實驗一微積分基礎1232024-01-26BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA目錄CONTENTS微分學基本概念與運算積分學基本概念與運算微分方程初步知識與解法多元函數微分學與重積分初步無窮級數收斂性與判別法曲線積分與曲面積分簡介BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA01微分學基本概念與運算導數定義導數描述了函數值隨自變量變化的速率，即函數在某一點處的切線斜率。對于函數$y=f(x)$，其導數$f'(x)$表示當$x$變化一個微小量$Deltax$時，$y$的近似變化率。幾何意義導數的幾何意義在于它反映了函數圖像在某一點處的切線斜率。當導數大于0時，函數在該區(qū)間內單調遞增；當導數小于0時，函數在該區(qū)間內單調遞減；當導數等于0時，函數在該點處可能有極值點或拐點。導數定義及幾何意義

常見函數求導法則基本初等函數求導法則包括常數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數等基本初等函數的求導法則。四則運算法則對于兩個函數的和、差、積、商，其導數可以通過四則運算法則進行求解。復合函數求導法則對于復合函數$y=f(g(x))$，其導數可以通過鏈式法則進行求解，即$y'=f'(g(x))cdotg'(x)$。高階導數是指對函數進行多次求導得到的導數。例如，二階導數$f''(x)$表示對$f'(x)$再次求導得到的導數。高階導數的定義對于基本初等函數，可以直接套用其高階導數公式進行計算。對于復合函數，需要多次應用鏈式法則進行求解。此外，還可以通過歸納法、萊布尼茲公式等方法簡化高階導數的計算過程。高階導數的計算高階導數計算微分定義微分是函數在某一點處的局部變化量的線性近似，即$Deltayapproxf'(x)Deltax$。其中，$Deltay$表示函數值的實際變化量，$f'(x)Deltax$表示微分，即局部變化量的近似值。微分的應用微分在實際問題中有著廣泛的應用，如求解最值問題、判斷函數的單調性、描繪函數的圖像等。此外，在物理學、經濟學等領域中，微分也常被用來描述各種量之間的變化關系。微分概念及應用BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA02積分學基本概念與運算定積分是函數在一個區(qū)間上的積分，其結果是一個數值。它表示了函數圖像與x軸所圍成的面積。定積分的定義定積分具有線性性、可加性、保號性、絕對值不等式性質等。定積分的性質定積分定義及性質不定積分是求一個函數的原函數或反導數的過程，其結果是一個函數族。通過湊微分、換元法、分部積分法等方法，可以求解不定積分。不定積分計算方法不定積分的計算方法不定積分的定義03經濟應用計算總收益、總成本等。01幾何應用計算平面圖形的面積、旋轉體的體積等。02物理應用計算變力做功、液體壓力等。定積分應用舉例廣義積分簡介廣義積分的定義廣義積分是對定積分的擴展，允許積分區(qū)間包含無窮大或函數在區(qū)間內有瑕點。廣義積分的計算方法通過極限運算和定積分的計算方法，可以求解廣義積分。BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA03微分方程初步知識與解法含有未知函數及其導數（或微分）的方程。微分方程定義根據方程中未知函數導數的最高階數，可分為一階、二階及高階微分方程；根據方程中是否含有未知函數，可分為線性與非線性微分方程。微分方程分類微分方程概念及分類一階線性微分方程標準形式$y'+p(x)y=q(x)$。解法步驟先求解對應齊次方程$y'+p(x)y=0$的通解，再利用常數變易法求得原方程的一個特解，最后通過疊加原理得到原方程的通解。一階線性微分方程解法可降階高階微分方程解法$y''=f(x,y')$或$y''=f(y,y')$。可降階高階微分方程類型通過適當的變量代換，將原高階微分方程降為一階微分方程進行求解。解法步驟常系數線性微分方程標準形式$ay''+by'+cy=f(x)$，其中$a,b,c$為常數。解法步驟先求解對應齊次方程$ay''+by'+cy=0$的通解，再利用待定系數法或常數變易法求得原方程的一個特解，最后通過疊加原理得到原方程的通解。常系數線性微分方程解法BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA04多元函數微分學與重積分初步多元函數定義01設D為一個非空的n元有序數組的集合，f為某一確定的對應規(guī)則。若對于每一個有序數組(x1,x2,…,xn)∈D，通過對應規(guī)則f，都有唯一確定的實數y與之對應，則稱對應規(guī)則f為定義在D上的n元函數。多元函數的性質02包括有界性、單調性、周期性、連續(xù)性等。多元函數的圖像03無法用直觀的幾何圖形來表示，但可以通過等值線（面）圖等方式進行描述。多元函數概念及性質偏導數定義設函數z=f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內有定義，當y固定在y0而x在x0處有增量Δx時，相應地函數有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz與Δx之比當Δx→0時的極限存在，那么此極限值稱為函數z=f(x,y)在點(x0,y0)處對x的偏導數。全微分定義如果函數z=f(x,y)在點(x,y)處的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示為Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依賴于Δx,Δy而僅與x,y有關，ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，o(ρ)是較ρ高階的無窮小，那么稱函數z=f(x,y)在點(x,y)處可微，AΔx+BΔy稱為函數z=f(x,y)在點(x,y)處的全微分。計算方法偏導數可以通過求導法則和鏈式法則進行計算；全微分可以通過偏導數進行計算。偏導數和全微分計算多元函數極值定義設函數z=f(x,y)在點P0(x0,y0)的某鄰域內有定義，若對于該鄰域內異于P0的任何點P(x,y)，都有f(x,y)<f(x0,y0)（或f(x,y)>f(x0,y0)），則稱函數f(x,y)在點P0(x0,y0)取得極大值（或極小值）。條件極值定義在一定條件下尋求多元函數的極值問題稱為條件極值問題。計算方法可以通過偏導數等于零求駐點，然后利用二階偏導數判斷駐點是否為極值點；條件極值問題可以通過拉格朗日乘數法等方法進行求解。多元函數極值和條件極值問題二重積分定義設函數f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，將區(qū)域D任意分成n個子域Δσi(i=1,2,…,n)，并以Δσi的直徑記作di，分別取點(ξi,ηi)∈Δσi。如果當各子域的直徑中的最大值d趨于零時，和式∑[f(ξi,ηi)Δσi]的極限存在且唯一，則稱此極限為函數f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分。計算方法可以通過直角坐標法、極坐標法等方法進行計算。應用二重積分在物理學、工程學等領域有著廣泛的應用，如計算面積、體積、質量、重心等。二重積分計算方法和應用BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA05無窮級數收斂性與判別法無窮級數是無窮多個數的和，通常寫為$sum_{n=1}^{infty}a_n$，其中$a_n$是級數的通項。無窮級數定義如果無窮級數的部分和序列有極限，則稱該無窮級數收斂，否則稱該無窮級數發(fā)散。收斂與發(fā)散如果$sum_{n=1}^{infty}|a_n|$收斂，則稱原級數絕對收斂；如果原級數收斂但$sum_{n=1}^{infty}|a_n|$發(fā)散，則稱原級數條件收斂。絕對收斂與條件收斂無窮級數基本概念和性質通過比較兩個正項級數的通項來判斷它們的斂散性。比較判別法比值判別法根值判別法通過計算正項級數的相鄰兩項之比來判斷其斂散性。通過計算正項級數的通項的$n$次方根來判斷其斂散性。030201正項級數收斂性判別法交錯級數判別法對于交錯級數，如果其通項的絕對值單調遞減且趨于零，則該交錯級數收斂。要點一要點二絕對收斂與條件收斂的判別法先判斷原級數是否絕對收斂，如果絕對收斂則原級數一定收斂；如果原級數不絕對收斂，則需要進一步判斷其是否條件收斂。任意項級數收斂性判別法010203冪級數定義形如$sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$的級數稱為冪級數，其中$a_n$是常數，$x$是變量。冪級數的展開通過泰勒公式或麥克勞林公式將函數展開為冪級數形式。收斂域的確定通過比較判別法、比值判別法或根值判別法等方法確定冪級數的收斂域。同時需要注意，對于某些特殊函數（如三角函數、指數函數等），其冪級數的收斂域可能會受到特殊限制。冪級數展開與收斂域確定BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA06曲線積分與曲面積分簡介010405060302第一類曲線積分計算方法參數方程法：將曲線用參數方程表示，將曲線積分轉化為定積分進行計算。直接計算法：直接根據曲線積分的定義，將曲線分割為若干小段，對每個小段進行近似計算，最后求和得到曲線積分的近似值。第二類曲線積分計算方法斯托克斯公式法：利用斯托克斯公式將第二類曲線積分轉化為第一類曲線積分進行計算。格林公式法：利用格林公式將第二類曲線積分轉化為二重積分進行計算。第一類曲線積分和第二類曲線積分計算方法第一類曲面積分計算方法參數方程法：將曲面用參數方程表示，將曲面積分轉化為二重積分進行計算。直接計算法：直接根據曲面積分的定義，將曲面分割為若干小面片，對每個小面片進行近似計算，最后求和得到曲面積分的近似值。第二類曲面積分計算方法高斯公式法