專題1.18直角坐標系背景下的特殊平行四邊形（基礎篇）（專項練習）一、單選題【知識點一】直角坐標系背景下的菱形1．如圖，平行四邊形ABCD的頂點A，B，C的坐標分別是（0，2），（-1，-1）（2，-1），則頂點D的坐標是（

）A．(-3，2) B．(3，-2) C．(3，2) D．(2，2)2．如圖，菱形ABCD的頂點A，B，C的坐標分別是，，，則頂點D的坐標是（

）A． B． C． D．3．如圖，四邊形ABCD為菱形，A，B兩點的坐標分別是，，對角線相交于點O，則點C的坐標為（

）A． B． C． D．4．如圖，菱形的邊長為2，，則點D的坐標為（

）A． B． C． D．【知識點二】直角坐標系背景下的矩形5．如圖，矩形的頂點，，，將矩形以原點為旋轉中心，順時針旋轉75°之后點的坐標為（

）A． B． C． D．6．如圖，把矩形OABC放入平面直角坐標系中，點B的坐標為（10，8），點D是OC上一點，將△BCD沿BD折疊，點C恰好落在OA上的點E處，則點D的坐標是（）A．（0，4）B．（0，5）C．（0，3） D．（0，2）【知識點三】直角坐標系背景下的正方形7．如圖，在矩形COED中，點D的坐標是，則CE的長是（

）A．3 B． C． D．48．如圖，在平面直角坐標系中，A，B兩點的坐標分別是，，點C為線段的中點，則的長等于（

）A． B． C．5 D．109．如圖，在平面直角坐標系中，將正方形OABC繞點O順時針旋轉45°后得到正方形，依此方式，繞點O連續(xù)旋轉2022次得到正方形，如果點C的坐標為，那么點的坐標為（

）A． B． C． D．10．如圖1，正方形ABCD中，動點P從點B出發(fā)，在正方形的邊上沿B→C→D的方向勻速運動到點D停止，設點P的運動路程為x，，圖2是點P運動時y隨x變化的關系圖像，根據圖中的數據，（

）A． B．4 C． D．11．如圖，，，以為邊作正方形，則點的坐標為（

）A． B． C． D．12．如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標系中，O是原點，點A的坐標為（1，），則點C的坐標為（）A．（﹣1，﹣） B．（，﹣1） C．（﹣1，） D．（﹣，1）二、填空題【知識點一】直角坐標系背景下的菱形13．菱形ABCD在直角坐標系中的位置如圖所示，其中點A的坐標為(1，0)，點B的坐標為(0，)，動點P從點A出發(fā)，沿A→B→C→D→A→B→??????的路徑，在菱形的邊上以每秒1個單位長度的速度移動，移動到第2021s時，點P的坐標為______．14．如圖，已知點的坐標是，，點的坐標是，，菱形的對角線交于坐標原點，則點的坐標是______．15．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是菱形，AO＝3，原點O是AD的中點，則點C的坐標是___．16．如圖，在菱形ABCD中，AB∥y軸，且B（-3，1），C（1，4），則點A的坐標為________．【知識點二】直角坐標系背景下的矩形17．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點A，C的坐標分別為，，將矩形繞點B順時針旋轉，點A，C，O的對應點分別為．當點落在x軸的正半軸上時，點的坐標為________．18．如圖，在平面直角坐標系中，點O為原點，點C在x軸正半軸上，以為邊在x軸上方作矩形，若點B坐標為，平面內有一條直線恰好將矩形分成面積相等的兩部分，則k的值為______．19．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的點A和點C分別落在x軸和y軸上，AO＝4，CO＝2，直線y＝3x+1以每秒2個單位長度向下移動，經過___秒該直線可將矩形OABC的面積平分．20．如圖，長方形ABCO的邊AO，CO正好落在坐標軸上，且AB=4，OA=2，點D是線段OC上一點，點E為線段AB上一點，沿DE折疊，使點B與點O重合，點C落到C＇處，則此時點D的坐標為___．【知識點三】直角坐標系背景下的正方形21．如圖，正方形ABCD的頂點B、C都在直角坐標系的x軸上，點D的坐標是（2，3），則點B的坐標是_________．22．如圖，在平面直角坐標系中，第1次將邊長為1的正方形OABC繞點O逆時針旋轉45°后，得到正方形OA1B1C1；第2次將正方形OA1B1C1繞點O逆時針旋轉45°后，得到正方形OA2B2C2…按此規(guī)律，繞點O旋轉得到正方形OA2020B2020C2020，則點B2021的坐標為______．23．如圖，四邊形AOBC是正方形，曲線CP1P2P3???叫做“正方形的漸開線”，其中弧CP1，弧P1P2，弧P2P3，弧P3P4的圓心依次按點A，O，B，C循環(huán)，點A的坐標為（2，0），按此規(guī)律進行下去，則點P2021的坐標為_____．24．在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，且，，若、為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為點、的“相關矩形”．圖為點、的“相關矩形”的示意圖．現(xiàn)在已知點的坐標為，若點在直線上，若點，的“相關矩形”為正方形，則直線的表達式為___________．三、解答題25．綜合與實踐：如圖，在平面直角坐標系中，A，B兩點的坐標分別為，點，且a，b滿足：，點C與點B關于y軸對稱，點P，點E分別是x軸，直線上的兩個動點．(1)求點C的坐標；(2)連接．如圖，當點P在線段（不包括B，O兩個端點）上運動，若為以點E為直角的直角三角形，F(xiàn)為的中點，連接，試判斷與的關系，并說明理由．26．如圖，在平面直角坐標系中，網格中每一個小正方形的邊長為1個單位長度．(1)線段BC的長為_________；(2)請在所給的網格內畫出以線段AB、BC為邊的菱形ABCD．并寫出點D的坐標_________．27．如圖①所示，以正方形的點O為坐標原點建立平面直角坐標系，其中線段在y軸上，線段在x軸上，其中正方形的周長為16．(1)直接寫出B、C兩點坐標；(2)如圖②，連接，若點P在y軸上，且，求P點坐標．(3)如圖③，若OB//DE，點P從點O出發(fā)，沿x軸正方向運動，連接．則，，三個角之間具有怎樣的數量關系（不考慮點P與點O，D，C重合的情況）？并說明理由．參考答案1．C【分析】由B，C的坐標求解線段BC的長度，再利用平行四邊形的性質可得答案．解：的頂點A，B，C的坐標分別是，，，，∵軸，，軸，，故C正確．故選：C．【點撥】本題主要考查的是坐標與圖形，平行四邊形的性質，掌握“平行四邊形的性質”是解本題的關鍵．2．D【分析】根據菱形的性質以及中點坐標公式即可求解．解：設D點的坐標為(a,b)，菱形的對角線的交點也是兩條對角線的中點，∴AC的中點與BD的中點坐標相同，∴根據中點坐標公式有：，則a=2，b=3，即D點坐標為：(2,3)，故選：D．【點撥】本題考查了菱形的性質和中點坐標公式，掌握并運用中點坐標公式是解答本題的關鍵．3．B【分析】根據菱形的對稱性和坐標的對稱變換求值即可；解：∵菱形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，∴A、C兩點關于原點中心對稱；∴C點坐標為：（，-2），故選：B．【點撥】本題考查了菱形的性質；中心對稱圖形的特征；坐標的對稱特征：關于原點對稱時橫坐標、縱坐標都互為相反數；掌握菱形的性質是解題關鍵．4．A【分析】根據坐標意義，點D坐標與垂線段有關，過點D向x軸垂線段DE，則OE、DE長即為點D坐標．解：過點D作DE⊥x軸，垂足為E．∵四邊形ABCD是菱形，且邊長為2，∠ABC=45°，∴AB=BC=CD=2，∠ABC=∠DCE=45°，在Rt△CDE中，CD=2，∠DCE=45°，∵CE2+DE2=CD2，∴CE=DE=，∴OE=OC+CE=2+，∴點D坐標為（2+，）．故選：A．【點撥】本題主要考查菱形的性質、坐標意義及坐標與垂線段關系，關鍵是根據等腰直角三角形的性質解答．5．D【分析】過點B作BG⊥x軸于G，過點C作CH⊥y軸于H，根據矩形的性質得到點C的坐標，求出∠COE=45°，OC=4，過點C作CE⊥x軸于E，過點C1作C1F⊥x軸于F，由旋轉得∠COC1=75°，求出∠C1OF=30°，利用勾股定理求出OF，即可得到答案．解：過點B作BG⊥x軸于G，過點C作CH⊥y軸于H，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，ADBC，∠CDA=∠DAB=90°，∴∠HCD=∠ADO=∠BAG，∵∠CHD=∠BGA=90°，∴△CHD≌△AGB（AAS），∵，，，∴CH=AG=5-1=4，DH=BG=2，∴OH=2+2=4，∴C（4，4），∴OE=CE=4，∴∠COE=45°，OC=4，如圖，過點C作CE⊥x軸于E，過點C1作C1F⊥x軸于F，由旋轉得∠COC1=75°，∴∠C1OF=30°，∴C1F=OC1=OC=2，∴OF=，∴點C1的坐標為，故選：D．【點撥】此題考查了矩形的性質，旋轉的性質，勾股定理，直角三角形30度角的性質，熟記各知識點并綜合應用是解題的關鍵．6．C【分析】由題意可得AO=BC=10，AB=OC=8，DE=CD，BE=BC=10，在中，由勾股定理可求得，OE=4，設OD=x，則DE=CD=8-x，然后在中，由勾股定理即可求得OD=3，繼而求得點D的坐標.解：∵點B的坐標為（10，8），∴AO=BC=10，AB=OC=8，由折疊的性質，可得：DE=CD，BE=BC=10，在中，由勾股定理得：，∴OE=AO-AE=10-6=4，設OD=x，則DE=CD=8-x，在中，由勾股定理得：，即：，解得：，∴OD=3，∴點D的坐標是（0，3）.故選：C.【點撥】本題主要考查了矩形的性質、折疊的性質、勾股定理，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵.7．C【分析】根據勾股定理求得，然后根據矩形的性質得出．解：∵四邊形COED是矩形，∴CE=OD，∵點D的坐標是（1，3），∴，∴，故選C．【點撥】本題考查了矩形的性質以及勾股定理的應用，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵．8．C【分析】根據勾股定理求出斜邊AB的長度，再由直角三角形斜邊中線定理，即可得出答案．解：∵A，B兩點的坐標分別是（8，0），（0，6），∴OA=8，OB=6，∴AB==10，∵點C為AB的中點，∴OC=AB=×10=5，故選：C．【點撥】本題主要考查坐標與圖形的性質，勾股定理，直角三角形斜邊中線定理，掌握直角三角形斜邊中線定理是解題的關鍵．9．B【分析】由正方形的性質和旋轉的性質探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．解：如圖∵四邊形OA1BC1是正方形，，將正方形OABC繞點O順時針旋轉45°后得到正方形，∵每次旋轉45°360°÷45°=8，8次一循環(huán)∵2022÷8=252???6點的坐標與點B5重合即B2022與B1關于O對稱故選B【點撥】本題考查了正方形的性質、旋轉的性質、坐標與圖形的變化、規(guī)律型：點的坐標等知識，解題的關鍵是學會從特殊到一般的探究規(guī)律的方法10．B【分析】根據函數圖像得到PA=，根據正方形的性質求出AB=BC=2，由此得到a=4．解：由圖像得，當點P運動到點C時，PA-PC=，即PA=，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，當點P運動到點D停止，此時a=4，故選：B．【點撥】此題考查了函數圖像的判斷，正方形的性質，正確理解函數圖像與圖形的關系是解題的關鍵．11．A【分析】過C作CF⊥x軸，垂足為點F，根據正方形的性質和全等三角形的判定可證明△DAO≌△CDF，可求得DF、CF、OF的長，可求得點C的坐標．解：如圖，過C作CF⊥x軸，垂足為點F，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ADC=90°，AD=CD∴∠ADO+∠CDF=90°,∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠OAD=∠CDF∴△DAO≌△CDF（AAS）∴DF=AO，CF=OD，∵，，∴OA=2，OD=1,∴DF=AO=2，CF=OD=1∴OF=1+2=3，∴C點坐標為（3，1）．故選：A．【點撥】本題主要考查正方形的性質及全等三角形的判定和性質，利用正方形的四邊相等找到條件通過證明三角形全等求得DF、CF、OF的長是解題的關鍵．12．D【分析】首先作AD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，利用“一線三垂直”模型證明?，即可求出點C的坐標．解：如圖所示，作AD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，則∠OEC=∠ADO=90°，∴∠COE+∠ECO=90°，∵A的坐標為（1，），∴AD=，OD=1，∵四邊形OABC為正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠AOD+∠COE=90°，∴∠AOD=∠OCE，在和中，∵∴?（AAS），∴OE=AD=，CE=OD=1，∴C（-，1），故選：D．【點撥】本題主要考查了正方形的性質、坐標與圖形的綜合以及全等三角形的性質與判定，熟練掌握三角形的性質，證出全等三角形是解題的關鍵．13．（-，-）【分析】先根據勾股定理求出菱形的邊長，再根據點P的運動速度求出沿A→B→C→D→A所需的時間，進而可得出結論．解：∵A的坐標為（1，0），點B的坐標為（0，），∴AO=1，OB=，∴AB==2，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD=BC=2，∴點P每運動8秒回到點A位置，∴2021÷8=252…5，∴點P移動到第2021秒時，落在CD的中點處，∵C（-1，0），D（0，-），∴此時點P（-，-），故答案為（-，-）．【點撥】本題考查的是菱形的性質，根據題意得出點P運動一周所需的時間是解答此題的關鍵．14．【分析】根據菱形具有的平行四邊形基本性質，對角線互相平分，且交點為坐標原點，則，關于原點對稱，因此在直角坐標系中兩點的坐標關于原點對稱，橫坐標與橫坐標互為相反數，縱坐標與縱坐標互為相反數便可得.解：∵四邊形是菱形，對角線相交于坐標原點∴根據平行四邊形對角線互相平分的性質，和；和均關于原點對稱根據直角坐標系上一點關于原點對稱的點為可得已知點的坐標是，則點的坐標是.故答案為：.【點撥】本題旨在考查菱形的基本性質及直角坐標系中關于原點對稱點的坐標的知識點，熟練理解掌握該知識點為解題的關鍵.15．（-6，）【分析】根據菱形的性質得出BC=AB=AD=6，AD//BC，然后再根據勾股定理求出OB的長度，即可確定點C的坐標．解：∵O是AD的中點，OA=3，∴AD=6∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=AD=AB=6，AD//BC∴BO3，∴點C坐標(-6，3)故答案為：(-6，3)．【點撥】本題主要考查菱形的性質及勾股定理，掌握菱形的性質及勾股定理是解題的關鍵．16．（-3，6）【分析】作于，由和的坐標得出，，，由勾股定理求出，由菱形的性質得出，即可得出點的坐標．解：作于，與軸交于點，如圖所示，，，，，，，，四邊形是菱形，，軸，點的坐標為；故答案為：．【點撥】本題考查了菱形的性質、坐標與圖形性質、勾股定理；熟練掌握菱形的性質，由勾股定理求出是解決問題的關鍵．17．【分析】連接，，證明，可得，即可求解．解：如圖，連接，，由題意得OA=BC=2，OC=AB=4，由旋轉可知，在和中，∴（HL），∴，∴坐標為（4,0），故答案為：（4,0）．【點撥】本題考查了矩形的性質、旋轉的性質和三角形全等的判定和性質，解題的關是證明．18．【分析】設l分別交AB、OC于點E、F，根據矩形的性質和B點的坐標設E的坐標為(a,1)，F(xiàn)的坐標為(b,0)，利用直線l平分矩形的面積可證得AE=CF，OF=BE，繼而得出a，b的關系式，再利用點E、F均在l上即可求出k．解：設l分別交AB、OC于點E、F，如圖，∵在矩形OABC中，頂點B的坐標為(4,1)，∴OA=BC=1，AB=OC=4，∴可設E的坐標為(a,1)，F(xiàn)的坐標為(b,0)，又∵E、F在直線l上，∴，，∴，，∵直線l分將矩形OABC的面積平分，∴，∵OA=BC，∴，又∵AB=AE+BE=OC=OF+FC，∴AE=CF，OF=BE，AB=OC=4，∴4-a=b，∴，解得，經檢驗符合要求，故答案為：．【點撥】本題考查了矩形的性質，一次函數的性質以及解分式方程等知識，利用好直線l將矩形OABC的面積平分這一信息是解答本題的關鍵．19．3【分析】首先連接AC、BO，交于點D，當y＝3x+1經過D點時，該直線可將矩形OABC的面積平分，然后計算出過D且平行直線y＝3x+1的直線解析式，從而可得直線y＝3x+1要向下平移6個單位，進而可得答案．解：連接AC、BO，交于點D，當y＝3x+1經過D點時，該直線可將?OABC的面積平分；∵AC，BO是?OABC的對角線，∴OD＝BD，∵O（0，0），B（4，2），∴D（2，1），根據題意設平移后直線的解析式為y＝3x+b，∵D（2，1），∴1＝3×2+b，解得b＝﹣5，∴平移后的直線的解析式為y＝3x﹣5，∴直線y＝3x+1要向下平移6個單位，∴時間為3秒，故答案為：3．【點撥】此題主要考查了矩形的性質，以及一次函數，關鍵是正確掌握經過矩形對角線交點的直線平分矩形的面積．20．（2.5，0）【分析】由折疊的性質可得BE=OE，∠BED=∠OED，然后可得OE=OD，設BE=OE=x，則AE=4-x，進而根據勾股定理可建立方程求解x，最后問題可求解．解：∵AB∥OC，∴∠BED=∠EDO，由折疊的性質可得BE=OE，∠BED=∠OED，∴∠EDO=∠OED，∴OE=OD，設BE=OE=x，則AE=4-x，∴在Rt△AEO中，由勾股定理得：，解得：，∴OE=OD=2.5，∴點D的坐標為（2.5，0）；故答案為（2.5，0）．【點撥】本題主要考查坐標與圖形、矩形的性質、勾股定理及折疊的性質，熟練掌握坐標與圖形、矩形的性質、勾股定理及折疊的性質是解題的關鍵．21．（-1，0）【分析】已知D點坐標，根據正方形性質可求出CD的長以及C點坐標，則CB=CD，結合C點坐標即可求出B點坐標．解：∵D的坐標是(2，3)，B、C在x軸上，∴DC=3，OC=2，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD=3，∴OB=3-2=1，∵B在x軸的負半軸上，∴B(-1，0)．故答案為:(-1，0)．【點撥】本題考查正方形的性質，解題的關鍵是熟練掌握正方形四條邊都相等等相關性質．22．【分析】根據圖形可知：點B在以O為圓心，以OB為半徑的圓上運動，由旋轉可知：將正方形OABC繞點O逆時針旋轉45°后得到正方形OABC，相當于將線段OB繞點O逆時針旋轉45°，可得對應點B的坐標，根據規(guī)律發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，可得結論．解：∵四邊形OABC是正方形，且OA=1，∴B（1，1）；連接OB，由勾股定理得：OB=，由旋轉得：OB=OB=OB=OB=…=；∵將正方形OABC繞點O逆時針旋轉45°后得到正方形OA1B1C1，相當于將線段OB繞點O逆時針旋轉45°，依次得到∠AOB=∠BOB=∠BOB=…=45°，∴B（0，），B（-1，1），B（-，0），B（-1，-1），B（0，-），B（1，-1），B（，0），B（1，1），…，發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，∵2021÷8=252…余5，∴點B的坐標與點B的坐標相同，∴點B的坐標為．故答案為：．【點撥】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角．也考查了坐標與圖形的變化、規(guī)律型，點的坐標等知識，解題的關鍵是學會從特殊到一般的探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．23．（4044，0）【分析】由題意可知：正方形的邊長為2，分別求得，可發(fā)現(xiàn)點的位置是四個一循環(huán)，每旋轉一次半徑增加2，找到規(guī)律，即求得點P2021在x軸正半軸，進而求得OP的長度，即可求得點的坐標．解：由題意可知：正方形的邊長為2，∵A（2，0），B（0，2），C（2，2），P1（4，0），P2（0，﹣4），P3（﹣6，2），P4（2，10），P5（12，0），P6（0，﹣12）…可發(fā)現(xiàn)點的位置是四個一循環(huán)，每旋轉一次半徑增加2，2021÷4＝505…1，故點P2021在x軸正半軸，OP的長度為2021×2+2＝4044，即：P2021的坐標是（4044，0），故答案為：（4044，0）．【點撥】本題考查了平面直角坐標系點的坐標規(guī)律，正方形的性質，找到點的位置是四個一循環(huán)，每旋轉一次半徑增加2的規(guī)律是解題的關鍵．24．或【分析】由定義可知，AC必為正方形的對角線，所以AC與x軸的夾角必為45°，設直線AC的解析式為；y=kx+b，解方程組即可得到結論；解：如圖所示，若點在直線上，則、的“相關矩形”與軸平行的邊長度為2，則或設直線AC的解析式為；y=kx+b把A，C坐標分別代入得，解得：∴直線AC的解析式為：或故答案為：或．【點撥】本題考查了一次函數解析式的確定以及正方形的性質,根據正方形的性質確定C點坐標是解題關鍵．25．(1)點C（4，0）(2)EF=OF，EF⊥OF【分析】（1）利用二次根式有意義條件列不等式組得出，，然后求出點B坐標，利用軸對稱性質求即即可；（2）先證△AOB為等腰直角三角形，得出∠BAO=45°，然后利用直角三角形斜邊中線性質，以及三角形外角性質求解即可．(1)解：∵a，b滿足：，∴，解得，∴，∴，解得，∴點B（-4，0），∵點C與點B關于y軸對稱，∴點C（4，0）；(2)解：結論：EF=