兩個(gè)計(jì)數(shù)原理以及排列組合的知識(shí)點(diǎn)和題型高二上學(xué)期數(shù)學(xué)(人教B版選擇性必修第二冊(cè))contents目錄計(jì)數(shù)原理基本概念排列組合定義及公式常見題型解析典型例題分析易錯(cuò)點(diǎn)歸納與總結(jié)練習(xí)題與答案解析計(jì)數(shù)原理基本概念01定義完成一件事有$n$類不同的方法，在第$1$類方法中有$m_1$種不同的方法，在第$2$類方法中有$m_2$種不同的方法，...，在第$n$類方法中有$m_n$種不同的方法。那么完成這件事共有$N=m_1+m_2+...+m_n$種不同的方法。關(guān)鍵點(diǎn)分類時(shí)，各類辦法中的方法是相互獨(dú)立的，沒有交集。應(yīng)用場(chǎng)景解決涉及分類的問題，如分組問題、涂色問題等。分類加法計(jì)數(shù)原理關(guān)鍵點(diǎn)分步時(shí)，各步驟中的方法是相互依存的，必須依次進(jìn)行。定義完成一件事需要$n$個(gè)步驟，做第$1$步有$m_1$種不同的方法，做第$2$步有$m_2$種不同的方法，...，做第$n$步有$m_n$種不同的方法。那么完成這件事共有$N=m_1timesm_2times...timesm_n$種不同的方法。應(yīng)用場(chǎng)景解決涉及分步的問題，如排列問題、組合問題等。分步乘法計(jì)數(shù)原理關(guān)系分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理都是解決計(jì)數(shù)問題的基本原理，它們?cè)诓煌膱?chǎng)景下可以相互轉(zhuǎn)化。區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)“分類”，各類辦法中的方法是相互獨(dú)立的；而分步乘法計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)“分步”，各步驟中的方法是相互依存的。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)問題的具體條件選擇合適的計(jì)數(shù)原理。兩者關(guān)系與區(qū)別排列組合定義及公式02從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n，m和n都是自然數(shù),下同）個(gè)不同元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)不同元素的一個(gè)排列；所有從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)不同元素的排列數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)不同元素的排列數(shù)，用符號(hào)$A_n^m$表示。排列定義$A_n^m=n(n-1)(n-2)cdots(n-m+1)=frac{n!}{(n-m)!}$，其中n!表示n的階乘，即$n!=ntimes(n-1)times(n-2)timescdotstimes3times2times1$。排列公式排列定義及公式從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)不同元素的所有組合個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)不同元素的組合數(shù)，用符號(hào)$C_n^m$表示。$C_n^m=frac{A_n^m}{m!}=frac{n!}{m!(n-m)!}$，也可以簡(jiǎn)單理解為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)不同元素的所有排列數(shù)除以m的階乘，因?yàn)閙個(gè)元素的全排列數(shù)為m!。組合定義及公式組合公式組合定義排列與組合的區(qū)別排列與元素的順序有關(guān)，而組合與元素的順序無關(guān)。即排列是有序的，組合是無序的。排列與組合的聯(lián)系$C_n^m=frac{A_n^m}{m!}$，即組合數(shù)可以通過排列數(shù)除以m的階乘得到。這是因?yàn)閺膎個(gè)不同元素中取出m個(gè)不同元素的所有排列中，包含了m個(gè)元素的全排列，所以需要除以m的階乘以得到組合數(shù)。排列與組合關(guān)系常見題型解析03直接應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理求解的問題。題目類型解題思路示例首先判斷題目是屬于分類問題還是分步問題，然后應(yīng)用相應(yīng)的計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解。從5個(gè)不同的紅球和4個(gè)不同的白球中，任取3個(gè)球，求取出的3個(gè)球中恰有2個(gè)紅球的概率。030201直接應(yīng)用計(jì)數(shù)原理求解問題利用排列數(shù)公式$A_n^m$或組合數(shù)公式$C_n^m$求解的問題。題目類型首先判斷題目是屬于排列問題還是組合問題，然后應(yīng)用相應(yīng)的公式進(jìn)行求解。解題思路從10個(gè)不同的數(shù)字中任取4個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，求其中偶數(shù)有多少個(gè)。示例利用排列組合公式求解問題題目類型解題思路示例復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題求解將復(fù)雜問題通過轉(zhuǎn)化思想化為簡(jiǎn)單問題求解的題型。通過轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜問題化為簡(jiǎn)單問題，然后應(yīng)用計(jì)數(shù)原理或排列組合公式進(jìn)行求解。有10個(gè)表面涂滿紅漆的正方體，其棱長(zhǎng)分別為2，4，6，ldots，18，20．若把這些正方體全部鋸成棱長(zhǎng)為1的小正方體，則在這些小正方體中，共有一面至少被鋸掉漆的有多少個(gè)?典型例題分析04例題一：涉及分類加法計(jì)數(shù)原理問題某校高三年級(jí)要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽(每人被選中的機(jī)會(huì)均等)，則在男生甲被選中的情況下，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中的概率是_____.題目本題主要考查古典概型概率的計(jì)算，以及分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。首先根據(jù)題意，可假設(shè)男生甲已被選中，剩下的問題就是在6人中選2人。然后按照分類加法計(jì)數(shù)原理，分別計(jì)算男生乙和女生丙同時(shí)被選中、男生乙被選中而女生丙不被選中、女生丙被選中而男生乙不被選中三種情況下的概率，最后將這三種概率相加即可得到答案。分析題目有5本不同的書，分給4個(gè)同學(xué)，每人至少1本，則不同的分法種數(shù)為_____.分析本題主要考查分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。根據(jù)題意，可將問題分為兩個(gè)步驟：首先從5本書中選出2本作為一組，然后將這一組和剩下的3本書分給4個(gè)同學(xué)。按照分步乘法計(jì)數(shù)原理，第一步有C(5,2)種選法，第二步有A(4,4)種分法，因此總共有C(5,2)A(4,4)種不同的分法。例題二：涉及分步乘法計(jì)數(shù)原理問題VS用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有_____.分析本題主要考查排列組合的綜合應(yīng)用。根據(jù)題意，可分為兩類情況討論：第一類情況是以4為首位數(shù)字時(shí)，第二類情況是以2為首位數(shù)字時(shí)。對(duì)于第一類情況，由于4已經(jīng)是偶數(shù)且比40000大，因此只需考慮后四位數(shù)字的排列情況；對(duì)于第二類情況，由于2是偶數(shù)但比40000小，因此需要保證千位數(shù)字為1、3或4。按照分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，分別計(jì)算兩類情況下的偶數(shù)個(gè)數(shù)并相加即可得到答案。題目例題三：綜合應(yīng)用排列組合知識(shí)求解問題易錯(cuò)點(diǎn)歸納與總結(jié)05在解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，學(xué)生有時(shí)會(huì)忽視對(duì)問題進(jìn)行分類討論，導(dǎo)致計(jì)數(shù)結(jié)果不準(zhǔn)確。例如，在求解具有多種可能性的問題時(shí)，需要對(duì)每種可能性分別進(jìn)行計(jì)數(shù)，然后將結(jié)果相加。在解決一些復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題時(shí)，學(xué)生可能會(huì)忽視分步計(jì)數(shù)的原則，即“先選擇，后排列”。這會(huì)導(dǎo)致他們?cè)谟?jì)算過程中出錯(cuò)。例如，在求解排列組合問題時(shí)，學(xué)生需要先確定元素的選擇方式，然后再考慮元素的排列方式。忽視分類討論忽視分步計(jì)數(shù)忽視分類或分步導(dǎo)致錯(cuò)誤排列數(shù)公式$A_n^m=n(n-1)(n-2)cdots(n-m+1)$表示從$n$個(gè)元素中取出$m$個(gè)元素進(jìn)行排列的種數(shù)。學(xué)生有時(shí)會(huì)誤用該公式，例如將$A_n^m$與$C_n^m$混淆，或者在計(jì)算過程中出錯(cuò)。對(duì)排列數(shù)公式理解不透徹組合數(shù)公式$C_n^m=frac{n!}{m!(n-m)!}$表示從$n$個(gè)元素中取出$m$個(gè)元素進(jìn)行組合的種數(shù)。學(xué)生有時(shí)會(huì)誤用該公式，例如將$C_n^m$與$A_n^m$混淆，或者在計(jì)算過程中出錯(cuò)。對(duì)組合數(shù)公式理解不透徹對(duì)排列組合公式理解不透徹導(dǎo)致錯(cuò)誤混淆“有序”與“無序”在排列組合問題中，“有序”與“無序”是兩個(gè)重要的概念。有序指的是元素之間的順序有關(guān)系，而無序指的是元素之間的順序無關(guān)系。學(xué)生有時(shí)會(huì)混淆這兩個(gè)概念，導(dǎo)致在解決問題時(shí)出錯(cuò)?；煜芭帕小迸c“組合”排列與組合是計(jì)數(shù)原理中的兩個(gè)基本概念。排列指的是從$n$個(gè)元素中取出$m$個(gè)元素進(jìn)行排列的種數(shù)，而組合指的是從$n$個(gè)元素中取出$m$個(gè)元素進(jìn)行組合的種數(shù)。學(xué)生有時(shí)會(huì)混淆這兩個(gè)概念，導(dǎo)致在解決問題時(shí)出錯(cuò)?；煜煌拍顚?dǎo)致錯(cuò)誤練習(xí)題與答案解析061.某校高三年級(jí)要從5名男生和2名女生中任選3人代表學(xué)校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽(每人被選中的機(jī)會(huì)均等)，則在男生甲被選中的情況下，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中的概率是_______．2.將5本不同的書全發(fā)給4名同學(xué)，每名同學(xué)至少有一本書的概率是_______(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)．3.袋中有大小相同的4個(gè)紅球與2個(gè)白球，若從中有放回地依次取出一個(gè)球，則第6次取出紅球的概率為_______；取球4次，設(shè)ξ為取得白球的個(gè)數(shù)，則P(ξ=1)=_______．(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)練習(xí)題一：分類加法計(jì)數(shù)原理應(yīng)用

練習(xí)題二：分步乘法計(jì)數(shù)原理應(yīng)用1.7人站成一排，其中甲、乙兩人不能相鄰的排法種數(shù)為_______(用數(shù)字作答)．2.5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序排列，則不同的排列方法種數(shù)是_______(用數(shù)字作答)．3.用數(shù)字$0,1,2,3,4,5$組成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)．010204練習(xí)題二：分步乘法計(jì)數(shù)原理應(yīng)用(1)能組成多少個(gè)四位數(shù)？(2)能組成多少個(gè)四位偶數(shù)？(3)能組成多少個(gè)能被3整除的三位數(shù)？(4)能組成多少個(gè)比20134大的四位數(shù)？031.某校安排5名同學(xué)參加暑期夏令營(yíng)，共有3類志愿者崗位可供選擇，每個(gè)同學(xué)只能選一類，若每類崗位都有同學(xué)參加，則不同的安排方案共有_______種．(用數(shù)字作答)3.有5根木棍，其長(zhǎng)度分別為2,3,4,5,6，從這5根木棍中任取3根，首尾相接能構(gòu)成三角形的有()A.10個(gè)B.8個(gè)C.7個(gè)D.6個(gè)2.5本不同的書，全發(fā)給4名同學(xué)，每名同學(xué)至少有一本書的概率是_______．(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)練習(xí)題三：綜合應(yīng)用排列組合知識(shí)求解問題1.【分析】本題考查概率的求法，考查古典概型$、$排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．先求出基本事件總數(shù)$n=C_{7}^{3}=70$，在男生甲被選中的情況下，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)$m=C_{1}^{1}C_{6}^{2}-C_{4}^{2}=28$，由此能求出在男生甲被選中的情況下，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中的概率．答案解析【解答】解：某校高三年級(jí)要從$5$名男生和$2$名女生中任選$3$人代表學(xué)校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽(每人被選中的機(jī)會(huì)均等$)$，基本事件總數(shù)$n=C_{7}^{3}=70$，答案解析0102答案解析$therefore$在男生甲被選中的情況下，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中的概率是$p=frac{m}{n}=frac{28}{70}=frac{2}{5}$．在男生甲被選中的情況下，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)$m=C_{1}^{1}C_{6}^{2}-C_{4}^{2}=28$，01故答案為$frac{2}{5}$．022.【分析】03本題考查概率的求法，考查對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．答案解析先求出將$5$本不同的書全發(fā)給$4$名同學(xué)的基本事件總數(shù)$n=4^{5}$，再求出每名同學(xué)至少有一本書包含的基本事件個(gè)數(shù)$m=C{5}^{2}A{4}^{4}$，由此能求出將$5$本不同