第一講物體在復(fù)合場(chǎng)中的平衡

［例1］有一重為G的圓柱體，置于傾角a=53°的光滑斜面上，在平

行于斜面的拉力F和水平推力Q作用下，處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖(1-1)

所示，已知Q=5N,G=10N,求斜面對(duì)圓柱體的彈力和地面對(duì)斜面體

的摩擦力的大??？

［解］:分別確定圓柱體和斜面體為研究對(duì)象，作出受力圖如圖(1—2)圖Q—1)

圖(1—3)所示。

由平衡條件得，對(duì)圓柱體:XFx=FCosa+Q-NSina=0

EFy=FSina+NCosa-G=0

對(duì)斜面體:EFx=NSina-f=0

代值解之得：N=10N,f=8N

［例2］：如圖(1—4)所示，豎直放置的均勻帶電圓環(huán)的電量為Q,

半徑為R,現(xiàn)用長為L的絕緣線將一質(zhì)量為m的小球栓在圓環(huán)的Tmq

最高點(diǎn)，為使小球能靜止在垂直于圓環(huán)平面的對(duì)稱軸上，必須給ac。

小球帶上多大的電量？所帶的電荷的電性如何？(L>R,細(xì)線重力°回一

不計(jì))圖Q-4)mg

［解］:帶電小球受重力mg,拉力T和電場(chǎng)力F

作用而平衡，則F=mgctga且?guī)щ娦∏驊?yīng)與環(huán)所帶的電性一樣，同性相斥才能處于靜止。

設(shè)想將圓環(huán)n等分，當(dāng)n相當(dāng)大時(shí)，每一小段便可看作點(diǎn)電荷，帶電量為qi=Q/n,則每一小

2

段你對(duì)小球的庫侖力為Fi=Kqiq/L

L

如圖(1—5)所示由對(duì)稱性可知EFiy=0EFix=FTmq

RatOF.

所以F=￡Ex=￡Kq,qcosa/L2=KQqcosa/L2°

解得q=mgL2/KQsina=mgL3/KQR

XXXX

［例3］如圖(1-6)所示，在光滑絕緣水平面上方有磁感應(yīng)強(qiáng)度*2mxVoXxmBq：M

為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，B的方向垂直紙面向里，質(zhì)量為2m的不帶電，工，②

圖(1-6)

的銅球a以Vo向b球運(yùn)動(dòng)，b球質(zhì)量為m,帶正電荷q,空心，大小與a球一樣，若碰后b

球?qū)λ矫媲o壓力，則此時(shí)a球?qū)λ矫娴膲毫Χ啻螅?/p>

［解］:兩球大小形狀一樣，故碰后平分電量各帶電q/2,設(shè)碰后兩球的速度分別為VaVb則對(duì)b

球：mg=BqVb/2得Vb=2mg/Bq由碰撞動(dòng)量守恒得2mV()=2mVa+mVb即Va=Vo-mg/Bq,對(duì)

a球：2mg=N+BqVa/2故N=(5mg-BqVo)/2

［例4］：設(shè)在地面上方的真空室內(nèi)，存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)。已知電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的

方向相同E=4V/m,B=0.15T,今有一個(gè)帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)以V=20m/s的速度在此區(qū)域內(nèi)沿垂直場(chǎng)

強(qiáng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)。求此類帶電質(zhì)點(diǎn)的電量和質(zhì)量之比q/m,及磁場(chǎng)的所有可能方向？

(角度可用反三角表示)

［解］：帶電質(zhì)點(diǎn)受重力mg電場(chǎng)力Eq和洛倫磁力BqV,由平衡條件得，合力必為零，即：三

個(gè)力必在同一豎直平面內(nèi)。

叫=,附2+出*-2-=「_工-----=\.96C!kg

m+E'即

E,B的方向與電場(chǎng)力Eq的方向相反，設(shè)B的方向與重力的方向夾角為0，則有tgO=BqV/Eq

0=tg-'(BV/E)e=tg'(0.75)故B的方向是與重力方向成。=tg"(0.75)且斜向下方的一切方向。

練習(xí)一

1、如圖(1-8)所示，有兩個(gè)帶有等量異種電荷的小球a、b,用絕緣細(xì)線相連后懸起，現(xiàn)

加一水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，當(dāng)兩球都處于平衡位置時(shí)，下列說法正確的是：

LJ

A、細(xì)線a只能取豎直方向。

B、細(xì)線a可能向左偏或向右偏。

C、細(xì)線b可能向左偏或向右偏。

D、細(xì)線a、b可能在同一直線上。

2、一個(gè)底面粗糙質(zhì)量為M的劈放在粗糙水平面上，劈的斜面光滑

且與水平面夾角為30°,如圖(1-9)所示，用一端固定的輕繩系

一質(zhì)量為m的小球，小球放在斜面上，輕繩與斜面夾角為30°。當(dāng)

劈靜止時(shí)繩的張力大小為一若地面對(duì)劈的最大靜摩擦力等于地面對(duì)

圖(1-9)

劈的支持力的K倍，為使整個(gè)系統(tǒng)靜止則K值不能小

BqV

由平衡條件得Eq

4、如圖（1—11）所示U形導(dǎo)體框架寬1m與水平面夾角30°電

阻不計(jì)，B=0.2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與框架平面垂直，質(zhì)量為m=0.2kg

電阻R=0.1。的導(dǎo)體棒ab在框架上無摩擦滑動(dòng)，則ab下滑的最

大速度是多大？當(dāng)速度達(dá)到最大時(shí)ab上釋放的電功率多大？

（g=10m/s2）

圖（1一11）

第二講物體的運(yùn)動(dòng)

物體的運(yùn)動(dòng)包括直線運(yùn)動(dòng)和曲線運(yùn)動(dòng)。它的基本規(guī)律主要是:

222

（1）勻變速直線運(yùn)動(dòng)的基木公式',mils=v（）t+at/2,vt-v（）=2as,s=（Vo+v,）l/2.

（2）初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)結(jié)論:

222:2

v「V2：V3：...:vn=l:2:3:....:n;S|：S2：S3:....:sn=l:2:3....:n;

SI：SII：SIH：...:SN=1：3:5:....:(2n-l)

tl:⑵t3:...:tn=&:():(6-yfi)：\fn_Jr-1

兩個(gè)中間速度：vt/2=(v0+vt)/2,vs/2=、/(仞‘+"')/2

(3)

(4)兩個(gè)特例：自由落體運(yùn)動(dòng)和豎直上拋運(yùn)動(dòng)。

(5)運(yùn)動(dòng)的合成和分解。

平拋運(yùn)動(dòng)以及船渡河問題。

［例1J物體在斜面頂端由靜止開始加速下滑。最初4s內(nèi)經(jīng)過路程為

Si,最后4s內(nèi)經(jīng)過的路程為S2,月.S2-Si=8m,Si：S2=l：2,求斜面的

全長？

解：由條件得：S2-S1=8mSI；S2=1:2

（2-1）

所以：Si=8m,S2=16m圖

則:最初4s內(nèi)：Si=vitl/2,8=vi/2*4,vJ=2asi即afm/s?。利用"反向法"：S2=v2t2-at22/2,

222

v2=6m/s所以：v2-0=-2aLL=v2/2a=6/2*l=18m

［例2］如圖(2-2)所示，A、B兩板間所加的電壓如右圖，設(shè)A、B間距離為d(很大)，有

一帶電粒子質(zhì)量為m,電量為+q,(重力不計(jì))，開始m從A板靜止被加速，則該粒子在

100S內(nèi)的位移和100S時(shí)的速度及100S內(nèi)的平均速度。

A

解：帶電粒子3

在第1S內(nèi)作\

初速度為零的,m+q

勻加速運(yùn)動(dòng)」.

Vl=altl=Ftl/\V

m=quOtl/md.

第2s內(nèi)做初

速度為VI,加速度大小仍為al的勻減速運(yùn)動(dòng)。則V2=0,sl=altl2/2=qu0/2mdo故粒子作

單向直線運(yùn)動(dòng)，且加速、減速周期性變化，即vl00=v2=0,sl00=100sl=50qu0/md.vlOO=slOO

/100=qu0/2md.

［例3］如圖(2-3)所示，有一束電子，質(zhì)量為m,電量為e,以_

平行于ox軸的速度從y軸上的a點(diǎn)射入第I象限區(qū)域，為了使4y

這束電子能經(jīng)過x軸上的b點(diǎn)，可以在第I向限某處加一個(gè)方向aV0

沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)為E。沿y方向無限長，沿x方向?qū)挒?/p>

s,已知，oa=L,ob=2s,求所加電場(chǎng)的邊界線與b點(diǎn)的距不--------r---------------A

離？

圖(2-3)

解：電子穿過電場(chǎng)時(shí)，沿y方向的側(cè)位移距離為y0,y0=

22

at/2=(l/2)*(eE/m)*(s/v0)(1)若yO=L,則b點(diǎn)恰在電場(chǎng)的右邊界線上，即電場(chǎng)的右邊界線

與b的距離為xl=0,如圖(2-4)甲所示。(2)若yO>L,則b點(diǎn)應(yīng)在電場(chǎng)內(nèi)，設(shè)此時(shí)電場(chǎng)

■yj2mv2Z/eE

的左邊界與b點(diǎn)距離為X2,則L=at2/2=(l/2)*(eE/m)*(X2/v。)？，故x?=0

圖(2-4)

如圖(2-4)乙所示。

(3)若yO<L,則b點(diǎn)必在電場(chǎng)外右側(cè)，設(shè)電場(chǎng)的右邊界與b點(diǎn)距離為X3，電子在b點(diǎn)速

度方向與x軸正方向的夾角為9,則yO=(l⑵*(eE/m)*(s/v()y=L-X3ctg。，vy=v()tg。=(eE/m)

*(S/VQ)x3=(2mvo2L-eEs2)/2eEs,如圖(2-4)丙所示。

[例4]一?個(gè)杯子直徑是d,高為H,今有一小球在杯口沿直徑方向向杯內(nèi)拋出，到達(dá)杯底時(shí)的

位置與拋出時(shí)的位置在同一豎直線，求初速V0?(設(shè)小球與杯

壁是彈性碰撞且壁光滑)

解：小球與杯壁是彈性碰撞，所以碰撞前后y方向速度不變，x

方向速度等值反向，故可以設(shè)想把運(yùn)動(dòng)軌跡反向展開并聯(lián)接為如

圖(2-5)所示，則這是軌跡為平拋運(yùn)動(dòng)的拋物線。設(shè)小球與杯

壁碰撞n次(n為偶數(shù))則：水平路程s=nd,t=J2"/g,故vO=s/t

（圖2-5）

練習(xí)二

1.如圖(2-6)所示，有一光滑寬闊的斜面，傾角為9,高為

H,有一小球在A處vO以水平彈出,最后從B處離開斜面，則

下列說法正確的：[]

A.小球的軌跡為拋物線。

B.小球的軌跡為直線。圖(2-6)

C.小球運(yùn)動(dòng)的加速度為gsin。

D.小球到達(dá)B點(diǎn)處時(shí)間是(l/sinO/s'占.

miJ

2.一個(gè)物體在水平面上作勻變速運(yùn)動(dòng)，它的位移時(shí)間關(guān)系是：s=?

24t-6t2(m),則它的速度為零的時(shí)刻是0、；

3.如圖(2-7)所式，A、B、C三球同時(shí)以相同的速率開始運(yùn)動(dòng)。A、'

B相距10m,且在同一豎直線上，A作豎直下拋，B作豎直上拋，C作

平拋。5s后三球相遇在D點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，求：圖於7)

(1)A、B、C三球的初速度大小分別為----------------

(2)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)B跟C的水平距離和豎直距離分別為-----------------

(3)BD的距離為

4.一列客車以vl速度前進(jìn),司機(jī)發(fā)現(xiàn)前面同一軌道上有一列貨車正以v2速度同向勻速前進(jìn)。

(v2<vl),此時(shí)兩車相距為s,于是客車立即緊急剎車，以a作減速運(yùn)動(dòng)，而貨車仍保持原來的

速度勻速前進(jìn)。求：(1)客車的加速度數(shù)值符合什么條件，兩車不會(huì)相撞？

(2)若s=200m,vl=30m/s,v2=10m/s,a=0.8m/s2,兩車是否相撞？如果相撞，則在何處相

撞？

第三講牛頓定律的應(yīng)用

本講主要闡述運(yùn)動(dòng)和力的關(guān)系，其規(guī)律是牛頓運(yùn)動(dòng)定律，核心是牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，解決兩

方面問題：一方面是已知運(yùn)動(dòng)求力，另一方面是已知力確定運(yùn)動(dòng)情況，加速度a起橋梁作用。

如下圖：

力

［例1］：如圖（3-1）所示，。=30°,mA=mB=0.6kg,

mC=0.2kgo開始時(shí)A、C相對(duì)靜止，并一起以lm/s的

速度勻速向上，當(dāng)B離地面的高度為1.2m時(shí)，將C取

走，問當(dāng)B著地后，A還能沿斜面上升多長距離？（輕

繩的質(zhì)量及繩與滑輪間的摩擦不計(jì)）

解：（）第一過程：、、均作勻速運(yùn)動(dòng):

1ABC圖（3，）

mBg=T

T=f+(niA+mC)gSin。

f=UN

N=(mA+mC)gCos0

[ins(mA+mc)Sinfli

u=------------------------

(mA+mc)Coso6

（2）第二過程：取走C、A、B一起作加速運(yùn)動(dòng):

則：mBg-T'=mBa

T'-f'-mAgSin0=mAa

f'=(JmAgCos0

V=M+2ah=2m/s

可得:a=1.25m/s2所以:當(dāng)B著地時(shí)，A的速度為

（3）第三過程：B著地后，A作勻減速運(yùn)動(dòng)：即:mAgSin9+UmAgCos。=mAa'

a'=7.5m/s2當(dāng)B著地后A還能上升的距離為

S==0-27m

例2：水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)互相垂直，B=2T,

E=2N/C,a=37°o如圖（3-2）所示，斜面絕緣，一個(gè)質(zhì)量為

圖（3-2）

m=O.lkg,q=0.2c的帶正電物塊由靜止開始沿斜面滑下，U=0.2,求：

1）物塊下滑的最大加速度？

2）物塊下滑的最大速度？（斜面足夠長）

解：當(dāng)物塊沿斜面下滑而速度增大，導(dǎo)致洛侖茲力增大，而使得摩擦力增大，因此物塊作加

速度減小的、速度增大的變加速運(yùn)動(dòng)，最后達(dá)到a=0時(shí)，V最大。貝小

（1）當(dāng)物塊開始下滑時(shí)，即V=0時(shí)a最大。即：

mgSina-EqCosa-u（mgCosa+EqSina）=mam

得：am=0.72m/s2

（2）當(dāng)加速度為零時(shí)，V最大。即：

mgSina-EqCosa-\i（mgcosa+EqSina+BqVm）=0

所以：Vm=0.9m/s

例3:如圖（3-3）所示，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球，用細(xì)線連接起來，置于光，

滑的水平面上，線恰好被拉直，再用一個(gè)恒力F作用于連線中點(diǎn)，F(xiàn)的方\L

向平行于平面，且與線的最初位置垂直，q—

求：（1）當(dāng)小球與力F的作用線垂直距離為y時(shí)，小球的加速度多大？小0圖（3-3）

球沿著F作用線方向的加速度多大？

（2）當(dāng)兩球第一次相撞時(shí)，與力F作用線垂直方向上小球的速度多大？

解：（1）當(dāng)小球與F作用線垂直距離為Y時(shí)，因?yàn)?。點(diǎn)是平衡的，所以:F=2TCosa

即：a=T/m=F/2mCosa

小球沿著作用線方向的加速度：ax=Tx/m=Tcosa/m=F/2m

如圖（3-4）所示：由此可知：ax與a無關(guān)，即小球沿F方向作勻加速運(yùn)。工、

動(dòng)圖（軍4）

（2）設(shè)F作用點(diǎn)移動(dòng)距離S后兩球相碰，這過程中做功W=FS,若小球相碰前X,Y方向上

v=/片+片

的速度分別為Vx,Vy,那么小球的速度：V—、*'

匕=j2a（S7）

W=尸S=/x2冽x，2

/.%=4FS1m

例4：一平板車，質(zhì)量M=100kg,停止在水平路面上，

車身離地高h(yuǎn)=1.25m,一質(zhì)量為m=50kg的小物塊置于

車的平板上，它到車尾距離b=lm,與車板間的動(dòng)摩擦

因數(shù)u=0.20,如圖（3-5）所示，如對(duì)平板車施一水平

方向的恒力，使車向前行駛，結(jié)果物塊從車軸上滑落。

物塊剛離開車板時(shí)刻，車向前行駛So=2.0m,求：物塊落地時(shí)落

地點(diǎn)到車尾的水平距離是S?（不計(jì)路面與車及輪軸間的摩擦，

g=lOm/s2）

解:此題比較復(fù)雜,我們要對(duì)物和車運(yùn)動(dòng)過程逐■■吩析，正確列式

以得結(jié)果，它們的運(yùn)動(dòng)過程分析如圖（3-6）,設(shè)作用于車的水

平恒力為F,物塊與車間的摩擦力為f,自車啟動(dòng)至物塊開始離

開車板的時(shí)間為3離開車板時(shí)車的速度為V車，物塊的速度為

V物，則根據(jù)動(dòng)力學(xué)規(guī)律列式如下：

F-f=Mal(1)

SoSi|S

f=ma2(2)

f="mg(3)IS2

(4)

Cl

SO-b=2/(5)

由以上5式可得:al=4m/s2>a2=2m/s2^F=500N

所以：v車=/qK

=4m/s

V物=啦。26-匕）=2m/s

-LOrf1

物塊離開車后作平拋運(yùn)動(dòng)：=2

$1=丫物1

即：t'=0.5(s)>Sl=l(m)

這段時(shí)間內(nèi)⑴）內(nèi)，車的加速度a=F/M=5（m/s2）

故:S2=V車t,+"2=4義。5+"2…)

即：S2-S1=1.625(m)

練習(xí)三

1、如圖（3-7）所示，光滑水平桌面上，有甲乙兩個(gè)用細(xì)線相連的物體在水平拉力Fl、F2的

作用下運(yùn)動(dòng)，已知F1<F2,則下列判斷正確的：

F2

A、若撤去Fl,則甲的加速度一定變大。

B、若撤去F1,則細(xì)線上拉力一定變小。

C、若撤去F2,乙的加速度一定變大。

D、若撤去F2,細(xì)線上的拉力一定變小。

2、如圖（3-8）所示，一個(gè)彈簧臺(tái)秤盤質(zhì)量和彈簧質(zhì)量均不計(jì)，盤

內(nèi)放一個(gè)物體P處于靜止，P的質(zhì)量為m=12kg,彈簧的勁度系數(shù)

k=800N/m,現(xiàn)給P施加一個(gè)豎直向上的力F,使P從靜止開始向

上作勻加速運(yùn)動(dòng)，已知頭0.2s內(nèi)F是變力，在0.2s后F是恒力，

g=10m/s2,則F的最小值是.，F(xiàn)的最大值是

3、質(zhì)量為m,電量為+q的小求，在O點(diǎn)以初速度V0沿與水平面成9角的方向射向空中,

小球在運(yùn)動(dòng)中所受阻力恒為fo

（1）、如果在某一方向加一勻強(qiáng)電場(chǎng)后，小球能沿初速度方向作直線運(yùn)動(dòng)，則所加電場(chǎng)的場(chǎng)

強(qiáng)至少為多大？

（2）、如果加上一個(gè)水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，且E=mg/（qtgO）則經(jīng)過一段時(shí)間后，小球又能

回到O點(diǎn)，這時(shí)小球的速度多大？

4.如圖（3-9）所示，ml=m2=8kg,M=384kg,F=2920N,不計(jì)

一切摩擦，m2與墻固定不動(dòng)，求M

(1)ml的加速度大小及方向？

圖（3-9）

(2)M的加速度大小及方向？

(3)m2作用于M上的力的大小及方向？

第四講圓周運(yùn)動(dòng)和萬有引力

本講主要內(nèi)容是有圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)以及萬有引力定律的應(yīng)用。求解圓周運(yùn)動(dòng)問題的一般解題

步驟是：

（1）確定對(duì)象，找出圓心;

（2）受力分析，畫出草圖;

（3）正交分解，建立方程;

（4）統(tǒng)一單位，求解方程。

基本規(guī)律是：1）徑向合力提供向心力（尸合=尸向）

2）萬有引力定律:F弓|=G?m./2（艱產(chǎn)向=mg'）

［例1］如圖（4-1）所示，質(zhì)點(diǎn)A在某一時(shí)刻從與圓心0等高處a點(diǎn)

開始在豎直平面內(nèi)沿順時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)位于圓周

頂端b點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)B無初速自由下落，已知圓周半徑為R,則：C

（1）質(zhì)點(diǎn)A的角速度滿足什么條件時(shí)，A和B才能相遇?

解：A作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，B作自由落體運(yùn)動(dòng)，它們只能相遇在圖中的d點(diǎn)，設(shè)經(jīng)過t時(shí)間兩

者相遇，則:對(duì)B：2R=gt2/2

對(duì)A：t=（3/4+n）T=（3/4+n）2兀/co

即：co=（3/4+n）時(shí)，兩者相遇在d點(diǎn)；

（2）質(zhì)點(diǎn)A的角速度滿足什么條件時(shí)，A和B才能在某一時(shí)刻具有相同的速度？

解：A只有運(yùn)動(dòng)到圖中的c點(diǎn)，才有可能與B具有相同的速度，設(shè)所需時(shí)間t'則:

對(duì)B：VB=gt',對(duì)A：VA=co'R

t'=（l/2+n）T=（l/2+n）2兀/co'

故VA=VB即3'=JG正+1）咫”（n=0,l,2）

［例2］半徑為0.5m的圓筒A繞豎直中心軸oo'逆時(shí)針方向勻速

轉(zhuǎn)動(dòng)，其內(nèi)壁上有一質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)B,一面隨A轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)

相對(duì)筒以理2m/s2的加速度豎直下落，若AB間的動(dòng)磨擦因數(shù)

u=0.16,g=10m/s2,

y(cm)

求：(1)此時(shí)圓筒A的角速度為多大？

(2)要使質(zhì)點(diǎn)B沿筒壁并相對(duì)筒以勻速下落，則圓筒的角速度多大？

(3)若在質(zhì)點(diǎn)B開始下落的正下方距筒底0.55m處開一小孔C,當(dāng)圓簡(jiǎn)轉(zhuǎn)至如圖所示位

置時(shí)，B相對(duì)筒以5m/s的速度滑至C孔飛出，此時(shí)A的角速度①=10rad/s,則B點(diǎn)落到筒

底所在的平面上的坐標(biāo)怎樣？

解：(1)質(zhì)點(diǎn)B沿筒壁豎直下落又隨筒一起轉(zhuǎn)動(dòng)，所以有：Mg-nN=Ma;N=M(D2R

即,ro==7(10-2)/0.16x0.5=J^(radIs)

(2)勻速下滑時(shí)：Mg=mN';N'=Mw2R

收m_Jg7uR=5\［5［rad/s)

(3)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)B飛出小孔C時(shí)，豎直方向上作豎直下拋運(yùn)動(dòng)，h=vt+gt2/2,

即:0.55=5t+gt2/2\t=0.1s;B質(zhì)點(diǎn)從C孔飛出作平拋運(yùn)動(dòng),

落到底面時(shí)：x=R=0.5m,y=vt,v=wR

即：y=wRt=0.5(m)

故：B點(diǎn)坐標(biāo)是(0.5,0.5,0)

［例3］某人造衛(wèi)星離地面高度為h,地球的半徑為R,質(zhì)量為M,地面的重力加速度為g,萬

有引力恒量為G

(1)試分別有h、R、M、G表示衛(wèi)星的周期T,線速度V和角速度co?

(2)試分別用h、R、g表示衛(wèi)星的周期T,線速度v和角速度①？

［解］:(1)根據(jù)萬有引力提供衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的向心力得：

黑一網(wǎng)懸二的(尺+為)=用(夫+力)4//12

即：

T=2萬+hj/GM

v=y［GM/(?+〃)

yv=，GM/(R~+hf

(2)根據(jù)衛(wèi)星在地球表面受的萬有引力近似等于該處的重力得:

故：GM=gR2將此代入上述結(jié)果得：

T=y/(R+hj/GM

v=y［GM~~/(R+〃)

w=JGM/(R"""+hy

［例4］如圖所示，在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有一豎直放置的半徑為

r的絕緣光滑半圓軌道，一帶電小球，電量為q,質(zhì)量為m從靜止在a點(diǎn)開始［”！o”,,

滑下，求軌道最低點(diǎn)b受到的壓力？

解：首先要注意帶電小球的電性。此題要分帶正電及帶負(fù)電兩種情況討論求“"“

解。

12V?

mgr=—mvN-mg-Bqvb=m-

若帶正電，則：2r

即：N=3mg+B城礪

12N—mg+Bqv=m—

mgr=—mvbb

若帶負(fù)電，則：2

即N=3mg-B城通

練習(xí)四

i.如圖所示，一個(gè)光滑的絕緣圓環(huán),半徑為R,位于豎直平面內(nèi)，圓

球上A、C兩點(diǎn)與圓心O在同一平面上，B、D分別為最高點(diǎn)和最

低點(diǎn)，勻強(qiáng)電場(chǎng)水平向右，場(chǎng)強(qiáng)為E,環(huán)上穿一個(gè)質(zhì)量為m,電量

為q的空心小球，小球沿順時(shí)針做圓周運(yùn)動(dòng)，已知小球過A點(diǎn)時(shí)充E

環(huán)的壓力恰好為零，且Eq=mg,那么B、C、D三點(diǎn)中：［］

A.B點(diǎn)時(shí)對(duì)環(huán)的壓力最大

B.C點(diǎn)時(shí)對(duì)環(huán)的壓力最大

C.D點(diǎn)時(shí)對(duì)環(huán)的壓力最大

D.C、D兩點(diǎn)時(shí)對(duì)環(huán)的壓力相同

2.如圖所示，A、B兩質(zhì)點(diǎn)在to時(shí)位于豎直線MN上的P、Q兩點(diǎn)，具有相

同的水平速度V,若質(zhì)點(diǎn)A以MN上一點(diǎn)0為圓心，半徑為R作勻速圓周運(yùn)

動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)B作勻變速直線運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻t,A、B兩質(zhì)點(diǎn)的速度又相同，則

質(zhì)點(diǎn)B的加速度應(yīng)滿足的條件是

3.如圖所示，在一根長為L的輕細(xì)棒中點(diǎn)和末端各栓一質(zhì)量為m的小球，棒

1

可在豎直面內(nèi)繞固定點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)。若將棒拉到某位置后釋放，末端C球擺到最N

低點(diǎn)時(shí)，棒BC段受到的拉力剛好等于球重的2倍，求：

（1）C球通過最低點(diǎn)時(shí)的速度大小？

（2）棒AB此時(shí)受到的拉力大小？

4.如圖所示，有A、B兩個(gè)行星繞同一恒星O作圓周運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)方向相同,

A行星的周期為T“B行星的周期為T2,在某一時(shí)刻兩行星第一次相遇（即兩行星相距最近）

則:

（1）經(jīng)過多少時(shí)間兩行星第二次相距最近？

（2）經(jīng)過多少時(shí)間兩行星第一次相距最遠(yuǎn)？

第五講功和功率

例1］：如圖（5—1）質(zhì)量為m的物體靜止在傾角為0

的斜面上，物體與斜面的動(dòng)摩擦系數(shù)為U,現(xiàn)使斜面

體向右水平勻速移動(dòng)距離L,則摩擦力對(duì)物體做的功

是多少？斜面對(duì)物體的彈力做的功是多少？斜面對(duì)物

體做的功又是多少？

圖（5—1）

［解］:對(duì)m作受力分析，受重力G,彈力N,力f,

則根據(jù)功的定義：

（1）W尸fLCos。=mgLSin9Cos9

（2）WN=-NLSin0二一mgLSin。Cos。

圖（5—1）

（3）W=Wf+WN

［例2］：汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的額定功率為60kw,汽車質(zhì)量為5T,汽車在水平路面上行駛時(shí)，阻力是

車重的0.1倍，求：

（1）汽車以額定功率從靜止起動(dòng)后能達(dá)到的最大速度是多少？

（2）汽車從靜止開始，保持以0.5m/s2的加速度作勻加速運(yùn)動(dòng)這一過程能維持多長時(shí)間？

［解］:（1）汽車以額定功率起動(dòng)，先作加速度減小的速度增加的變加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)a=0時(shí)作勻

速直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)速度達(dá)到最大Vm，貝％F=f=kmgP=FVmVm=P/kmg=12（m/S）

［解］:(2)汽車以恒定加速度起動(dòng)，加速度a=(F—kmg)/m功率隨速度增大而增大，當(dāng)功

率達(dá)到額定功率時(shí)Pm=FV”設(shè)保持勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t,則V|=at,故t=Pm/ma(a+kg)

=16(S)

［例3］：兩塊靠得較近的絕緣板水平放置，相對(duì)面均為粗糙面，它們之間有如圖(5-2)所示

方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,一個(gè)高度略小于兩板間

距，質(zhì)量為m,帶+q電量的物體放在兩板之間，現(xiàn)給物塊X。M

一瞬間沖量，使物塊獲得速度V向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩板足夠長，X.XVXBX

試分析物塊在運(yùn)動(dòng)過程中摩擦力做功情況并求出做功的忑.四近《忑,

值。XXXXN

圖(5—2)

［解］:因?yàn)閂的大小未知，所以無法確定物體的受力情況，

必須加以討論：

(1)若開始時(shí)BqV=mg,則N=0,f=0,物塊作勻速直線運(yùn)動(dòng)，W(=0o

(2)若開始時(shí)BqVvmg,即V<mg/Bq,物體受下板(N)摩擦力作用做減速運(yùn)動(dòng)直到停止。

m

Wf=^

故32

(3)若開始時(shí)BqV>mg,即V>mg/Bq,物塊受上板(M)摩擦力作用先作減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度減

到V，=mg/Bq時(shí),不受摩擦力作用作勻速直線運(yùn)動(dòng)。所以

W=-mV'2--mV2=--m［72-(^)2］

/222Ba

［例4］：如圖(5—3)所示，一個(gè)小孩站在船頭(1)(2)

兩種情況下，用同樣大的力拉繩，作用相同的時(shí)間3

(船未碰撞)小孩所做的功分別為Wi、W2，在時(shí)間t

內(nèi)小孩拉繩的功率分別為Pi、P2o則有［

P|=P2o

A、W,>W2，

Pl=?2o

B、WI=W2,

P1=P2o圖(S3)

C、Wi<W2,

P|<P2o

D、W,<W2,

［解］:小孩做功：圖⑴是指對(duì)自身(包括所站的船)做的功，而圖⑵中小孩做的功分兩部分:

一是對(duì)自身(包括所站的船)做的功，與圖(1)做的功相等，另外是對(duì)另一條船做的功。所以

W［<W2又因?yàn)椋簍相等，P=W/t所以P|<P2故選D

練習(xí)五

1.如圖所示，一輛小車靜止在光滑的水平軌道上，一個(gè)小球用細(xì)繩懸

掛在車上由圖中位置無初速釋放，則小球在下擺過程中，下列說法正確

的是：[]

A.繩對(duì)小球的拉力不做功

B.繩對(duì)小球的拉力做正功

C.小球的合力不做功

D.繩對(duì)小球的拉力做負(fù)功

2.如圖所示，滑輪和繩質(zhì)量及摩擦不計(jì)，用力F開始提升原來靜止的質(zhì)量為rr

10kg的物體，以大小為2m/s2的加速度上升，則3s內(nèi)F做的功為____,3s末力小F

F的功率為o（g=10m/s2）工

3.從塔頂以4m/s的初速豎直上拋一個(gè)質(zhì)量為2kg的小球，不計(jì)空氣阻力，速

度大小變化為6m/s,在這段時(shí)間內(nèi)重力做的功是,重力的平均功率是

4.如圖所示，在一個(gè)光滑水平面中心開一個(gè)小孔O,穿一根細(xì)繩，在其一端系一小球，另一

端用力F向下拉著，使小球在水平面上以半徑r做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)慢慢增大拉力，使小球

運(yùn)動(dòng)半徑逐漸減小，當(dāng)拉力由F變?yōu)?F時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)半徑由r變?yōu)閞/2,

在此過程中拉力對(duì)小球做的功為多大？

第六講動(dòng)能定理的運(yùn)用F

例1.平拋一個(gè)質(zhì)量為m的物體，初速為Vo,不計(jì)一切阻力，物體著地時(shí)速度方向與水平方

向的夾角為。，此過程中重力對(duì)物體做功大小為：（）

15.000

A.一mv（）sinQB.~mvocos。C.一mvQtg79D.：趣V；陶20

222

分析與解：由幾何關(guān)系可得：V=V（）/cosq

1719

—mv—mvg=WG

根據(jù)動(dòng)能定理可得22

獷G=；9：（一^-1）=；9/的

2COS82本

題答案為D

應(yīng)用動(dòng)能定理解題基本步驟:

1.明確研究對(duì)象（單個(gè)物體或系統(tǒng)）；

2.明確物理過程(單個(gè)過程或幾個(gè)過程作為整體)；

3.正確分析受力及各個(gè)力做功的情況(正功或負(fù)功)；

4.明確初、末狀態(tài)，建立動(dòng)能定理方程求解。

例2.如圖，質(zhì)量為m的物體靜放在光滑水平平臺(tái)上，系在物體上的繩子跨過光滑的定滑輪,

由地面上的人向右拉動(dòng)，已知人的速度恒為Vo。此人從平臺(tái)的邊緣開始向右走到繩與水平

方向產(chǎn)生45。角的過程中，人拉物體做了多少功？

分析與解:作出速度分解圖如圖,可知丫物斗〃=%?^45°,

WA=—m(Vocos45°J=—mv.

則,

例3、總質(zhì)量為M的列車，沿水平直線軌道勻速前進(jìn)，其末節(jié)車廂質(zhì)量為m,中途脫節(jié)，司機(jī)

發(fā)覺時(shí)，機(jī)車已行駛L的距離，于是立即關(guān)閉油門。設(shè)運(yùn)動(dòng)的阻力與質(zhì)量成正比，機(jī)車的牽

引力是恒定的，當(dāng)列車的兩部分都停止時(shí)，它們之間的距離

是多少？

%

%%__

分析與解:畫出示意圖對(duì)車頭應(yīng)用動(dòng)能定

FL--m)gSi=--(M-

理：2

-KmgS2-......ITIVQ

對(duì)車尾應(yīng)用動(dòng)能定理2

而△S=S「S2列車原作勻速運(yùn)動(dòng)/.F=KMg

聯(lián)立以上方程解得△S=ML/(M-m)

解答此類題的關(guān)鍵是分清整個(gè)過程中有幾個(gè)力做功及初未狀態(tài)的動(dòng)能。

例4、如圖所示，電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)繃緊著的傳送皮帶，始終保持V°=2m/s的速度

運(yùn)行，傳送帶與水平面間的夾角為30°?，F(xiàn)把一個(gè)質(zhì)量為m=10kg的工件￡

輕輕地放在皮帶的底端，經(jīng)過一段時(shí)間后工件被送到高h(yuǎn)=2m的平臺(tái)上，夕

已知工件與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因素口二孤衣，除此之外，不計(jì)其它損耗,（

試求:⑴在此過程中，傳送帶對(duì)工件共做了多少功？⑵在皮帶傳送工件的過

程中共產(chǎn)生了多少內(nèi)能？

解:設(shè)物體達(dá)到2m/s速度時(shí)沿皮帶上移位移為

1?

pmgscos30°-mgssin30°=—mVQ

J=0.8m<---=4/（皮帶長）

解得sm300

表明物體先向上作勻加速運(yùn)動(dòng)后隨皮帶一起勻速運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)。

⑴皮帶在整個(gè)過程中對(duì)物體做功增大了物體的動(dòng)能和重力勢(shì)能

W&=；刑歹;+mS^=220(J)

Q=-—/wgcos30

⑵克服相對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中摩擦力做功產(chǎn)生內(nèi)能，則2

而物體加速運(yùn)動(dòng)過程中位移

習(xí)題六

1、如圖所示，把一個(gè)物體系在輕繩的…端，輕繩的另一端穿過木板

小孔，且受到豎直向下的拉力，當(dāng)拉力為F時(shí)，物體在水平光滑的

平板上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R；當(dāng)拉力增大到4F時(shí)，物體在光

滑水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R/2,當(dāng)拉力由F增至4F

的過程中拉力對(duì)物體所做的功為：（）

A、FR；B、FR/2；

C、2FR；D、FR/4；

2、輕桿長2L,圍繞一端0在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，開始靜止于水平位置，中間和另一端各固定

一個(gè)質(zhì)量為m的小球A和B,釋放后自由轉(zhuǎn)至豎直位置如圖所示，桿中張力對(duì)B球做的功為:

()

A、—2mgL/5；B^2mgL/5；

C、—mgL/5；D、mgL/5；

3、如圖所示，質(zhì)量為m的物體置于光滑的水平面上，用一根繩子一端固定在物體上，另一端

通過定滑輪，以恒定速率V。拉繩頭、物體由靜止開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)繩與水平方向夾角=45°時(shí)，繩

中張力對(duì)物體做的功為：()

2

A、mV074B、mV0

C、mV//2D、6\V02/4

4、兩塊靠得較近的平行絕緣板水平放置，相對(duì)面均為粗糙的,

XVXXM

它們之間有如圖所示方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,一個(gè)xT>X

高度略小于兩板間距，質(zhì)量為m,帶+q電量的物塊放在兩板之■

間，給物塊瞬間一沖量，使物塊獲得速度V向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩板XXXXN

足夠長，試分析物塊在運(yùn)動(dòng)過程中摩擦力做功情況并求出做功

的值。

第七講機(jī)械能及機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用

例1、如圖所示，一物體從斜面上A點(diǎn)開始沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，初動(dòng)能為40J,

經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)動(dòng)能減少了10J,機(jī)械能減少了30J,到達(dá)C點(diǎn)恰好停止。如

果從C點(diǎn)開始沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，恰好到A點(diǎn)停止，則在C點(diǎn)初動(dòng)能為多少

J?

解：由動(dòng)能定理分析A-B、B-C的過程

mgSin0SAB-口mgCos。5?=-10⑴

mgSin9SBC-UmgCos6SBC=-30(2)

由⑴、⑵得,SAB=3SBC

?.?從A-B機(jī)械能減少30J.?.從A-C機(jī)械能減少120J,

其中動(dòng)能減少40J,則重力勢(shì)能減少80J。

1_

從C-A,由能量關(guān)系可得mV>mgSAcSin9+Wr=80+120=200J

解答關(guān)鍵在于正確分清動(dòng)能變化和機(jī)械能變化的意義。

例2、一個(gè)光滑的圓柱體水平放置如圖，在圓柱體上用細(xì)繩掛著兩個(gè)小球A

和B(可視為質(zhì)點(diǎn))它們位于同一水平面上，使它們靜止，放開小球后B球開

始下落，當(dāng)被B球拉著的A球上升到圓柱體最高點(diǎn)C時(shí)-，A球剛好開始脫離

圓柱體的表面，試求兩小球質(zhì)量之比mA/mB=?

解:A、B球和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，以AB水平線為零重力勢(shì)能點(diǎn)，

D1TT?咒12Q

2R-rr0

褥AgR+m+VW=

A球在最高點(diǎn)恰好脫離圓柱體，有mAg=mAv7R

聯(lián)立解得：mA/mB=(n-1)/3

應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解題步驟:

⑴選取系統(tǒng)

⑵分析系統(tǒng)是否滿足機(jī)械能守恒定律的條件(分析外力，亦需分析內(nèi)力)

⑶合理選取零勢(shì)能點(diǎn)，確定初、末狀態(tài)的機(jī)械能，建立方程求解。

例3、質(zhì)量為m的鋼板與直立輕彈簧的上端連接，彈簧下端固定在水平地

面上，平衡時(shí)，彈簧的壓縮量X。，如圖所示。一物塊從鋼板正上方距離3

Xo的A處自由落下，打在鋼板上并立即與鋼板一起向下運(yùn)動(dòng)，但不粘連,

它們到達(dá)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng)，已知物塊質(zhì)量也為m時(shí)，它們恰能回到。

點(diǎn)，若物塊質(zhì)量為2m,仍從A處自由落下，則物塊與鋼板回到。點(diǎn)時(shí)還

具有向上的速度，求物塊向上運(yùn)動(dòng)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)與。點(diǎn)的距離？

12

mg-3XQ=—m7o

解:物塊m下落過程2⑴

m與鋼板m相碰過程叫=2叫⑵

剛碰完時(shí)彈簧彈性勢(shì)能設(shè)為日,一起回到。點(diǎn)時(shí)-，彈性勢(shì)能為零，由機(jī)械能守恒定律可得:

2

E+1(2^X=2wgy0

2(3)

設(shè)V?表示質(zhì)量為2m的物塊與鋼板碰撞后開始向下運(yùn)動(dòng)的速度，則由動(dòng)量守恒定律得:2mV0

=3mV,(4)

剛碰撞完時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為EJ,回到。點(diǎn)時(shí)向上運(yùn)動(dòng)速度為V,則

￡+-(3?=3mgX+-(3m)r2

?202(5)

彈簧的初始?jí)嚎s量都為X”有EP=EJ(6)

在。點(diǎn)時(shí)物塊與鋼板分離，物塊以速度V豎直上拋，上升距離L=V2/2g⑺

聯(lián)立解得：L=X,/2

例4.如圖所示，長為L的繩質(zhì)量分布均勻，跨過質(zhì)量、大小、摩擦均不計(jì)的定滑輪，左邊

是繩長的1/3,右邊是繩長的2/3,從靜止開始釋放，繩子剛脫離滑輪的速度大小為多少？

分析與解：滑輪左端L/3長的繩子搬移到滑輪右端繩子的最下端，該段繩子重心下降高度O

為△!!,則△hnZL/B

設(shè)繩子的總質(zhì)量為m,由機(jī)械能守恒定律得：(mg/3)*(2L/3)=mV2/2

解得:v=>

2L/3

2L/3

L/3

練習(xí)七

1、汽車拖著一拖車在水平直路上勻速行駛，拖車突然與汽車脫鉤，而汽車的牽引力不變，汽

車和拖車各自受到的阻力不變，在拖車停車前：()

A、它們的總動(dòng)能減少;

B、它們的總動(dòng)能不變;

C、它們的總動(dòng)量減少;

D、它們的總動(dòng)量不變;

2、如圖所示，長為2L的輕桿上端及其正中央固定兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球,

桿豎直立在光滑的水平面上，桿原來靜止，現(xiàn)讓其自由倒下，設(shè)桿在倒下

過程中桿端始終不離開地面，則A球著地時(shí)速度為：(