PAGEPAGE1北京市大興區(qū)2024屆高三上學期期末數(shù)學試題第一部分（選擇題）一?選擇題1.已知全集，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，，則.故選：C.2.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，則，所以復(fù)數(shù)的虛部是．故選：A．3.二項式的展開式中的常數(shù)項是（）A. B.15 C.20 D.〖答案〗B〖解析〗展開式通項為：，令，常數(shù)項為．故選：B.4.設(shè)向量，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，因為，所以，所以.故選：D.5.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，即，令，且均為增函數(shù)，則不等式為，在同一坐標系下作出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，又當時，當時，，所以由圖像可知：的解集為：，故選：B.6.在中，“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗在中，，則，充分性：當時，，，，所以“”是“”的充分條件;必要性：當時，取，，此時滿足，但，所以“”是“”的不必要條件.綜上所述，“”是“”充分不必要條件.故選：A.7.已知定點和拋物線是拋物線的焦點，是拋物線上的點，則的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗由題拋物線是拋物線的焦點，則，準線方程為，是拋物線上的點，過作垂直準線于，過作垂直準線于交拋物線于，則由拋物線定義知，由圖像可知,即的最小值的最小值為，由，準線方程為，所以.故選：C8.已知且，則下列結(jié)論中不正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對A：，故A正確；對B：由，則，故，故B正確；對C：由，故，當且僅當時等號成立，由，故等號不成立，即，故C正確；對D：當、時，符合題意，但此時，故D錯誤.故選：D.9.木楔在傳統(tǒng)木工中運用廣泛.如圖，某木楔可視為一個五面體，其中四邊形是邊長為2的正方形，且均為等邊三角形，，，則該木楔的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，分別過點A，B作的垂線，垂足分別為G，H，連接，則由題意等腰梯形全等于等腰梯形，則.取的中點O，連接，因為，所以，則，∴因為，，所以，因為四邊形為正方形，所以，又因為，平面，所以平面，所以平面，同理可證平面，∴多面體的體積，故選：D.10.設(shè)無窮等差數(shù)列的公差為，集合.則（）A.不可能有無數(shù)個元素B.當且僅當時，只有1個元素C.當只有2個元素時，這2個元素的乘積有可能為D.當時，最多有個元素，且這個元素的和為0〖答案〗D〖解析〗選項，取，則，由，因為是無窮等差數(shù)列，正弦函數(shù)是周期為的函數(shù)，所以在每個周期上的值不相同，故錯誤；選項，取，即，則，只有一個元素，故錯誤；選項，假設(shè)只有2個元素，，這2個元素的乘積為，如圖可知當?shù)扔诨驎r，顯然不是等差數(shù)列，與已知矛盾，故錯誤；選項，當時,，，，，，，，所以最多有個元素，又因為正弦函數(shù)的周期為，數(shù)列的公差為，所以把周期平均分成份，所以個元素的和為0，故正確.故選:.第二部分（非選擇題）二?填空題11.設(shè)是等比數(shù)列，，，則__________.〖答案〗16〖解析〗設(shè)，則，故.故〖答案〗為：16.12.若雙曲線的一條浙近線方程為，則__________.〖答案〗2〖解析〗雙曲線的漸近線方程為，所以故〖答案〗為：213.能夠說明“設(shè)是任意實數(shù).若，則”是假命題的一組整數(shù)的值依次為__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗當時，滿足，但是，.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）14.如圖是六角螺母的橫截面，其內(nèi)圈是半徑為1的圓，外框是以為中心，邊長為2的正六邊形，則到線段的距離為__________；若是圓上的動點，則的取值范圍是__________.〖答案〗1〖解析〗取中點為，由于正六邊形的邊長為2，所以,因此到線段的距離為,建立如圖所示的直角坐標系，則,，，由于,故，故〖答案〗為：1；15.設(shè)函數(shù)的定義域為，且滿足如下性質(zhì)：（i）若將的圖象向左平移2個單位，則所得的圖象關(guān)于軸對稱，（ii）若將圖象上的所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的，再向左平移個單位，則所得的圖象關(guān)于原點對稱.給出下列四個結(jié)論：①；②；③；④.其中所有正確結(jié)論的序號是__________.〖答案〗①③④〖解析〗由（i）可得，即有關(guān)于對稱；由（ii）可得，即，用代替，有，即關(guān)于對稱；由關(guān)于對稱，故，即①正確；由關(guān)于對稱的直線為，故關(guān)于對稱，則不一定等于，故②不正確；對，令，則有，對，令，則有，故，故③正確；對，即有，對，即有，即，即，則，即有，故周期為，則，對，令，則，即，故④正確.故〖答案〗為：①③④.三?解答題16.如圖.在三棱柱中，平面，，，、分別為、的中點.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面，所成角的正弦值.（1）證明：平面，平面，，又，且為中點，，又、平面，且，平面，又平面，平面平面；（2）解：取中點，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則有，由，，，則，，即、、、，則、、，令平面的法向量為，則有，可取，則，則，故直線與平面，所成角的正弦值.17.在中.（1）若，求的面積：（2）在下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在，求.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.（1）解：由題意可知，，所以，又因為，所以，所以，所以；（2）解：若選①，則有且，由，可得，所以，即，不滿足題意；若選②，則有且，由，可得，所以，即，，又因為，解得；若選③，則有且，由，可得，所以，所以，所以，因為，所以不可能為鈍角或直角，只能為銳角，所以，所以.綜上，選②或選③，.18.為了解客戶對A，B兩家快遞公司的配送時效和服務(wù)滿意度情況，現(xiàn)隨機獲得了某地區(qū)客戶對這兩家快遞公司評價的調(diào)查問卷，已知A，B兩家公司的調(diào)查問卷分別有120份和80份，全部數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：快遞公司A快遞公司B快遞公司項目份數(shù)評價分數(shù)配送時效服務(wù)滿意度配送時效服務(wù)滿意度292416124756404844402420假設(shè)客戶對A，B兩家快遞公司的評價相互獨立，用頻率估計概率.（1）從該地區(qū)選擇A快遞公司的客戶中隨機抽取1人，估計該客戶對A快遞公可配送時效的評價不低于75分的概率：（2）分別從該地區(qū)A和B快遞公司的樣本調(diào)查問卷中，各隨機抽取1份，記X為這2份問卷中的服務(wù)滿意度評價不低于75分的份數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望：（3）記評價分數(shù)為“優(yōu)秀”等級，為“良好”等級，為“一般”等級?已知小王比較看重配送時效的等級，根據(jù)該地區(qū)A，B兩家快遞公司配送時效的樣本評價分數(shù)的等級情況，你認為小王選擇A，B哪家快遞公司合適？說明理由，解：（1）調(diào)查問卷中共有120份，其中不低于75分的份數(shù)為，則，故可估計該客戶對A快遞公可配送時效的評價不低于75分的概率為；（2）A快遞公司的樣本調(diào)查問卷中抽取的1份服務(wù)滿意度評價不低于75分的概率為：，B快遞公司的樣本調(diào)查問卷中抽取的1份服務(wù)滿意度評價不低于75分的概率為：，X的可能取值為0，1，2，，，，故其分布列：X012P其期望；（3）A快遞公司的樣本調(diào)查問卷中“優(yōu)秀”等級占比為，“良好”等級占比為，“一般”等級占比為；B快遞公司的樣本調(diào)查問卷中“優(yōu)秀”等級占比為，“良好”等級占比為，“一般”等級占比為；其中A快遞公司的樣本調(diào)查問卷中“優(yōu)秀”或“良好”等級占比為，B快遞公司的樣本調(diào)查問卷中“優(yōu)秀”或“良好”等級占比為，我認為小王應(yīng)該選擇B快遞公司，因為B快遞公司中“優(yōu)秀”或“良好”等級占比比A公司大.19.已知橢圓的兩個頂點分別為，焦點在軸上，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為原點，過點的直線交橢圓于點，直線與直線相交于點，直線與軸相交于點.求證：與的面積之比為定值.（1）解：由題意得，，則，則，則橢圓的方程為.（2）證明：顯然當直線的斜率為0和不存在時，不合題意，則可設(shè)直線的方程為，，，則聯(lián)立橢圓方程有，化簡得，則，解得或，則，，，，，則，則直線的方程為，令，則，，則直線的方程為，令，則，則，，因為，則同號，則.20.已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線斜率為0，求的值；（2）當時，求的零點個數(shù)；（3）證明：是為單調(diào)函數(shù)的充分而不必要條件.（1）解：，則，即；（2）解：當時，，則，即，又，故為奇函數(shù)，，，令，即，解得，令，即或，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，則，又，故在上必有一零點，由為奇函數(shù)，則在上亦有一零點，故當時，的零點個數(shù)為3個；（3）證明：，，由，故，，即當時，，即，故，即此時在上單調(diào)遞減，故是為單調(diào)函數(shù)的充分條件；當時，，即，故，即此時在上單調(diào)遞增，故不是為單調(diào)函數(shù)的必要條件；綜上所述，是為單調(diào)函數(shù)的充分而不必要條件.21.若各項為正的無窮數(shù)列滿足：對于，，其中為非零常數(shù)，則稱數(shù)列為數(shù)列.記.（1）判斷無窮數(shù)列和是否是數(shù)列，并說明理由；（2）若是數(shù)列，證明：數(shù)列中存在小于1的項；（3）若是數(shù)列，證明：存在正整