第47講空間角度關(guān)系通關(guān)一、異面直線所成的角如圖，已知兩異面直線經(jīng)過空間任一點(diǎn)，分別作直線a'//a，b'//b，相交直線a'，b'所成的銳角(或直角)叫作異面直線a與b所成的角(或夾角)．通關(guān)二、直線與平面成的角(1)直線和平面斜交時(shí)，線面所成的角是這條直線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角；(2)直線和平面垂直時(shí)，直線和平面所成的角的大小為；(3)直線和平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，直線和平面所成的角的大小為0°.通關(guān)三、二面角二面角；從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的空間圖形叫作二面角．二面角的平面角：如圖，在二面角的棱l上任取一點(diǎn)P，以點(diǎn)P為垂足，在半平面內(nèi)分別作垂直于棱l的射線PA和PB，則射線PA和PB構(gòu)成的∠APB叫作二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度．我們約定，二面角的取值范圍是．平面角是直角的二面角叫作直二面角．【結(jié)論第講】結(jié)論一、線線角1．過其中一條直線上的已知點(diǎn)(往往是特殊點(diǎn))作另一條直線的平行線，使異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角(空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題)．2．當(dāng)異面直線依附于某幾何體，且直接平移異面直線有困難時(shí)，可利用該幾何體的特殊點(diǎn)，將兩條異面直線分別平移相交于該點(diǎn)．3．通過構(gòu)造輔助平面、輔助幾何體來平移直線．但應(yīng)注意，若求得的角為鈍角，則兩異面直線所成的角應(yīng)為其補(bǔ)角．【例1】如圖，在正方體(1)求AC與所成的角(2)M，N分別是的中點(diǎn)，求異面直線AM和CN所成角的余弦值．【解析】(1)連結(jié)所以所成銳角或直角就是異面直線AC與所成的角．連結(jié)知是等邊三角形，得，故異面直線AC與BC，成60°角．在平面內(nèi)作EN//AM交AB于E，則EN與CN所成的銳角或直角即為AM與CN所成的角，E為AB的四等分點(diǎn)(分析：由于M為的中點(diǎn)，因此若取AB中點(diǎn)為，有因此，又N是的中點(diǎn)，所以E為BF中點(diǎn)，為AB的四等分點(diǎn))．設(shè)正方體的棱長為a，在△CNE中，由余弦定理得即異面直線AM和所成角的余弦值為【變式】如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)D，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，若求AD與成角的余弦值．【解析】解法一(構(gòu)造輔助平面)連結(jié)DF，由題意知，取AB的中點(diǎn)N，連結(jié)則FN平行且等于AD，所以FN與所成的銳角或直角就是異面直線AD與CF所成的角．設(shè)，在△CFN中，由余弦定理得即AD與CF所成角的余弦值為解法二(將線段平移到幾何體之外)過C作CM//AD交的延長線于M，則四邊形ACMD為平行四邊形，所以CM與CF所成的銳角或直角為異面直線AD與CF所成角．設(shè)則中，由余弦定理得：．即AD與CF所成角的余弦值為結(jié)論二、線面角1．作：即在斜線上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)向平面引垂線，在這一步上確定垂足的位置是關(guān)鍵；2．證：即證明所找到的角為直線與平面所成的角，其證明的主要依據(jù)是直線與平面所成角的概念；3．求：一般來說是借助解三角形的知識(shí)求角．【例2】如圖，在棱長為1的正方體（1）求與平面所成的角（2）求與平面所成的角的余弦值【解析】(1)連結(jié)BD與AC交于O，因?yàn)榈酌鍭BCD且底面為正方形，所以，又，所以BD⊥平面所以斜線在平面內(nèi)的射影，所以為與平面所成的角．在所以（2）解法一是正三角形，且，所以棱錐是正三棱維，則在底面的射影為底面的中.過作面垂足為H，連結(jié)是與平面成的角．因?yàn)椋?，故解法二連結(jié)與交于點(diǎn)E．因?yàn)榍宜訠C1⊥面又BCC面所以面且面，所以過作，交A1E于點(diǎn)H，則由面面垂直性質(zhì)定理可知面所以是與平面所成的角．因?yàn)?，所以得，故．【變式】如圖，正方體的棱長為1，.（1）求AO與所成角；（2）求AO與平面ABCD所成角的正切值．【解析】（1）因?yàn)樗訟O與所成角就是∠OAC．因?yàn)锳B⊥平面從而有OC⊥AB，又因?yàn)镺C⊥OB，所以O(shè)C⊥面AOB，所以O(shè)C⊥OA．在Rt△AOC中，OC所以∠OAC＝30°（2）作OE⊥BC，平面平面ABCD，所OE⊥平面ABCD，∠OAE為OA與平面ABCD所成角．在Rt△OAE中，，，所以．結(jié)論三、二面角1．垂面法：由二面角的平面角的定義知，只需作與棱垂直的平面，則該平面與兩個(gè)半平面的交線構(gòu)成的角即二面角的平面角．2．平移法：先分別在兩個(gè)半平面內(nèi)找一條垂直于棱的射線，然后平移到一起，兩射線的夾角即二面角的平面角．【例3】如圖，正方體的棱長為是AB的中點(diǎn)．（1）求二面角的大??；（2）求二面角的大?。窘馕觥浚?）因?yàn)锽C⊥面，所以，所以即為二面角的平面角，所以此二面角的大小為45°．（2）過點(diǎn)P作交于F．因?yàn)锽C⊥面且PFC面所以PF⊥BC，又所以PF⊥面過點(diǎn)F作，于E，連結(jié)PE，則∠PEF為二面角的平面角．因?yàn)檎襟w的棱長為1，所以BP=因?yàn)樗栽诘妊?，由可得所以在中?因?yàn)椤螰BP=45°，所以在等腰Rt△BPF中所以在Rt△PFE中，所以二面角B的大小為30°【變式】長方體，，與平面ABCD成30°角，與平面成45°角，求二面角的正弦值或余弦值的大小【解析】解法一作BF⊥AC與AC交于點(diǎn)因?yàn)椤偷酌鍭BCD，且BF?底面ABCD，所以，又，且所以BF⊥面作交于E，連結(jié)EF，則∠FEB為二面角的平面角，且．因?yàn)榕c平面ABCD成30°角，則與平面成45°角，則．又因?yàn)?，所以．．在Rt△ABC