微積分-函數(shù)的極限2024-01-25引言函數(shù)極限的定義函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的運算法則函數(shù)極限存在準則與兩個重要極限無窮小量與無窮大量目錄CONTENTS01引言

微積分的重要性微積分是數(shù)學的一個重要分支，它研究的是變化率和累積量，是描述和研究自然現(xiàn)象、社會現(xiàn)象和工程技術(shù)問題的重要工具。微積分在物理學、化學、生物學、經(jīng)濟學、工程學等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，是解決實際問題的重要數(shù)學工具。微積分的發(fā)展推動了現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展，是現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)之一。03函數(shù)極限的性質(zhì)包括唯一性、局部有界性、保號性、夾逼性等，這些性質(zhì)在求解函數(shù)極限時非常重要。01函數(shù)極限是微積分的基本概念之一，它描述的是函數(shù)在某一點或無窮遠處的變化趨勢。02函數(shù)極限的定義包括數(shù)列極限和函數(shù)極限兩種，其中數(shù)列極限是函數(shù)極限的基礎(chǔ)。函數(shù)極限的概念學習目的與要求學習目的通過本課程的學習，使學生掌握函數(shù)極限的基本概念、性質(zhì)、計算方法和應(yīng)用，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)和解決問題的能力。學習要求學生應(yīng)熟練掌握函數(shù)極限的定義、性質(zhì)和計算方法，能夠運用所學知識解決實際問題。同時，學生還應(yīng)具備獨立思考、分析問題和解決問題的能力。02函數(shù)極限的定義123當x趨向于正無窮或負無窮時，如果函數(shù)f(x)趨近于一個確定的常數(shù)L，則稱L為函數(shù)f(x)當x趨向于無窮大時的極限。無窮大極限的定義唯一性、局部有界性、保號性。無窮大極限的性質(zhì)利用極限的四則運算法則、等價無窮小替換、洛必達法則等。無窮大極限的求法x趨于無窮大時函數(shù)的極限當x趨近于某個有限值a時，如果函數(shù)f(x)趨近于一個確定的常數(shù)L，則稱L為函數(shù)f(x)當x趨近于a時的極限。有限值極限的定義唯一性、局部有界性、保號性、夾逼性。有限值極限的性質(zhì)利用極限的四則運算法則、消去法、有理化法、洛必達法則等。有限值極限的求法x趨于有限值時函數(shù)的極限左極限與右極限的定義當x從左側(cè)（或右側(cè)）趨近于某個點a時，函數(shù)f(x)所趨近的值稱為函數(shù)在點a的左（或右）極限。左極限與右極限的性質(zhì)左極限和右極限不一定相等，但它們都與函數(shù)在該點的極限有關(guān)。左極限與右極限的求法分別考慮x從左側(cè)和右側(cè)趨近于a時，函數(shù)f(x)的變化趨勢，利用極限的運算法則和性質(zhì)進行求解。左極限與右極限03020103函數(shù)極限的性質(zhì)唯一性如果函數(shù)在某點的極限存在，那么該極限是唯一的。換句話說，如果函數(shù)從左側(cè)和右側(cè)趨近于某點時，其極限值相同，則該點處的極限存在且唯一。VS如果函數(shù)在某點的極限存在，那么在該點的某個鄰域內(nèi)，函數(shù)一定是有界的。也就是說，存在某個正數(shù)M，使得在該鄰域內(nèi)的函數(shù)值都小于或等于M。局部有界性如果函數(shù)在某點的極限存在且大于0（或小于0），那么在該點的某個鄰域內(nèi)，函數(shù)的值也一定大于0（或小于0）。換句話說，如果函數(shù)在某點的極限具有某種符號（正或負），則在該點附近的函數(shù)值也具有相同的符號。保號性04函數(shù)極限的運算法則加法運算法則若函數(shù)$f(x)$和$g(x)$在$xtoa$時的極限存在，分別為$A$和$B$，則$lim_{{xtoa}}[f(x)+g(x)]=A+B$。乘法運算法則若函數(shù)$f(x)$和$g(x)$在$xtoa$時的極限存在，分別為$A$和$B$，則$lim_{{xtoa}}[f(x)timesg(x)]=AtimesB$。減法運算法則若函數(shù)$f(x)$和$g(x)$在$xtoa$時的極限存在，分別為$A$和$B$，則$lim_{{xtoa}}[f(x)-g(x)]=A-B$。除法運算法則若函數(shù)$f(x)$和$g(x)$在$xtoa$時的極限存在，且$lim_{{xtoa}}g(x)=Bneq0$，則$lim_{{xtoa}}frac{f(x)}{g(x)}=frac{A}{B}$。極限的四則運算法則復(fù)合函數(shù)的極限定理若函數(shù)$y=f[g(x)]$在點$a$的某去心鄰域內(nèi)有定義，且$lim_{{xtoa}}g(x)=u_0$，$lim_{{utou_0}}f(u)=A$存在，且$lim_{{utou_0}}g(u)=u_0$，則復(fù)合函數(shù)$lim_{{xtoa}}f[g(x)]$的極限存在，且等于$A$。復(fù)合函數(shù)的極限求法首先求出內(nèi)層函數(shù)在給定點的極限值，然后將這個極限值代入外層函數(shù)中，求出外層函數(shù)在該點的極限值。如果這兩個極限都存在，那么復(fù)合函數(shù)的極限也存在，且等于這兩個極限的乘積。注意事項在求復(fù)合函數(shù)的極限時，需要注意內(nèi)層函數(shù)在給定點的極限值是否在外層函數(shù)的定義域內(nèi)。如果不在定義域內(nèi)，則需要通過其他方法（如換元法、洛必達法則等）來求解。復(fù)合函數(shù)的極限運算法則05函數(shù)極限存在準則與兩個重要極限如果三個函數(shù)$f(x),g(x),h(x)$滿足$f(x)leqg(x)leqh(x)$，且$lim_{xtoa}f(x)=lim_{xtoa}h(x)=L$，則$lim_{xtoa}g(x)=L$。夾逼準則的定義夾逼準則常用于求解一些復(fù)雜函數(shù)的極限，特別是當這些函數(shù)難以直接求解時。通過找到兩個易于求解的函數(shù)來夾逼目標函數(shù)，可以間接地求出目標函數(shù)的極限。夾逼準則的應(yīng)用夾逼準則如果函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上單調(diào)增加（或減少），且$f(x)$在$I$上有上界（或下界），則$lim_{xtoa}f(x)$存在，其中$a$是區(qū)間$I$的端點或$I$內(nèi)的聚點。單調(diào)有界準則常用于判斷數(shù)列或函數(shù)的收斂性。如果一個數(shù)列或函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)增加且有上界，或者單調(diào)減少且有下界，則該數(shù)列或函數(shù)收斂。單調(diào)有界準則的定義單調(diào)有界準則的應(yīng)用單調(diào)有界準則兩個重要極限$lim_{xto0}frac{sinx}{x}=1$。這個極限在三角函數(shù)和微積分中都有廣泛應(yīng)用，特別是在求解涉及三角函數(shù)的極限時。第一個重要極限$lim_{xtoinfty}(1+frac{1}{x})^x=e$。這個極限與自然對數(shù)的底數(shù)$e$密切相關(guān)，是微積分和數(shù)學分析中的重要概念之一。它在求解涉及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的極限時非常有用。第二個重要極限06無窮小量與無窮大量性質(zhì)無窮小量不是一個具體的數(shù)，而是一個變量，其絕對值無限趨近于0。無窮小量與有界量的乘積仍然是無窮小量。不同無窮小量之間可以相互比較，確定它們趨于0的速度。定義：如果函數(shù)$f(x)$在自變量的某個變化過程中，其絕對值無限趨近于0，則稱$f(x)$為這一變化過程中的無窮小量。無窮小量的定義與性質(zhì)高階無窮小低階無窮小同階無窮小等價無窮小無窮小量的比較如果$limfrac{beta}{alpha}=0$，則稱$beta$是$alpha$的高階無窮小。如果$limfrac{beta}{alpha}=cneq0$，則稱$beta$與$alpha$是同階無窮小。如果$limfrac{beta}{alpha}=infty$，則稱$beta$是$alpha$的低階無窮小。如果$limfrac{beta}{alpha}=1$，則稱$beta$與$alpha$是等價無窮小。無窮大量與無窮小量的乘積可能是有界量、