專題24正方形中的最值小題特訓(xùn)30道1．如圖，正方形的邊長為4，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】C【分析】由正方形的對(duì)稱性可知點(diǎn)B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接BM交AC于N′點(diǎn)，N′即為所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的長即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接BD，BM交AC于N′，連接DN′，N′即為所求的點(diǎn)，則BM的長即為DN+MN的最小值，∴AC是線段BD的垂直平分線，又CM＝CD﹣DM＝4﹣1＝3，在Rt△BCM中，BM＝，故DN+MN的最小值是5．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題及正方形的性質(zhì)，先作出M關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)M′，由軸對(duì)稱及正方形的性質(zhì)判斷出點(diǎn)M′在BC上是解答此題的關(guān)鍵．2．如圖，正方形的邊長為，是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與端點(diǎn)不重合），

于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，則長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，易證四邊形是矩形，可得；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，根據(jù)“垂線段最短”，可知點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小，則此時(shí)長度的值最小．因?yàn)樗倪呅问钦叫?，可以證明此時(shí)的△是等腰直角三角形，據(jù)此即可求得答案．【詳解】連接，∵四邊形ABCD是正方形，∴，又∵，，∴四邊形ANOM是矩形，∴，即AO取最小值時(shí)，MN最小，當(dāng)時(shí)，AO最短，∵，，∴是等腰直角三角形，∴;故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形以及矩形的性質(zhì)，垂線段最短，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．如圖，正方形ABCD，AB＝，E、F、G、H分別為DA、AB、BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且EG⊥FH，則四邊形EFGH的面積最小值是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】作EN⊥BC于點(diǎn)N，F(xiàn)M⊥CD于點(diǎn)M，通過證明△FMH≌△ENG得出EG＝FH，再由求解．【詳解】解：作EN⊥BC于點(diǎn)N，F(xiàn)M⊥CD于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD為正方形，∴EN＝FM＝AB＝BC＝，∵EG⊥FH，∠D＝90°，∴∠DEG+∠MHO＝180°，∵AD∥BC，∴∠DEG+∠EGN＝180°，∴∠MHO＝∠EGN，∴△FMH≌△ENG（AAS），∴EG＝FH，∵，AB≤EG，∴四邊形EFGH的面積最小值為AB2＝．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的面積計(jì)算．利用切割法求出是本題解題的關(guān)鍵．4．如圖，正方形的邊長為，是的中點(diǎn)，、是對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，，根據(jù)數(shù)量關(guān)系確定EF+BG的最小值為PD的長度，求出PD的值即可．【詳解】解：如圖，連接，，由題意得，為的中位線，∴且，∵正方形的邊長為，∴，∴，，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，根據(jù)正方形的對(duì)稱性可知，，∴，當(dāng)，，在同一條直線上時(shí)，取得最小值，即此時(shí)的最小值為線段的長度．在中，，，

∴,故的最小值為.故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)及最短路線問題，正確確定最短路線是解答此題的關(guān)鍵．5．如圖，為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)，連接MN，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可求出MN的長度，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求出CM的最小值．【詳解】解：因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接MN，CN，易得，所以.在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，的值不變，因?yàn)?，?dāng)，，三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，最小，此時(shí)．故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了三角形中位線的性質(zhì)和三角形三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是由題意作出輔助線．

6．如圖邊長為4的正方形中，為邊上一點(diǎn)，且，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則的最小值為（）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，可得，，利用易證，再根據(jù)四邊形是矩形，可得，,設(shè)，則，，，根據(jù)勾股定理可得，即當(dāng)時(shí)，有最小值．【詳解】解：如圖示：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∴，又∵∴∵，四邊形是正方形，∴，∴

∴，，∵，∴四邊形是矩形，∴，,設(shè)，則，，，在中，，即當(dāng)時(shí)，有最小值，∴當(dāng)時(shí)，最小值是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，最值等知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在正方形中，、分別為、上的點(diǎn)，且平分，，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，記的最小值為，若正方形邊長為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接EG，BP，由題意得當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G重合時(shí)，的值最小=BF，再證明，從而得是等腰直角三角形，設(shè)CF=BE=GE=x，則EC=，列方程求出x的值，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：連接EG，BP，∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，∴=，

∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G重合時(shí)，的值最小=BF，∵在正方形中，AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，又∵，∴，∴∠BAE=∠CBF，∴∠BAE+∠ABM=∠CBF+∠ABM=90°，即：∠AMB=∠AMG=90°，∵平分，∴∠BAM=∠GAM，又∵AM=AM，∴∴AB=AG，又∵AE=AE，∴∴∠AGE=∠ABE=90°，∴是等腰直角三角形，∴設(shè)CF=BE=GE=x，則EC=，∴x+=，解得：，∴BF=，

即：，∴=．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形來求解．8．如圖，E、F是正方形邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且，連接交于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)H．若正方形的邊長為2，則線段長度的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】延長AG交CD于M，如圖1，可證△ADG≌△DGC可得∠GCD=∠DAM，再證△ADM≌△DFC可得DF=DM=AE，可證△ABE≌△ADM，可得H是以AB為直徑的圓上一點(diǎn)，取AB中點(diǎn)O，連接OD，OH，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得不等式，可解得DH長度的最小值．【詳解】解：延長AG交CD于M，如圖1

∵ABCD是正方形∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG∴△ADG≌△DGC∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC∴△ADM≌△CDF∴FD=DM且AE=DF∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°∴△ABE≌△ADM∴∠DAM=∠ABE∵∠DAM+∠BAM=90°∴∠BAM+∠ABE=90°，即∠AHB=90°∴點(diǎn)H是以AB為直徑的圓上一點(diǎn)．如圖2，取AB中點(diǎn)O，連接OD，OH∵AB=AD=2，O是AB中點(diǎn)，∴AO=1=OH，在Rt△AOD中，OD=，∵DH≥OD-OH，∴DH≥，

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是證點(diǎn)H是以AB為直徑的圓上一點(diǎn)．9．如圖，正方形ABCD的邊長為1，將其繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，得到正方形CEFG，在旋轉(zhuǎn)過程中，則線段AE的最小值為（）A． B．-1 C．0．5 D．【答案】B【分析】分析題易可知點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以DC為半徑以C為圓心的圓，當(dāng)A，E，C三點(diǎn)共線且E在正方形ABCD內(nèi)部的時(shí)候AE值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D所示，連接AC∵正方形邊長為1∴AC=當(dāng)A，E，C三點(diǎn)共線且E在正方形ABCD內(nèi)部的時(shí)候AE值最小∴AE=AC-CE=-1故選：B10．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)M和N分別從B、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿BC、CD向終點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)，連接AM、BN，交于點(diǎn)P，連接PC，則PC長的最小值為（

）

A．2－2 B．2 C．3－1 D．2【答案】A【分析】先證明△ABM≌△BCN，得出∠BAM＝∠CBN，證出∠APB＝90°，得出點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)路徑一條弧BG，連接OC交圓O于P，此時(shí)PC最小，OP＝OB＝2，即可求解．【詳解】由題意得：BM＝CN，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN，∵∠ABP＋∠CBN＝90°，∴∠ABP＋∠BAM＝90°，∴∠APB＝90°，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為O，運(yùn)動(dòng)路徑一條弧BG，是這個(gè)圓的，連接OC交圓O于P，此時(shí)PC最小，∵AB＝4，∴OP＝OB＝2，由勾股定理得：OC＝＝2，∴PC＝OC?OP＝2?2；故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證出點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)是解題關(guān)鍵．11．如圖所示，四邊形OABC為正方形，邊長為6，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)D在OA上，且D的坐標(biāo)為(2，0)，P是OB上的動(dòng)點(diǎn)，試求PDPA和的最小值是（

）A．2 B． C．2 D．6【答案】A【分析】根據(jù)題意作出D關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D′，則D′的坐標(biāo)是（0，2）．則PD+PA的最小值就是AD′的長，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：作出D關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D′，則D′的坐標(biāo)是（0，2）．則PD+PA的最小值就是AD′的長．則OD′=2，因而AD′=．則PD+PA和的最小值是2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)以及最短路線問題，根據(jù)題意正確作出P的位置以及運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．12．如圖，已知正方形的邊長為，點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，滿足則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′、EA′，易得，當(dāng)D、E、A′在同一直線時(shí)，最小，利用勾股定理求解即可．【詳解】連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)及，可得△DCE≌△ADF，則有，，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′、EA′，則AE=A′E，即，當(dāng)D、E、A′在同一直線時(shí)，最小，AA′=2AB=4，此時(shí)，在Rt△ADA′中，DA′=，故的最小值為，故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)和最短距離問題，解題的關(guān)鍵是把兩條線段的和轉(zhuǎn)化在同一條線段上求解．13．如圖，E，F(xiàn)是正方形邊上的兩點(diǎn)，，以為邊向正方形內(nèi)作矩形，，若矩形在正方形內(nèi)可隨線段進(jìn)行自由滑動(dòng)，則正方形邊長的最小值為（

）A． B．4 C． D．

【答案】B【分析】連接HF，如圖，根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理可得HF的長，過點(diǎn)H作HM⊥AB于點(diǎn)M，則MB≤HF，于是可得MB的最大值，進(jìn)而可得正方形邊長的最小值．【詳解】解：連接HF，如圖，∵四邊形EFGH是矩形，∴∠HEF=90°，∴，過點(diǎn)H作HM⊥AB于點(diǎn)M，則MB≤HF，∴MB≤4，根據(jù)題意，AB≥MB，∴正方形邊長的最小值為4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，正確理解題意、熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．14．如圖，正方形邊長為，，分別為線段，上一點(diǎn)，且，，與相交于，為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)K，EI+IJ=KI+KJ，當(dāng)EJ⊥DF時(shí)有最小值，如下圖所示，延長KJ交DC于N點(diǎn)，過N作NM∥AD，得到△KMN≌△FCD，再由△DJ0N∽△DCF求出J0N，最后KN減去J0N即為所求.【詳解】解：如圖，作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)K，當(dāng)EJ⊥DF時(shí)EI+IJ有最小值為KJ0，此時(shí)設(shè)KN與

DF、CD的交點(diǎn)分別為J0和N點(diǎn)，過N點(diǎn)作MN∥AD交AB于點(diǎn)M.∵∠KND+∠FDC=90°，∠DFC+∠FDC=90°∴∠KND=∠DFC又∵AB∥CD∴∠MKN=∠KND=∠DFC在△MKN和△CFD中，∴△MKN≌△CFD(AAS)∴,又△DJ0N∽△DCF∴，代入數(shù)據(jù)：，得∴.故答案為：C.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、線段最值問題等，兩條折線段的最值問題一般通過平移、對(duì)稱等轉(zhuǎn)移到一條線段上去，然后再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短或點(diǎn)到直線的距離垂線段最短求解即可.15．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝CF，連接BF、DE，則BF＋DE的最小值為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】連接AE，利用△ABE≌△BCF轉(zhuǎn)化線段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，則通過作A點(diǎn)關(guān)于BC對(duì)稱點(diǎn)H，連接DH交BC于E點(diǎn)，利用勾股定理求出DH長即可．【詳解】解：解：連接AE，如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值．作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)H點(diǎn)，如圖2，連接BH，則A、B、H三點(diǎn)共線，連接DH，DH與BC的交點(diǎn)即為所求的E點(diǎn)．根據(jù)對(duì)稱性可知AE＝HE，所以AE＋DE＝DH．在Rt△ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80∴DH＝4∴BF＋DE最小值為4故選：

D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、最短距離問題，一般求兩條線段最短距離問題，都轉(zhuǎn)化為一條線段．16．如圖，已知正方形的邊長為，點(diǎn)是邊上-動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接BF，過點(diǎn)F作FG⊥AB交AB延長線于點(diǎn)G，通過證明△AED≌△GFE（AAS），確定F點(diǎn)在BF的射線上運(yùn)動(dòng)；作點(diǎn)C關(guān)于BF的對(duì)稱點(diǎn)C'，由三角形全等得到∠CBF=45°，從而確定C'點(diǎn)在AB的延長線上；當(dāng)D、F、C'三點(diǎn)共線時(shí)，DF+CF=DC'最小，在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，求出DC'=即可．【詳解】解：連接BF，過點(diǎn)F作FG⊥AB交AB延長線于點(diǎn)G，∵將ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF，∴EF⊥DE，且EF=DE，∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG=AE，∴F點(diǎn)在BF的射線上運(yùn)動(dòng)，

作點(diǎn)C關(guān)于BF的對(duì)稱點(diǎn)C'，∵EG=DA，F(xiàn)G=AE，∴AE=BG，∴BG=FG，∴∠FBG=45°，∴∠CBF=45°，∴C'點(diǎn)在AB的延長線上，當(dāng)D、F、C'三點(diǎn)共線時(shí)，DF+CF=DC'最小，在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，∴DC'=，∴DF+CF的最小值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱求最短路徑；能夠?qū)⒕€段的和通過軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化為共線線段是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段所在直線的解析式為，E是的中點(diǎn)、P是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與的交點(diǎn)，即符和條件的點(diǎn)，再求出，的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出的值，即為的最小值．【詳解】解：作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，

此時(shí)，的值最小，最小值為的長，∵線段所在直線的解析式為，∴當(dāng)x=0時(shí)，y=4；當(dāng)y=0時(shí)，x=4；∴，，∴，，是的中點(diǎn)，∴，∵是點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∴，，，∴四邊形是正方形，∴，∴的最小值是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)求點(diǎn)的坐標(biāo)和性質(zhì)，軸對(duì)稱最短路徑問題，勾股定理，掌握軸對(duì)稱最短路徑的確定方法是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6，線段PQ在斜邊AC上運(yùn)動(dòng)，且PQ=2．連接BP，BQ．則△BPQ周長的最小值是（

）

A． B． C．8 D．【答案】B【分析】如圖，過點(diǎn)D作DE∥AC，且點(diǎn)E在AD上方，DE=2，連接BE交AC于點(diǎn)P，取PQ=2，連接BE，DQ，BD．B，P，E三點(diǎn)共線，此時(shí)△BPQ的周長=BP+BQ+PQ=BE+2最小【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AD∥BC，過點(diǎn)C作CD∥AB，兩直線相交于點(diǎn)點(diǎn)D；過點(diǎn)D作DE∥AC，且點(diǎn)E在AD上方，DE=2，連接BE交AC于點(diǎn)P，取PQ=2，連接DQ，BD，∴四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)Q是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，AB=6，∴BQ=QD，BD⊥AC，BD=AC=6，∵DE∥PQ，DE=PQ，∵四邊形PQDE為平行四邊形，∴PE=DQ=BQ，∵B，P，E三點(diǎn)共線，

∴此時(shí)△BPQ的周長=BP+BQ+PQ=BE+2最?。連D⊥AC，∴BD⊥DE，即∠BDE=90°，∴BE==2，∴△BPQ周長的最小值為2+2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，熟練運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)和平行四邊形、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．如圖，已知正方形的邊長為，點(diǎn)為正方形的中心，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】連接OD，AC，取OD中點(diǎn)F，由∠OED=90°可證得點(diǎn)E在以O(shè)D中點(diǎn)F為圓心，DF為半徑的圓上，進(jìn)而可知當(dāng)點(diǎn)C、E、F三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，CE取最小值，由正方形的性質(zhì)可得OD=OC=2，進(jìn)而可得OF=1，最后用勾股定理即可求得CF的長，進(jìn)而可求得CE的最小值．【詳解】解：連接OD，AC，由題意可知，在正方形中，OD⊥AC，∵在△ODE中OD的長為定值，∠OED始終為90°，∴點(diǎn)E在以O(shè)D中點(diǎn)F為圓心，OD為直徑的圓上，連接EF，CE，當(dāng)點(diǎn)C、E、F三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，CE取最小值，∵正方形的邊長為，點(diǎn)O為正方形中心，

∴，∴，

∴在Rt△ABC中，，∴CE的最小值為故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，直徑的判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助圓解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．20．如圖，正方形的邊長為，點(diǎn)為對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，連接，則的最小值為（

）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，先證明，得到，，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形的平行四邊形，得到四邊形為平行四邊形，從而得到，確定當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，再利用勾股定理求出AG即可．【詳解】解析：如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接．∵，∴，∵∴．∴，

又∵，又∵，∴四邊形為平行四邊形，連接，交于點(diǎn)．當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)H重合，∵，CD=AD=，∵，即的最小值為，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是通過證明四邊形為平行四邊形，確定當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值．21．如圖，在邊長為8的正方形中，、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，為中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．10 B． C． D．【答案】B【分析】延長CD到C′，使C′D＝CD，CP＋PM＝C′P＋PM，當(dāng)C′，P，N三點(diǎn)共線時(shí)，C′P＋PM的值最小，根據(jù)題意，點(diǎn)M的軌跡是以B為圓心，3為半徑的圓弧上，圓外一點(diǎn)C′到圓上一點(diǎn)M

距離的最小值C′M＝C′B?3，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】延長CD到C′，使C′D＝CD，CP＋PM＝C′P＋PM，當(dāng)C′，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，C′P＋PM的值最小，根據(jù)題意，點(diǎn)M的軌跡是以B為圓心，3為半徑的圓弧上，圓外一點(diǎn)C′到圓上一點(diǎn)M距離的最小值C′M＝C′B?3，∵BC＝CD＝8，∴CC′＝16，∴C′B＝，∴CP＋PM的最小值是?3，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱?最短路線問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，正確的找到P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．22．如圖，正方形的面積是4，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】連接PD，根據(jù)△ADP≌△ABP，即可得出PD＝PB，進(jìn)而得到當(dāng)D，P，E

在同一直線上時(shí)，BP＋EP的最小值等于線段DE的長，再根據(jù)勾股定理求得DE的長，即可得出PE＋PB的最小值為．【詳解】解：如圖所示，連接，四邊形是正方形，，，又，，，，當(dāng)，，在同一直線上時(shí)，的最小值等于線段的長，正方形的面積是4，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，在中，，的最小值為，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱?最短路線問題和正方形的性質(zhì)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，確定點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．23．在邊長為1的正方形中，點(diǎn)分別在邊上，如果，，則四邊形周長的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意正方形ABCD，找出點(diǎn)E和F，然后分別找出點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)和點(diǎn)F關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交AD和CD分別交于點(diǎn)H和G，連接EF、EH和FG，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)和垂線段最短即可得出此時(shí)四邊形周長最小，且最長值為EF＋

，然后利用勾股定理求值即可．【詳解】解：畫出正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)E，此時(shí)，在BC上找到點(diǎn)F，使，然后分別找出點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)和點(diǎn)F關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交AD和CD分別交于點(diǎn)H和G，連接EF、EH和FG∴，，CF=根據(jù)勾股定理可得EF=根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)：EH=H，EA=A=，F(xiàn)G=G，F(xiàn)C=C=∴四邊形周長=EF＋FG＋GH＋EH=EF＋G＋GH＋H=EF＋，其中EF為定值，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得，此時(shí)四邊形周長最小，且最長值為EF＋在Rt△B中，=AB＋A=，=BC＋C=根據(jù)勾股定理可得∴EF＋=即四邊形周長的最小值為故選C．【點(diǎn)睛】此題考查的是正方形的性質(zhì)、對(duì)稱的性質(zhì)應(yīng)用和勾股定理，掌握正方形的性質(zhì)、垂線段最短，對(duì)稱的性質(zhì)和利用勾股定理解直角三角形是解決此題的關(guān)鍵．24．如圖，點(diǎn)E、F是邊長為4的正方形ABCD邊AD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AF＝DE，BE交CF于點(diǎn)P，在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的過程中，PA的最小值為（）

A．2 B．2 C．4﹣2 D．2﹣2【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，取BC的中點(diǎn)O，連接OP、OA，然后求出OP＝CB＝2，利用勾股定理列式求出OA，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、P、A三點(diǎn)共線時(shí)，AP的長度最?。驹斀狻拷猓涸谡叫蜛BCD中，∴AB＝BC，∠BAE＝∠ABC＝90°，在△ABE和△BCF中，∵，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠ABE＝∠BCF，∵∠ABE+∠CBP＝90°∴∠BCF+∠CBP＝90°∴∠BPC＝90°如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接OP、OA，則OP＝BC＝2，在Rt△AOB中，OA＝，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OP+AP≥OA，∴當(dāng)O、P、A三點(diǎn)共線時(shí)，AP的長度最小，AP的最小值＝OA﹣OP＝﹣2．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系.確定出AP最小值時(shí)點(diǎn)P

的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).25．如圖，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊上，且，P為對(duì)角線上一點(diǎn)，則下列線段的長等于的最小值的是A． B． C． D．【答案】A【分析】連接交于點(diǎn)P，得出PB=PD，可得出PD+PE=PB+PE，線段BE即為所求，結(jié)合已知條件可證，有BE=AF，從而得出答案．【詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)P，∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱，∴，∴的最小值即為的最小值，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為的長，此時(shí)點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)P.∵，∴，∵，，∴，∴，∴線段的長等于的最小值．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱求最短距離等，屬于中等難度題．失分的原因有2個(gè)：（1）不能靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)；（2）對(duì)利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最值掌握不到位．26．如圖，已知線段AB=12，點(diǎn)M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，且AM=BN=2，點(diǎn)P是線段MN

上的動(dòng)點(diǎn)，分別以線段AP、BP為邊在AB的同側(cè)作正方形APDC、正方形PBFE，點(diǎn)G、H分別是CD、EF的中點(diǎn)，點(diǎn)O是GH的中點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)從M點(diǎn)到N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，OM+OB的最小值是（

）A．10 B．12 C．2

D．12【答案】C【分析】作點(diǎn)M關(guān)于直線XY的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接BM′，與XY交于點(diǎn)O，由軸對(duì)稱性質(zhì)可知，此時(shí)OM+OB=BM′最小，根據(jù)勾股定理即可求出BM'的值．【詳解】解：作點(diǎn)M關(guān)于直線XY的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接BM′，與XY交于點(diǎn)O．O′O″⊥A于O″B．GL⊥AB于L，HT⊥AB于T．由軸對(duì)稱性質(zhì)可知，此時(shí)OM+OB=BM′最?。∣′O″=（GL+HT）=6），在Rt△BMM′中，MM′=2O′O″=2×6=12，BM=10，由勾股定理得：BM′==2，∴OM+OB的最小值為2，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．綜合運(yùn)用這些知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．27．如圖，正方形ABCD的邊長為3厘米，正方形AEFG的邊長為1厘米．如果正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，那么C，F(xiàn)兩點(diǎn)之間的距離的最大值為(

)

A．cm B．3cm C．cm D．4cm【答案】A【分析】當(dāng)C、F的距離最大時(shí)，C、A、F三點(diǎn)在同一條直線上，即CF的最大值為兩個(gè)正方形對(duì)角線的和，由此得解．【詳解】由圖知：當(dāng)F、A、C三點(diǎn)共線時(shí)，CF的值最大，且最大值為兩個(gè)正方形的對(duì)角線的和；那么CFmax＝故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，正確的判斷出CF最大時(shí)F點(diǎn)的位置是解答此題的關(guān)鍵．28．如圖，正方形ABCD與矩形EFGH在直線的同側(cè)，邊AD，EH在直線上，且AD=5cm,EH=4cm,EF=3cm.保持正方形ABCD不動(dòng)，將矩形EFGH沿直線左右移動(dòng)，連接BF、CG，則BF+CG的最小值為（

）A．4 B． C． D．5【答案】B【分析】作點(diǎn)C關(guān)于FG的對(duì)稱點(diǎn)P，連接GP，以FG，PG為鄰邊作平行四邊形PGFQ，則BF＋CG＝BF＋QF，當(dāng)B，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線時(shí)，BF＋CG的最小值為BQ的長，過點(diǎn)Q作QN⊥AB于N，依據(jù)勾股定理即可得到在Rt△BNQ中，BQ＝，即可得出BF＋CG的最小值為．【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于FG的對(duì)稱點(diǎn)P，連接GP，以FG，PG為鄰邊作平行四邊形PGFQ，則FQ＝PG＝CG，F(xiàn)G＝QP＝4，∴BF＋CG