR：RT=1：1：1,所以可求得：BP：PQ：QR：

RS：ST=5：1；4：2：3.

【解答】解：(1)I?四個直角三角形是全等三角形,

AAB=EF=CD,AB〃EF〃CD,BC=CE,AC/7DE,

ABP：PR=BC：CE=1,

?"D〃EF,

AABCQ^ABES.

XVBC=CE

???CQ=1sE=EF，

，DQ=^EF

VAB/7CD,

???NABP=NDQR.

XVZBAP=ZQDR,

AABAP^AQDR.

ABP：QR=4：3.

/.BP：PQ：QR=4：1：3,

VDQ/7SE,

AQR：RS=DQ：SE=3：2,

ABP：PQ：QR：RS=4：1：3：2.

故答案為：4：1：3：2；

(2),??五個直角三角形是全等直角三角形

AAB=CD=EF,AB〃CD〃EF,AC=DE=GF,AC〃DE〃GF,

BC=CE=EG,

ABP=PR=RT,

?；AC〃DE〃GF,

AABPC^ABER^BTG,

AAP：DR：FT=5：4：3.

???AC〃DE〃GF,

???ZBPA=ZQRD=ZSTF.

XVZBAP=ZQDR=ZSFT,

:.ABAP^AQDR^ASFT.

ABP：QR：ST=AP：DR：FT=5：4：3.

又TBP：QR：RT=1：1：1,

ABP：PQ：QR：RS：ST=5：(5-4)：4：(5-3)：3=5：1：4：2：3.

故答案為：5：1：4：2：3.

【點評】本題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，找出圖中的相似三角形，求得相應線段之間的比例關系

是解題的關鍵.

三、解答題

21.若關于x、y的二元一次方程組)2x+y=-3nHl的2解滿足x+y>-53,求出滿足條件的m的所有正整數(shù)值.

[x+2y=42

【考點】二元一次方程組的解；一元一次不等式的整數(shù)解.

【專題】計算題.

【分析】方程組兩方程相加表示出x+y,代入已知不等式求出m的范圍，確定出正整數(shù)值即可.

f2x+y=-3/2①

【解答】解：?一.，

[x+2y=4②

①+②得：3(x+y)=-3m+6,即x+y=-m+2,

代入不等式得：-111+2>-多

解得：mV.,

則滿足條件m的正整數(shù)值為1,2,3.

【點評】此題考查了二元一次方程組的解，以及一元一次不等式的整數(shù)解，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

22.父親節(jié)快到了，明明準備為爸爸煮四個大湯圓作早點：一個芝麻餡，一個水果餡，兩個花生餡，四個湯圓

除內(nèi)部餡料不同外，其它一切均相同.

(1)求爸爸吃前兩個湯圓剛好都是花生餡的概率；

(2)若給爸爸再增加一個花生餡的湯圓，則爸爸吃前兩個湯圓都是花生餡的可能性是否會增大？請說明理由.

【考點】列表法與樹狀圖法.

【分析】(1)首先分別用A,B,C表示芝麻餡、水果餡、花生餡的大湯圓，然后根據(jù)題意畫樹狀圖，再由樹狀

圖求得所有等可能的結果與爸爸吃前兩個湯圓剛好都是花生餡的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案；

(2)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與爸爸吃前兩個湯圓都是花生的情況，再

利用概率公式即可求得給爸爸再增加一個花生餡的湯圓，則爸爸吃前兩個湯圓都是花生的概率，比較大小，即

可知爸爸吃前兩個湯圓都是花生的可能性是否會增大.

【解答】解：(1)分別用A,B,C表示芝麻餡、水果餡、花生餡的大湯圓，

畫樹狀圖得：

開始

?.?共有12種等可能的結果，爸爸吃前兩個湯圓剛好都是花生餡的有2種情況,

，爸爸吃前兩個湯圓剛好都是花生餡的概率為：④蕓；

12o

(2)會增大,

理由：分別用A,B,C表示芝麻餡、水果餡、花生餡的大湯圓，畫樹狀圖得:

???共有20種等可能的結果，爸爸吃前兩個湯圓都是花生的有6種情況，

???爸爸吃前兩個湯圓都是花生的概率為：

ZU1U0

...給爸爸再增加一個花生餡的湯圓，則爸爸吃前兩個湯圓都是花生的可能性會增大.

【點評】此題考查了樹狀圖法與列表法求概率.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

23.水果店張阿姨以每斤2元的價格購進某種水果若干斤，然后以每斤4元的價格出售，每天可售出100斤.通

過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種水果每斤的售價每降低0.1元，每天可多售出20斤.為了保證每天至少售出260斤，張阿姨

決定降價銷售.

(1)若將這種水果每斤的售價降低x元，則每天的銷售量是100+200X斤(用含x的代數(shù)式表示)；

(2)銷售這種水果要想每天盈利300元，張阿姨需將每斤的售價降低多少元？

(3)當每斤的售價定為多少元時，每天獲利最大？最大值為多少？

【考點】二次函數(shù)的應用；一元二次方程的應用.

【專題】銷售問題.

【分析】(D銷售量=原來銷售量+下降銷售量，據(jù)此列式即可；

(2)根據(jù)銷售量X每斤利潤=總利潤列出方程求解即可；

(3)設每斤的售價降低x元，每天獲利為y元，根據(jù)題意得到y(tǒng)=-200(x-2)？+■等，根據(jù)二次函數(shù)的性

162

質(zhì)即可得到結論.

【解答】解:(1)將這種水果每斤的售價降低X元，則每天的銷售量是100島?X20=100+200x(斤)；

故答案為：100+200X；

(2)根據(jù)題意得：(4-2-x)(100+200x)=300,

解得:x"-或x=l,

當x=~|■時，銷售量是100+200Xy=200<260s

當x=l時，銷售量是100+200=300（斤）.

???每天至少售出260斤，

/?x=l.

答：張阿姨需將每斤的售價降低1元；

（3）設每斤的售價降低x元，每天獲利為y元，

根據(jù)題意得：度（4-2-x）（100+200x）=-200X2+300X+200=-200（x-盤）斗等，

162

答：當每斤的售價定為學元時，每天獲利最大，最大值為粵元.

loZ

【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的應用，一元二次方程的應用，明確利潤、銷售量、售價之間的關系是解

題的關鍵.

24.如圖，在一次軍事演習中，藍方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿

南偏西60°方向前進實施攔截，紅方行駛1000米到達C處后，因前方無法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏

西45°方向前進了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍方，求攔截點D處到公路的距離（結果不取近似值）.

D

【考點】解直角三角形的應用一方向角問題.

【分析】過B作AB的垂線，過C作AB的平行線，兩線交于點E；過C作AB的垂線，過D作AB的平行線，兩線

交于點F,則NE=NF=90°,攔截點D處到公路的距離DA=BE+CF.解RtZkBCE,求出BE"~BC=3X1000=500米；

解RtaCDF,求出CFeScD=500五米，則DA=BE+CF=（500+500亞）米.

【解答】解：如圖，過B作AB的垂線，過C作AB的平行線，兩線交于點E；過C作AB的垂線，過D作AB的平

行線，兩線交于點F,則NE=NF=90°,攔截點D處到公路的距離DA=BE+CF.

在Rt^BCE中,VZE=90°,ZCBE=60",

.,.ZBCE=30°,

/.BE^BC^-X1000=500米；

在RtZXCDF中,VZF=90°，NDCF=45°，CD=BC=1000米,

D=500V^K，

/.DA=BE+CF=(500+50072)米,

故攔截點D處到公路的距離是(500+500、改)米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，銳角三角函數(shù)的定義，正確理解方向角的定義，進而

作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.

25.如圖所示，體育場內(nèi)一看臺與地面所成夾角為30。，看臺最低點A到最高點B的距離為10丁5,A,B兩點

正前方有垂直于地面的旗桿DE.在A,B兩點處用儀器測量旗桿頂端E的仰角分別為60°和15°(仰角即視線

與水平線的夾角)

(1)求AE的長；

(2)已知旗桿上有一面旗在離地1米的F點處，這面旗以0.5米/秒的速度勻速上升，求這面旗到達旗桿頂端

需要多少秒？

【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【分析】(1)先求得NABE和AEB,利用等腰直角三角形即可求得AE；

(2)在RTZkADE中，利用sin/EAD」§,求得ED的長，即可求得這面旗到達旗桿頂端需要的時間.

【解答】解：(1)VBG^CD,

...NGBA=NBAC=30°,

又；NGBE=15°,

AZABE=45°,

VZEAD=60o,

...NBAE=90°,

，NAEB=45°,

.?.AB=AE=10百，

故AE的長為10日米.

(2)在RTaADE中，sinNEAD普DE,

AE

.,.DE=]0yx^=]5,

又：DF=L

/.FE=14,

時間t/r=28(秒).

0.5

故旗子到達旗桿頂端需要2