3．向心加速度核心素養(yǎng)定位物理觀念(1)知道向心加速度的概念．(2)知道勻速圓周運(yùn)動中向心加速度大小的表達(dá)式．科學(xué)思維(1)理解向心加速度與半徑的關(guān)系，并會用來進(jìn)行簡單的計(jì)算．(2)能根據(jù)問題情境選擇合適的向心加速度的表達(dá)式．科學(xué)態(tài)度與責(zé)任了解分析勻速圓周運(yùn)動速度變化量時(shí)用到的極限思想．一、勻速圓周運(yùn)動的加速度方向1．定義：物體做勻速圓周運(yùn)動時(shí)的加速度總指向________，這個(gè)加速度叫作向心加速度．沒有特殊情況2．向心加速度的作用：向心加速度的方向總是與速度方向__________，故向心加速度只改變速度的________，不改變速度的________．描述線速度方向變化的快慢3．物體做勻速圓周運(yùn)動時(shí)，向心加速度始終指向________，方向在時(shí)刻________，所以勻速圓周運(yùn)動是變加速曲線運(yùn)動．二、勻速圓周運(yùn)動的加速度大小1．向心加速度公式：________或an＝ω2r.4π2．向心加速度的公式既適用于勻速圓周運(yùn)動，也適用于非勻速圓周運(yùn)動．【情境思考】如圖所示，一輛汽車以恒定速率駛?cè)氕h(huán)島，請對以下結(jié)論作出判斷．(1)汽車在環(huán)島中各點(diǎn)的向心加速度是相同的.()(2)汽車在環(huán)島中運(yùn)動的加速度指向環(huán)島的圓心．()(3)汽車以恒定速率在環(huán)島內(nèi)運(yùn)動四分之一圓弧時(shí)，其速度變化量與初速度的夾角為135°.()(4)汽車在相等時(shí)間內(nèi)的速度變化量相同．()(5)由an＝v2r可知，加速度an與半徑r成反比．((6)由an＝ω2r可知，加速度an與半徑r成正比．()1因?yàn)樽鰣A周運(yùn)動的物體的速度方向時(shí)刻沿圓周的切線方向，即速度方向時(shí)刻在變化，所以不管其速度大小是否變化，一定存在加速度．2向心加速度是勻速圓周運(yùn)動的瞬時(shí)加速度，是指某時(shí)刻或某位置的加速度．公式an＝v2r中的圓周運(yùn)動中向心加速度的方向如圖所示的勻速圓周運(yùn)動中，物體由A運(yùn)動到B，在B點(diǎn)作vA和vB的矢量，從vA末端指向vB末端的矢量即為Δv.當(dāng)物體由A運(yùn)動到B的時(shí)間Δt→0時(shí)，Δv的方向沿半徑指向圓心，加速度的方向與Δv方向一致，故物體做勻速圓周運(yùn)動時(shí)的加速度指向圓心．目標(biāo)一對向心加速度的理解【導(dǎo)思】(1)如圖所示，月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動時(shí)，月球的運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化嗎？若變化，變化的原因是什么？(2)物體做勻速圓周運(yùn)動時(shí)，合力有什么特點(diǎn)？(3)根據(jù)牛頓第二定律，月球的加速度沿什么方向？【歸納】1．對向心加速度及其方向的理解(1)向心加速度的方向：總指向圓心，方向時(shí)刻改變．(2)向心加速度的作用：向心加速度的方向總是與速度方向垂直，故向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大?。?．圓周運(yùn)動的性質(zhì)因?yàn)橄蛐募铀俣确较驎r(shí)刻發(fā)生變化，所以圓周運(yùn)動都是變加速曲線運(yùn)動．3．非勻速圓周運(yùn)動的加速度如圖所示，做圓周運(yùn)動的物體在某位置時(shí)的加速度a可以分解為相互垂直的兩個(gè)分加速度an和at.【典例】例1(多選)關(guān)于向心加速度，以下說法正確的是()A．向心加速度的方向始終與線速度方向垂直B．向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小C．物體做圓周運(yùn)動時(shí)的加速度方向始終指向圓心D．物體做勻速圓周運(yùn)動時(shí)的加速度方向始終指向圓心例2(多選)如圖所示是花樣滑冰雙人滑中的一個(gè)經(jīng)典動作——雙人直立旋轉(zhuǎn)，兩人均單足直膝站立，圍繞同一中心旋轉(zhuǎn)．在不考慮阻力的情況下，兩名運(yùn)動員的運(yùn)動可以分別看作勻速圓周運(yùn)動．關(guān)于他們的向心力與向心加速度，下列說法正確的是()A．向心力的方向保持不變，始終指向圓心B．向心加速度保持不變C．向心加速度的方向始終與線速度的方向垂直D．對于其中任意一人來說，所受的合力提供向心力，合力的方向始終指向圓心目標(biāo)二向心加速度的公式和應(yīng)用【導(dǎo)思】(1)如圖甲所示，物塊的加速度如何求？(2)如圖乙所示，小球做勻速圓周運(yùn)動的向心力大小是多少？方向有什么特點(diǎn)？(3)能用求圖甲中物塊加速度的方法求圖乙中小球的加速度嗎？小球的加速度的大小是多少？【歸納】1．向心加速度公式(1)an＝v2r＝ω2(2)因?yàn)関＝ωr，所以向心加速度也可以寫成an＝ωv.(3)因?yàn)棣兀?πT＝2πf，所以向心加速度也可以寫成an＝4π2T2r＝2．向心加速度與半徑的關(guān)系(如圖所示)【典例】例3某同學(xué)在研究圓周運(yùn)動時(shí)做擺臂動作，用手機(jī)內(nèi)置的速度傳感器測定手的速度．該同學(xué)先用刻度尺測量手臂伸直時(shí)的長度(刻度尺的零刻度線與肩平齊)，如圖所示，然后他伸直手臂，手握手機(jī)，將手臂以肩為軸自然下擺．若當(dāng)手臂擺到豎直位置時(shí)，手機(jī)顯示的速度大小約為0.65m/s，則此時(shí)手機(jī)的向心加速度大小約為()A.0.65m/s2B．1.3m/s2C．2m/s2D．6.5m/s2例4“旋轉(zhuǎn)紐扣”是一種傳統(tǒng)游戲．如圖，先將紐扣繞幾圈，使穿過紐扣的兩股細(xì)繩擰在一起，然后用力反復(fù)拉繩的兩端，紐扣正轉(zhuǎn)和反轉(zhuǎn)會交替出現(xiàn)，拉動多次后，紐扣繞其中心的轉(zhuǎn)速可達(dá)50r/s，此時(shí)紐扣上距離中心1cm處的點(diǎn)向心加速度大小約為()A．10m/s2B．100m/s2C．1000m/s2D．10000m/s2例5[2023·浙江金華十校高一下期末]如圖甲是汽車發(fā)動機(jī)的結(jié)構(gòu)圖，其中正時(shí)帶傳動系統(tǒng)對發(fā)動機(jī)的正常運(yùn)行起到至關(guān)重要的作用，圖乙是其簡化圖．圖中皮帶輪的半徑之比為R1∶R2＝1∶2，A、C是皮帶輪邊緣上的點(diǎn)，B為距軸心為R1的點(diǎn)．當(dāng)系統(tǒng)勻速轉(zhuǎn)動時(shí)，以下說法正確的是()A．A、B兩點(diǎn)的線速度大小之比為1∶2B．A、C兩點(diǎn)的角速度大小之比為1∶2C．B、C兩點(diǎn)的向心加速度大小之比為1∶4D．A、C兩點(diǎn)的周期之比為1∶2規(guī)律方法分析此類問題要“看”“找”“選”1．[2023·河南駐馬店高一下月考]如圖所示為某學(xué)校學(xué)生以整齊的步伐跑操時(shí)的場景．對于恰好通過彎道的某一班級中的所有同學(xué)，下列說法正確的是()A．這些同學(xué)的線速度大小相等B．這些同學(xué)的角速度大小相等C．這些同學(xué)的向心加速度大小相等D．這些同學(xué)的向心力大小相等2．青州市牛角嶺盤山公路風(fēng)景亮麗、環(huán)境優(yōu)美，吸引眾多自駕游愛好者前來打卡游玩，被稱為“魯中川藏線”．在埡口有一個(gè)魯中川藏線的觀景臺，如圖是從觀景臺上拍攝的圖片，一輛汽車以恒定的速率通過該盤山公路的過程中，下列說法中正確的是()A．汽車勻速運(yùn)動B．汽車的加速度始終為零C．汽車的加速度不變D．汽車的加速度變化3．甲同學(xué)在周五離校時(shí)，看到乙同學(xué)的家長用某型號汽車接其回家，甲同學(xué)觀察該汽車的后雨刮器．設(shè)雨刮器擺臂可視為繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的折桿OAB，如圖所示，OA長度為a、AB長度為3a，∠OAB＝120°，AB部分裝有膠條，雨刮器工作時(shí)膠條緊貼后窗平面可視為勻速率轉(zhuǎn)動．雨刮器工作時(shí)，下列說法正確的是()A．A、B兩點(diǎn)線速度大小之比為1∶4B．A、B兩點(diǎn)角速度之比為1∶3C．A、B兩點(diǎn)加速度大小之比為1∶13D．B點(diǎn)加速度方向沿著AB指向A4.如圖所示，一圓環(huán)以直徑AB所在的直線為軸勻速轉(zhuǎn)動，P、Q、R是環(huán)上的三點(diǎn)，則下列說法正確的是()A．向心加速度的大小關(guān)系為aP＝aQ＝aRB．任意時(shí)刻P、Q、R三點(diǎn)向心加速度的方向均不同C．線速度大小關(guān)系為vP>vQ>vRD．任意時(shí)刻P、Q、R三點(diǎn)的線速度的方向均不同5.一個(gè)風(fēng)力發(fā)電機(jī)葉片的轉(zhuǎn)速為19～30轉(zhuǎn)每分鐘，轉(zhuǎn)子葉片的軸心通過低速軸跟齒輪箱連接在一起，再通過齒輪箱把高速軸的轉(zhuǎn)速提高到低速軸轉(zhuǎn)速的50倍左右，最后由高速軸驅(qū)動發(fā)電機(jī)工作．即使風(fēng)力發(fā)電機(jī)的葉片轉(zhuǎn)得很慢也依然可以發(fā)電．如圖所示為三級[一級增速軸(Ⅱ軸)、二級增速軸(Ⅲ軸)、輸出軸(Ⅳ軸)]增速箱原理圖．已知一級增速軸(Ⅱ軸)與輸入軸(Ⅰ軸)的速比為3.90，二級增速軸(Ⅲ軸)與一級增速軸(Ⅱ軸)的速比為3.53，輸出軸(Ⅳ軸)與二級增速軸(Ⅲ軸)的速比為3.23(速比＝輸出軸轉(zhuǎn)速輸入軸轉(zhuǎn)速)．若該風(fēng)力發(fā)電機(jī)葉片的轉(zhuǎn)速為20轉(zhuǎn)每分鐘，則下列說法正確的是(A．輸出軸(Ⅳ軸)的轉(zhuǎn)速為1500轉(zhuǎn)每分鐘B．一級增速軸(Ⅱ軸)與輸入軸(Ⅰ軸)接觸部分的半徑之比為3.90∶1C．一級增速軸(Ⅱ軸)與輸入軸(Ⅰ軸)接觸部分的線速度大小之比為1∶3.90D．一級增速軸(Ⅱ軸)與輸入軸(Ⅰ軸)接觸部分的向心加速度大小之比為3.90∶13．向心加速度導(dǎo)學(xué)掌握必備知識一、1．圓心2．垂直方向大小3．圓心變化二、1．a(chǎn)n＝v情境思考答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×(6)×共研突破關(guān)鍵能力目標(biāo)一提示：(1)月球的速度方向不斷發(fā)生變化，所以運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化．運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化的原因是受到向心力的作用．(2)物體做勻速圓周運(yùn)動時(shí)，物體所受的合力提供向心力，合力的方向總是指向圓心．(3)月球受到的合力提供向心力，方向總是指向圓心．根據(jù)牛頓第二定律可知，月球做勻速圓周運(yùn)動時(shí)的加速度也總是指向圓心．[例1]解析：向心加速度的方向沿半徑指向圓心，線速度方向則沿圓周的切線方向，所以向心加速度的方向始終與線速度的方向垂直，A正確；物體做勻速圓周運(yùn)動時(shí)，只具有向心加速度，加速度的方向始終指向圓心，向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小，B、D正確；一般情況下，圓周運(yùn)動的向心加速度與切向加速度的合加速度方向不是始終指向圓心的，C錯誤．答案：ABD[例2]解析：向心力的方向時(shí)刻指向圓心，時(shí)刻改變，故A錯誤；勻速圓周運(yùn)動的向心加速度時(shí)刻指向圓心，方向沿半徑方向，與線速度方向垂直，方向時(shí)刻改變，故B錯誤，C正確；根據(jù)勻速圓周運(yùn)動的定義可知，當(dāng)合力提供向心力時(shí)，物體將做勻速圓周運(yùn)動，合力方向始終指向圓心，故D正確．故選C、D.答案：CD目標(biāo)二提示：(1)物塊所受的合力即為F，根據(jù)牛頓第二定律，可得a＝Fm(2)豎直方向有FTcosθ＝mg，水平方向有FTsinθ＝Fn.故Fn＝mgtanθ，方向時(shí)刻指向圓心O.(3)能．a(chǎn)n＝Fnm＝gtan[例3]解析：根據(jù)題意，由圖可知，手機(jī)轉(zhuǎn)動的半徑約為0.65m，手臂擺到豎直位置時(shí)手機(jī)的向心加速度大小約為an＝v2r＝0.65m/s2答案：A[例4]解析：圓周運(yùn)動的向心加速度an＝ω2r＝(2πn)2r，由題干信息知n＝50r/s，r＝0.01m，代入數(shù)據(jù)可得an接近1000ms2答案：C[例5]解析：根據(jù)傳動規(guī)律可知vA＝vC，ωB＝ωC，根據(jù)v＝ωR可得vC＝2vB，所以A、B兩點(diǎn)的線速度大小之比為vAvB＝21，A、C兩點(diǎn)的角速度大小之比為ωAωC＝R2R1＝21，故A、B錯誤；根據(jù)a＝ω2R可知，B、C兩點(diǎn)的向心加速度大小之比為aBaC＝R1R2＝12，故答案：D精練落實(shí)學(xué)科素養(yǎng)1．解析：同學(xué)們通過彎道的過程，相當(dāng)于繞操場上某點(diǎn)同軸轉(zhuǎn)動的過程，角速度相同．根據(jù)公式v＝ωr，可知不同跑道的同學(xué)做圓周運(yùn)動的半徑不同，線速度不同，A錯誤，B正確；根據(jù)向心加速度公式an＝ω2r，可知角速度相同，半徑不同，則向心加速度不同，C錯誤；根據(jù)向心力的公式Fn＝man，可知每位同學(xué)質(zhì)量不同，向心加速度不同，向心力也不一定相同，D錯誤．答案：B2．解析：汽車以恒定的速率通過該盤山公路的過程中，速度的方向在不斷改變，不是勻速運(yùn)動，A錯誤；可把通過盤山公路的過程分為很多小的圓周運(yùn)動，汽車具有向心加速度，加速度不為零，汽車加速度的方向在不斷變化，B、C錯誤，D正確．故選D.答案：D3．解析：因?yàn)锳、B兩點(diǎn)是同軸轉(zhuǎn)動，所以A、B兩點(diǎn)的角速度是相等的，故B錯誤；A、B兩點(diǎn)做圓周運(yùn)動的圓心都是O點(diǎn)，半徑分別是OA和OB，由余弦定理得OB＝13a.A、B兩點(diǎn)的角速度相等，由v＝ωr可知A、B兩點(diǎn)的線速度大小之比等于半徑之比，故A、B兩點(diǎn)線速度大小之比為1∶13，由向心加速度公式an＝ω2r，可得A、B兩點(diǎn)向心加速度大小之比也等于半徑之比，為1∶13，故A錯誤，C正確；B的向心加速度的方向沿著OB指向圓心O，故D錯誤．故選C.答案：C4．解析：圓環(huán)上各點(diǎn)的角速度相等，由an＝ω2r知aP>aQ>aR，A錯誤；由v＝ωr知vP>vQ>vR，C正確；因?yàn)橄蛐募铀俣瓤偸侵赶驁A心，所以任意時(shí)刻P、Q、R三點(diǎn)向