第10講、指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)通關(guān)一、根式的概念和性質(zhì)n次方根概念一般地，如果，那么x叫作a的n次方根，其中.性質(zhì)①當(dāng)是奇數(shù)時(shí),正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).這時(shí),的次方根用符號(hào)表示.②當(dāng)是偶數(shù)時(shí),正數(shù)的次方根有兩個(gè),這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).這時(shí),正數(shù)的正的次方根用符號(hào)表示,負(fù)的次方根用符號(hào)表示.正的次方根與負(fù)的次方根可以合并寫(xiě)成.負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根.③0的任何次方根都為0，記作.根式概念式子叫作根式，這里n叫作根指數(shù)，a叫作被開(kāi)方數(shù).性質(zhì)①②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),.③當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),.通關(guān)二、指數(shù)函數(shù),且的圖像與性質(zhì)0＜a＜1a＞1圖像定義域R值域(0，＋∞)奇偶性非奇非偶函數(shù)對(duì)稱性函數(shù)y＝a－x與y＝ax的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1單調(diào)性在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)函數(shù)值的變化情況當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí),0<y<1底數(shù)對(duì)圖像的影響指數(shù)函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖像的相對(duì)位置與底數(shù)大小關(guān)系如圖所示,其中.①在軸右側(cè),圖像從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小;②在軸左側(cè),圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小.結(jié)論一、指數(shù)基本運(yùn)算當(dāng)時(shí),有:①;②;③;④;⑤;⑥.【例1】化簡(jiǎn)并求值.(1);(2)【解析】(1);(2).【變式】化簡(jiǎn)并求值.(1)若,求的值;(2)若,求的值;(3)設(shè),求的值.【解析】(1)時(shí),原式.先對(duì)所給條件等價(jià)變形:,.故.(3)因?yàn)?所以,所以.所以.結(jié)論二、指數(shù)比較大小1.對(duì)于底數(shù)相同,指數(shù)不同的兩個(gè)冪的大小比較,可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷;2.對(duì)于底數(shù)不同,指數(shù)相同的兩個(gè)冪的大小比較,可以利用指數(shù)函數(shù)圖像的變化規(guī)律來(lái)判斷;3.對(duì)于底數(shù)不同,且指數(shù)也不同的冪的大小比較,可先化為同底的兩個(gè)冪,或者通過(guò)中間值來(lái)比較.【例2】設(shè),則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.【答案】A【解析】對(duì)于函數(shù),在其定義域上是減函數(shù).因?yàn)?所以,即.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)和函數(shù)的圖像,可知,即.從而.故選A.【變式】若,則().A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?所以由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得.因?yàn)榈姆?hào)不確定,所以當(dāng)時(shí),可排除選項(xiàng);當(dāng)時(shí),可排除選項(xiàng);由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷正確.故選D.結(jié)論三、指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)指數(shù)函數(shù)的圖像恒過(guò)點(diǎn)，且函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第一、二象限.【例3】函數(shù)的圖像必過(guò)定點(diǎn)__________.【答案】【解析】,令,則.當(dāng)時(shí)，,所以必過(guò)點(diǎn).【變式】已數(shù)函數(shù)且的圖像恒過(guò)定點(diǎn),則__________.__________.【答案】2,0【解析】令,求得,圖像經(jīng)過(guò)定點(diǎn),即.結(jié)論四、底數(shù)對(duì)指數(shù)函數(shù)圖像的影響1．底數(shù)與1的大小關(guān)系決定了指數(shù)函數(shù)圖像的“升降”：當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖像“上升”；當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖像“下降”.2.底數(shù)的大小決定了圖像相對(duì)位置的高低:不論是還是,在第一象限內(nèi)，自上向下，圖像對(duì)應(yīng)的指數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變小.3.作直線所給指數(shù)函數(shù)圖像相交,交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為該指數(shù)函數(shù)的底數(shù),由此可判斷多個(gè)指數(shù)函數(shù)底數(shù)的大小關(guān)系.4.在第一象限的圖像,越大,圖像越靠近軸;越小,圖像越靠近軸.【例4】右圖是指數(shù)函數(shù)(1),(3),(4)的圖像,則與1的大小關(guān)系為（）.A. B. C. D.【答案】B.【解析】有圖像可知=3\*GB3③=4\*GB3④的底數(shù)必大于1，=1\*GB3①=2\*GB3②的底數(shù)必小于1，過(guò)點(diǎn)作直線,在第一象限內(nèi)分別與各曲線相交,由圖像可知,從而可得與1的大小關(guān)系為.【變式】已知函數(shù)的圖像不經(jīng)過(guò)第一象限,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）. A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù),所以若函數(shù)的圖像不經(jīng)過(guò)第一象限,則滿足,即.故選.結(jié)論五、指數(shù)數(shù)數(shù)單調(diào)若在上是增函數(shù);若在上是増函數(shù).要點(diǎn)詮釋：指數(shù)增減要看清,抓著底數(shù)不放松，反正底數(shù)大于零，不等于1已表明.底數(shù)若是大于1,圖像從下向上增；底數(shù)0到1之間，圖像從上往下減.無(wú)論函數(shù)增和減，圖像都過(guò)點(diǎn).【例5】函數(shù)且在上的最大值比最小值大，則的值是__________.【答案】或【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故在上的最大值為，最小值為,則,得.又，所以.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增,故在上的最大值為,最小值為,那么,得.又,所以.綜上，的值是或.【變式】函數(shù)在上的最大值與最小值的和為3,則等于（）. A. B.2 C.4 D.【答案】B【解析】解法一：當(dāng)時(shí),為單調(diào)遞增函數(shù),在上的最值分別為,