專題09二次函數(shù)拋物線與三角形存在性問題（原卷版）類型一二次函數(shù)與等腰三角形1．（2022秋?和平區(qū)校級(jí)期中）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），拋物線的對(duì)稱軸x＝1與拋物線交于點(diǎn)D，與直線BC交于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)F是直線BC上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)F使四邊形ABFC的面積最大，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)和最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）平行于DE的一條動(dòng)直線l與直線BC相交于點(diǎn)P，與拋物線相交于點(diǎn)Q，若以D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．（4）探究對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，C，A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．2．（2019?黃岡）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿B→C→D運(yùn)動(dòng)（M不與點(diǎn)B、點(diǎn)D重合），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．（1）求經(jīng)過A、C、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P在（1）中的拋物線上，當(dāng)M為BC的中點(diǎn)時(shí)，若△PAM≌△PBM，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)M在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖②．過點(diǎn)M作MF⊥x軸，垂足為F，ME⊥AB，垂足為E．設(shè)矩形MEBF與△BCD重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；（4）點(diǎn)Q為x軸上一點(diǎn)，直線AQ與直線BC交于點(diǎn)H，與y軸交于點(diǎn)K．是否存在點(diǎn)Q，使得△HOK為等腰三角形？若存在，直接寫出符合條件的所有Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

類型二二次函數(shù)與直角三角形3．（2022?呼和浩特）如圖，拋物線y=?12x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B（4，0）和點(diǎn)C（0，2），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，連接AC、（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）如圖1，若點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，連接BD，在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得△BDE是以BD為斜邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）如圖2，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，分別交BC、x軸于點(diǎn)M、N，當(dāng)△PMC中有某個(gè)角的度數(shù)等于∠OBC度數(shù)的2倍時(shí)，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．4．（2019?廣西）如果拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上，拋物線C2的頂點(diǎn)也在拋物線C1上時(shí)，那么我們稱拋物線C1與C2“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線．如圖，已知拋物線C1：y1=14x2+x與C2：y2＝ax2+x+c是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，點(diǎn)A，B分別是拋物線C1，C2的頂點(diǎn)，拋物線C2經(jīng)過點(diǎn)（1）直接寫出A，B的坐標(biāo)和拋物線C2的解析式；（2）拋物線C2上是否存在點(diǎn)E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；

5．（2021?鄖西縣校級(jí)模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求直線BD的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，求四邊形BOCP面積的最大值，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)P，使△BDP是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．類型三二次函數(shù)與等腰直角三角形6．（2020?岳陽）如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線F1：y＝a（x?25）2+6415與x軸交于點(diǎn)A（?65，0）和點(diǎn)（1）求拋物線F1的表達(dá)式；（2）如圖2，將拋物線F1先向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到拋物線F2，若拋物線F1與拋物線F2相交于點(diǎn)D，連接BD，CD，BC．①求點(diǎn)D的坐標(biāo)；②判斷△BCD的形狀，并說明理由；（3）在（2）的條件下，拋物線F2上是否存在點(diǎn)P，使得△BDP為等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

7．（2022?黔東南州一模）拋物線y＝ax2+bx?32經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣1），現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC（∠ACB＝90°）按照如圖的方式放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A、C坐標(biāo)分別為（0，2）、（﹣1，0）．B點(diǎn)在拋物線y＝ax2+b