第十章圓錐曲線

★知識網(wǎng)絡(luò)★

第1講橢圓

★知識梳理★

1.橢圓定義：

（1）第一定義：平面內(nèi)與兩個定點大、外的距離之和為常數(shù)2。（24>1尸2K1）的動點P的

軌跡叫橢圓,其中兩個定點G、工叫橢圓的焦點.

當(dāng)怛4+四2|=2（?>巴叼時，P的軌跡為橢圓；；

當(dāng)|P6|+|PF2|=2a<|F,F2|時，P的軌跡不存在；

當(dāng)|尸乙|+|尸產(chǎn)2|=2。=怛1川時，P的軌跡為里片、F2為端點的線段

（2）橢圓的第二定義:平面內(nèi)到定點￡內(nèi)定直線」（定點￡不在定直線,上）的距離之比是常

數(shù)e（O<e<l）的點的軌跡為橢圓

（利用第二定義,可以實現(xiàn)橢圓上的動點到焦點的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化）.

1

2.橢圓的方程與幾何性質(zhì):

22

標(biāo)準(zhǔn)方程_X2y_l^>0)

+=>Z?號+a=1(。〉b>0)

參數(shù)關(guān)系.2=/+.2

性

焦點(c,0),(-c,0)(0,c),(0,-c)

質(zhì)

焦距2c

范圍1x\<a,\y\<b1y\<a,\x\<b

頂點(—a,0),(a,0),(0i),(0,b)(0,-a),(0,a),(-b,0),(b,0)

對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱

離心率

e=-e(0,l)

a

準(zhǔn)線一

cc

3.點P(x,y)與橢圓與+2=ig>b>0)的位置關(guān)系：

00a~b'r

當(dāng)《+亡>1時，點P在橢圓外；當(dāng)二+片>］時，點尸在橢圓內(nèi)；當(dāng)《+亡=1時，點尸在

/HHa?力

橢圓上；

4.直線與橢圓的位置關(guān)系

直線與橢圓相交=△>0；直線與橢圓相切o△=0;直線與橢圓相離=A<0

★重難點突破★

重點:掌握橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程，會用定義和求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能通過方程研究橢圓的幾

何性質(zhì)及其應(yīng)用

難點:橢圓的兒何元素與參數(shù)a,b,c的轉(zhuǎn)換

重難點:運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，圍繞“焦點三角形”，用代數(shù)方法研究橢圓的性質(zhì)，把握幾何元素轉(zhuǎn)

換成參數(shù)的關(guān)系

1.要有用定義的意識

22

問題1已知4、B為橢圓￡+/=1的兩個焦點，過K的直線交橢圓于A、B兩點若

\F2A\+\F2B\^12,貝卜。

［解析］A48月的周長為4a=20,卜8

2.求標(biāo)準(zhǔn)方程要注意焦點的定位

X2y21

問題2橢圓一+匕=1的離心率為一，則m=____________

4m2

2

J4—/77.|

［解析］當(dāng)焦點在x軸上時，7、=\m=3；

22

vm-4116

當(dāng)焦點在＞?軸上時，--r=—=一nm=一

-Jm23

綜上加二一或3

3

★熱點考點題型探析★

考點1橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程

題型1:橢圓定義的運(yùn)用

［例1I橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線

經(jīng)過橢圓的另-一個焦點，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A、B是它的焦點，長軸長

為2a,焦距為2c,靜放在點A的小球(小球的半徑不計)，從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁

反彈后第一次回到點A時.，小球經(jīng)過的路程是

A.4aB.2(a-c)C.2(a+c)D.以上答案均有可能y*

［解析］按小球的運(yùn)行路徑分三種情況：/券弋、

(l)A-C-A，此時小球經(jīng)過的路程為2(a—c);C(.....)

(2)A-B-D-B-A,此時小球經(jīng)過的路程為2(a+c);\.//

&A-P-B-Q-A此時小球經(jīng)過的路程為4a,故選D

【名師指引】考慮小球的運(yùn)行路徑要全面

【新題導(dǎo)練】

1.短軸長為行，離心率e=2的橢圓兩焦點為件，過M作直線交橢圓于A、B兩點，

3

則aABF2的周長為()A.3B.6C.12D.24

［解析］C.長半軸a=3,AABF2的周長為4a=12

22

2已知尸為橢圓土+匕=1上的一點，M,N分別為圓(x+3)2+y2=1和圓

2516

(x—3)2+產(chǎn)=4上的點，則歸M|+|PN|的最小值為(

C.13D.15

［解析］B.兩圓心C、D恰為橢圓的焦點，.?」PCI+IPOI=10,|PM|+|PN|的最小值為

10-1-2=7

題型2求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

［例2］設(shè)橢圓的中心在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸，一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且

此焦點與長軸上較近的端點距離為472-4,求此橢圓方程.

【解題思路】將題中所給條件用關(guān)于參數(shù)a,Ac的式子“描述”出來

3

［解析］設(shè)橢圓的方程為［+與=1或「+烏=13>8>0）,

ab~h2a

h=c

則<Q-C=4（V2-1）,

a2=b2-^c2

2222

解之得：a=442,b=c=4.則所求的橢圓的方程為工+匕=1或二+上-=1.

32161632

【名師指引】準(zhǔn)確把握圖形特征，正確轉(zhuǎn)化出參數(shù)。，仇c的數(shù)量關(guān)系.

［警示］易漏焦點在y軸上的情況.

【新題導(dǎo)練】

3.如果方程/+V=2表示焦點在y軸的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是.

222

［解析］（0,1）.橢圓方程化為r二+=v=1.焦點在y軸上，則4>2,即K1.

22k

it

又a>0,.,.0<Kl.

4.已知方程x2cose+y2sine=l,9e（0,乃），討論方程表示的曲線的形狀

7T

［解析］當(dāng)《￡（0,—）時,sinOccos。，方程表示焦點在y軸上的橢圓,

4

TT

當(dāng)。=一時，sin。=cos。，方程表示圓心在原點的圓，

4

當(dāng)時，sin?！礳os。，方程表示焦點在x軸上的橢圓

42

5.橢圓對稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成一個正三角形，焦點到橢圓上

的點的最短距離是有，求這個橢圓方程.

［解析］\=>ir-，：，=3,所求方程為二+匕=1或二+二=L

［a=2c［c=g129912

考點2橢圓的幾何性質(zhì)

題型1：求橢圓的離心率（或范圍）

［例3］在△A8C中，44=30°,14?1=23&.=行.擬48為焦點的橢圓經(jīng)過點C,

則該橢圓的離心率e=.

【解題思路】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率

［解析］S^BC=；lABI/ACIsinA=Q,

22

.-.IAC1=2V3,16cl=y/\AB\+\AC\-21A5I-IACIcosA=2

_IABI_2_g-1

''_\AC\+\BC\―2V3+2—2

4

【名師指引】（1）離心率是刻畫橢圓“圓扁”程度的量，決定了橢圓的形狀；反之，形狀確

定，離心率也隨之確定

（2）只要列出.、b、c的齊次關(guān)系式，就能求出離心率（或范圍）

（3）“焦點三角形”應(yīng)給予足夠關(guān)注

【新題導(dǎo)練】

6.如果一個橢圓的長軸長是短軸長的兩倍,那么這個橢圓的離心率為

,V5RV3n1

A.——B.——C.——D.—

4222

［解析］選3

22

7.已知m,n,m+n成等差數(shù)列，m,n,mn成等比數(shù)列，則橢圓土+2-=1的離心率為

mn

2n=2m+n

m=222

[解析]由<n2=m2n=>橢圓---F二1的離心率為"

〃二4mn2

mn。0

8我國于07年10月24日成功發(fā)射嫦娥一號衛(wèi)星，并經(jīng)四次變軌飛向月球。嫦娥一號繞地

球運(yùn)行的軌跡是以地球的地心為焦點的橢圓。若第一次變軌前衛(wèi)星的近地點到地心的距離為

m,遠(yuǎn)地點到地心的距離為n,第二次變軌后兩距離分別為2m、2n（近地點是指衛(wèi)星距離

地面最近的點，遠(yuǎn)地點是距離地面最遠(yuǎn)的點），則第一次變軌前的橢圓的離心率比第二次變

軌后的橢圓的離心率（）

A.不變B.變小C.變大D.無法確定

a+c=na=m+nQ'+C'=2〃[a'=2(m+n).

［解析］=><=><，選A

a—c=inc=n-ma「c'=2m[c'=2(〃-m)

題型2:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運(yùn)用（范圍、對稱性等）

22

［例4］已知實數(shù)滿足亍+5=1,求//一》的最大值與最小值

【解題思路】把Y+y2—x看作x的函數(shù)

221

［解析］由r二+v上=1得丁=2-上/,

422

1）

2—x~20—24x42

2

113

...尤2+y2_X=矛7+2=_1）2+獷€［-2,2］

當(dāng)X=1時,d+y2—X取得最小值工當(dāng)x=—2時,d+2—X取得最大值6

2'

【名師指引】注意曲線的范圍，才能在求最值時不出差錯

5

【新題導(dǎo)練】

9.已知點A,B是橢圓二+4=1（機(jī)〉0,〃>0）上兩點，且旃=4而，則4=

"n

［解析］由45=4而知點A,0,8共線，因橢圓關(guān)于原點對稱，.??；1二一1

22

10.如圖，把橢圓工+工=1的長軸A3分成8等份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半

2516

部分于耳,巴,巴,鳥，4，豆,鳥七個點，尸是橢圓的一個焦點

則忸尸1+內(nèi)尸1+內(nèi)尸1+因尸i+區(qū)尸1+氏用+囚尸上—

［解析］由橢圓的對稱性知：

尸|+內(nèi)尸內(nèi)刊=

|4I=\P2F\+M=\P.F\+2a=35.

考點3橢圓的最值問題

題型：動點在橢圓上運(yùn)動時涉及的距離、面積的最值

［例5］橢圓—+5=1上的點到直線1:x+y-9=0的距離的最小值為

169

【解題思路】把動點到直線的距離表示為某個變量的函數(shù)

［解析］在橢圓上任取一點P,設(shè)P（4cos6,3sin。）.那么點P到直線1的距離為:

14cose+3sin0-12lV2.

---------------］--------=——15sin（6+^）-91>2-72.

Vl2+122

【名師指引】也可以直接設(shè)點P（x,y）,用x表示y后，把動點到直線的距離表示為x的函

數(shù)，關(guān)鍵是要具有“函數(shù)思想”

【新題導(dǎo)練】

22

11.橢圓工+2L=1的內(nèi)接矩形的面積的最大值為

169

［解析］設(shè)內(nèi)接矩形的一個頂點為（4cos6,3sin。），

矩形的面積S=48sin6?cos0=24sin26<24

22

12.P是橢圓A+當(dāng)'=1上一點，耳、鳥是橢圓的兩個焦點，求的最大值

ab

與最小值

［解析］尸耳尸耳】22

II?IPF21=1PFX\（2a—II）=-（IPFI-a）+a,\PF}\e［a-c,a+c］

當(dāng)IP"1=a時，I尸甲?IPgI取得最大值a2,

6

當(dāng)IPf；l=a±c時，IPK取得最小值》2

XC

13.已知點尸是橢圓一+丁=1上的在第一象限內(nèi)的點，又4(2,0)、5(0,1),

4

。是原點，則四邊形04PB的面積的最大值是一

7T

[解析]設(shè)P（2cosdsine）,0￡（0,5）,則

q=qaq--0/4-sin^+—05-2cos^=sin8+cos。4正

^OAPB~2A。尸人Tu&OPB

22

考點4橢圓的綜合應(yīng)用

題型：橢圓與向量、解三角形的交匯問題

［例6］已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點0*一個長軸端點為(0,1),短軸端點和焦點所組成的

四邊形為正方形，直線I與y軸交于點P(0,m),ijffi圓C交于相異兩點A、B,且AP=3PB.

(1)求橢圓方程；

(2)求m的取值范圍.

【解題思路】通過Q=3萬，溝通A、B兩點的坐標(biāo)關(guān)系，再利用判別式和根與系數(shù)關(guān)系

得到一個關(guān)于m的不等式

［解析］(1)由題意可知橢圓C為焦點在y軸上的橢圓，可設(shè)C：與+==15>8>0)

a~b~

V2

由條件知。=1且6=。，又有/=/>2+02,解得a=l,b=c

2

2

故橢圓C的離心率為e=￡=注，其標(biāo)準(zhǔn)方程為：/+:_=1

a21

2

(

(2)設(shè)/與橢圓C交點為45,yi),BX2,y2)

\y=kx+m

得（F+2）x?+2攵mx+（優(yōu)2—1）=0

[2r2+/=1

A=（2km）2-4（爐+2）（m2-l）=4（k2-2m2+2）>0（*）

-2krn/一1

修+工2=如+2'X,X2=P+2

X]+X2=-2X2

VAP=3PBA-XI=3X2

X\X2=~3%2

—2kinvtr—]

消去得3（即+工2）~+4式|M=。，?**3（攵?+2）~+41+2=。

7

整理得4爐團(tuán)2+2〃，一爐一2=0

加2="時，上式不成立；加2舌時，爐=工號,

「22m2111

因2=3.\以0.??4-==5~7>0?—1</?7<—z或T</n<l

4m—122

容易驗證標(biāo)>2病一2成立，所以(*)成立

即所求機(jī)的取值范圍為(—1,-1)u(1,1)

【名師指引】橢圓與向量、解三角形的交匯問題是高考熱點之一，應(yīng)充分重視向量的功能

【新題導(dǎo)練】

14.設(shè)過點P(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點，點。與點

P關(guān)于y軸對稱，。為坐標(biāo)原點，若麗=2"，且麗?瓦=1,則P點的軌跡方程是

()

A.-X2+3y2=l(x>0,>0)B.—x2-3y2=l(x>0,y>0)

33

C.3x2-1y2=l(x>0,y>o)D.3x2+|y2=l(x>0,y>0)

—3—?3

［解析］AB=(.--x,13y),OQ=(-x,y)-x2+3y2=1,選A.

15.如圖，在RtZVIBC中，ZCAB=90°,AB=2,AC=—。一曲線E過點C,動點P在

2

曲線E上運(yùn)動，且保持I%I+IPBI的值不變，直線/經(jīng)過A與曲線E交于M、N兩點。

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；_

(2)設(shè)直線/的斜率為k,若為鈍角，求k的取值范圍。

解(1)以AB所在直線為x軸，AB的中點O為原點建立直角坐板L_________

(1,0)

由題設(shè)可得

\PA\+\PB\^\CA\+\CB\^^-+卜+(爭2=曰+邛=2正

動點P的軌跡方程為「+%=1(。>6〉0),

a2b2

則a="c=Lb=7a2-c2=1

Xc

曲線E方程為L+;/=1

2

8

(2)直線MN的方程為y=k(x+1),設(shè)M(x,,y,),設(shè)M區(qū),必,),N(x2,%)

y=^(x+1),

由，，，得(1+2%2)/+41》+2(%2-1)=0

x2+2y--2=0

vA=8fc2+8>0

方程有兩個不等的實數(shù)根

4k22(k2-1)

X,+x=---------,x,-x=-------

22+2k22l+2k2

BM=a-LyJBN=(x2-l,y2)

麗晨麗=a—D(%2-D+%%=a-1)(%-i)+8a+i)a+1)

=(1+上-)X|%2+(女--1)(X]+》2)+1+后一

a+Y）筆丹-）（，）+1+/7k2-1

l+2k2

'：ZMBN是鈍角

.,.麗?麗<0

Ik2-}

HP<0

1+2公

J-jyFj

解得：-2LL<k<j

77

又M、B、N三點不共線

...%0

綜上所述，k的取值范圍是（-二,0）u（0,2）

77

?-?搶分頻道支

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練

1.如圖所示,橢圓中心在原點,F是左焦點，直線ABt與BF交于D,

且=90°,則橢圓的離心率為（）

V3-1V5-1回！6

22V22

［解析］B.—?（――）=—I=>tz2—c2=ac=>e=--

ac2

9

V..

2.設(shè)尸I、&為橢圓彳+/=1的兩焦點，P在橢圓上，當(dāng)△QPF2面積為1時，PFt-PF2的

值為A、0B、1C、2D、3

［解析］A.vS&FPF，P的縱坐標(biāo)為±走，從而P的坐標(biāo)為

yrr?＞r3

（土孚土乎）,麗?麗=0,

22

3.橢圓土+』-=1的一條弦被A（4,2）平分,那么這條弦所在的直線方程是

369

A.x-2y=0B.2x+y—10=0C.2x—y—2—0D.x+2y—8=0

2222

［解析］D.」—F=1,——I"上■?二1,兩式相減得:X,+x+4(y,+y)^~~—

22=0?

369369x「X2

???玉+/=8,弘+%=4，；.%一%二二

x}-x22

3

4.在中，N4=90°,tan5==,若以48為焦點的橢圓經(jīng)過點C,則該橢圓的

4

離心率e=.

401

［解析］AB=4k,AC=3k,BC=5k,e=---------=-

AC+BC2

5.已知K，心為橢圓的兩個焦點,P為橢圓上一點，若NPFE:ZPF2Ft:ZFtPF2=1:2:3,

則此橢圓而離心率為______:

［解析］V3-1［三角形三邊的比是1:6：2］

22

6.（2008江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓二+2=1（。〉匕＞0）的焦距為2,以。為圓心，

ah

/2A

。為半徑的圓，過點幺,0作圓的兩切線互相垂直，則離心率6=______.

Ic）

2歷

［解析］—=V2a=＞e=——

c2

綜合提高訓(xùn)練

22

7,已知橢圓二1+上二=1（4＞匕＞0）與過點42,0）,8（0,1）的直線/有且只有一個公共點

a2b2

T,且橢圓的離心率6=亙.求橢圓方程

2

［解析］直線/的方程為：y=--x+l

2

由已知近了=斗=f=4/①

10

X2y2

Ar+A-=1

由-。力得:(b2+—a2)x2-a2x+a2-a2h2=0

14

y=---九+1

2

AA=tz4-(4/;2+tz2)(tz2-a2b2)=0,即々2=4-4^2②

由①②得：a?=2,b~=—

2

、x2v2

故橢圓E方程為+——-1

2J_

5

?22歷

8.已知A、8分別是橢圓F+4=1的左右兩個焦點，。為坐標(biāo)原點，點P(-l,在橢

a2b22

圓上，線段PB與y軸的交點”為線段/>8的中點。

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

sinA+sin3

(2)點C是橢圓上異于長軸端點的任意一點，對于△ABC,求的值。

sinC

［解析］(1)?.?點M是線段尸8的中點

：.OM是的中位線

又OM，ABZ.PA±AB

c-1

<^7+—7-1解得“2=2/2=l,c?=1

a22b2

a2=b2+c2

.??橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為~y+y2=i

(2)；點C在橢圓上，4、8是橢圓的兩個焦點

.".AC+BC=2?=2V2,AB=2c=2

RCACAR

在AABC中，由正弦定理，上==-土=士

sinAsinBsinC

.sinA+sinB_BC+AC_2夜_后

sinCAB2

9.已知長方形ABCD,AB=2J5,BC=1.以AB的中點0為原點建立如圖8所示的平面直角坐

標(biāo)系xoy.

(I)求以48為焦點，且過C、。兩點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(II)過點P(0,2)的直線/交(I)中橢圓于M,N兩點,是否存在直線I，使得以弦MN為直徑的圓

II

▲y

恰好過原點?若存在，求出直線I的方程;若不存在，說明理由.DC

AOB

圖8

［解析］(I)由題意可得點A,B,C的坐標(biāo)分別為(-V2,0)i(V2,0)(V2,l).

22

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是二+==1(“>6〉0).

ab

則2Q=4C+3C

=癡_(-⑸￥+(>0)2+肥"J+(1-0)2

=4>2行

a=2

/.h~=a2—c~=4—2=2.

22

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是二+二=1.

42

(II)由題意直線的斜率存在，可設(shè)直線/的方程為y=丘+2k*0).

設(shè)M,N兩點的坐標(biāo)分別為(X］,必),(32,乃)

y=履+2

聯(lián)立方程:

x2+2y2=4

消去y整理得,(1+2女2卜2+8履+4=0

七弘4

有+X,=-------,X.X=-----7

'21+2/1291+2公

若以MN為直徑的圓恰好過原點，則而，蘇，所以X/2+/乃=0,

所以,x,x2+(H]+2\kx2+2)=0,

即(1+k2卜1%2+2Mxi+%2)+4=0

4(1+/)16k2

所以,+4=0

1+2/2\+2k2

即歸磐=0,

l+2k2

得％2=2,左=±JI

所以直線/的方程為^=缶+2,或y=—JLc+2.

所以存在過P(0,2)的直線/:y=±岳+2使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點.

參考例題:

12

x2y2

1、從橢圓3+彳=l(a>b>0)上一點P向x軸引垂線,垂足恰為橢圓的左焦點"，A

ab

為橢圓的右頂點，B是橢圓的上頂點，且而=>0).

⑴、求該橢圓的離心率.

⑵、若該橢圓的準(zhǔn)線方程是*=±26，求橢圓方程.

［解析］(1),vAB=AOP,AB//OP,:.XPFQsXBOk,

.?圈=將，=冏心,

忸0||OA|a111a

又尸(一(?,')=>=+^^=1=>|尸/:；|=1，:.b=c,

ab-'a~

22

而a2=/+c.-.a

⑵、???x=±2行為準(zhǔn)線方程,—=2>/5=>a2=26c,

22

所求橢圓方程為土+乙=1.

105

2、設(shè)片，工是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，若ZFf居=々TT，證明：AFfB的面積

只與?橢圓的短軸長有關(guān)

1+1PF21=2a

［解析］由<rr得

22

IPFXI+1PF212T耳入l=21P耳II尸工Icos§

(PFl\+\PF21)2=4/

.-.31PF,IIPF\=4(O2-C2)=4/72,

IPF/2+”I2-4c2=1PF,IIPFJ2

2

.-.IPF{IIPF21=^b=>SM、PF,=gb：命題得證

第2講雙曲線

★知識梳理★

1.雙曲線的定義

(1)第一定義：當(dāng)||尸尸卜|尸尸2〔1=2。>|尸?尸21時，P的軌跡為雙曲線;

13

當(dāng)l|P尸六］尸尸2|1=2a<|K%|時，P的軌跡不存在;

當(dāng)l|P%|-|PF2K2a=|F|F』時，尸的軌跡為幺6、E；為端點的兩條射線

(2)雙曲線的第二義:;

(雙曲線上的動點到焦點的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化).

解析:平面內(nèi)到定點F與定直線/(定點F不在定直線/上)的距離之比是常數(shù)e(e>1)的點

的軌跡為雙曲線

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程x2y2y22

一^-77=1(。/>。)x=l(a/>0)

a-b~a7bT-

焦點(c,0),(-c,0),(0,c),(0-c)

焦距

性2c

范圍\x\>a,yeR1y\>a,xe.R

質(zhì)

頂點(a,0),(-q,0)(0,-a),(0,a)

對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱

離心率八.

e=一C￡(1,4-00)

a

9

準(zhǔn)線CTa2

X=±(—y=±—

cc

漸近線,a

y=±?b-xy=±—x

ab

丫2222

與雙曲線?！狫v=l共漸近線的雙曲線系方程為：

a2b2a2b2

與雙曲線5一芻=1共飄的雙曲線為與-「=1

abba

等軸雙曲線/_).2=±/的漸近線方程為),=±x,離心率為e=VL；

★重難點突破★

重點:了解雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，會運(yùn)用定義和會求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，能通過方程研

究雙曲線的幾何性質(zhì)

難點：雙曲線的兒何元素與參數(shù)a,6,c之間的轉(zhuǎn)換

重難點:運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，圍繞“焦點三角形”，用代數(shù)方法研究雙曲線的性質(zhì)，把握兒何元素

轉(zhuǎn)換成參數(shù)的關(guān)系

1.注意定義中“陷阱”

問題1：已知耳(-5,0),鳥(5,0),一曲線上的動點P到6，居距離之差為6,則雙曲線的方

程為_________

14

點撥：一一要注意是否滿足2a>R七|,二要注意是一支還是兩支

?.?IPF.|-|PFJ=6>10,-.P的軌跡是雙曲線的右支.其方程為—-^-=1(%>0)

916

2.注意焦點的位置

3

問題2：雙曲線的漸近線為y=±±x,則離心率為____________

-2

點撥：當(dāng)焦點在x軸上時，-=e=姮；當(dāng)焦點在y軸上時，-=€=叵

a2b2

★熱點考點題型探析★

考點1雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程

題型1:運(yùn)用雙曲線的定義

［例1］某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同

時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s.已知各觀測點到該中心的

距離都是1020m.試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當(dāng)時聲音傳播的速度為340m/s:相關(guān)各點

均在同一平面上)

【解題思路】時間差即為距離差，到兩定點距離之差為定值的點的軌跡是雙曲線型的.

［解析］如圖，以接報中心為原點O,正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)

A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020)

設(shè)P(x,y)為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得IPAHPCI,故P在AC的垂直平分

線PO上，PO的方程為y=-x,因B點比A點晚4s聽到爆炸聲，故IPBI-IPAI=340X4=1360

由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線

依題意得a=680,c=1020,

222

:.b=c-a=102()2—68()2=5x3402

用y=-x代入上式，得x=±68075,VIPBNPAI,

x=-680技y=680后即尸(-680底6806,故PO=680師

答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北45°距中心680V10/n處.

【名師指引】解應(yīng)用題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)換為“數(shù)學(xué)模型”

【新題導(dǎo)練】

1.設(shè)P為雙曲線-2-=1上的一點F1、F2是該雙曲線的兩個焦點，若IPF*IPF2I=3：2,

15

則△PFE的面積為()

A.6V3B.12c.12V3D.24

解析：a^\,b=V12,c=V13,SIPF,1:11=3:2①

又IPK1-1尸產(chǎn)21=2a=2,②

由①、②解得IPF；1=6,1PF21=4.

22

?/IPF,I+1PF2產(chǎn)=52,1F1F2I=52,

PFF2為直角三角形,

:.S"FF=-\PF.\-\PF,I='x6x4=12.故選B。

?芭221/2

22

2.如圖2所示，口為雙曲線C:^-一上-=1的左

916

焦點，雙曲線C上的點與與Pi,=1,2,3)關(guān)于y軸對稱，

則山川+舊目+月耳一園盟一區(qū)尸|一園目的值是()

A.9B.16C.18D.27

［解析］\P.F\-\P6F\=\P2F\-1/>F|=|z>F|-|/^F|=6,選c

22

3.P是雙曲線當(dāng)?—4=1(。＞0力＞0)左支上的一點，F(xiàn)|、F2分別是左、右焦點，且焦距

ah

為2c,則△尸5尸2的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為()

(A)-a(B)-b(C)-c(D)a+b-c

［解析］設(shè)APKF2的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為與，

由圓的切線性質(zhì)知，PF?—PF、=1c—九0I—I%—(―c)1=2aXQ——a

題型2求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

22

［例2］已知雙曲線C與雙曲線二一匕=1有公共焦點，且過點(3V2,2).求雙曲線C

164

的方程.

［解題思路】運(yùn)用方程思想，列關(guān)于a,b,c的方程組

22

［解析］解法一：設(shè)雙曲線方程為