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2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(重慶卷)

數(shù)學(xué)試題卷(理工農(nóng)醫(yī)類)

數(shù)學(xué)試題卷(理工農(nóng)醫(yī)類)共4頁。滿分150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后,

再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。

3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案寫在答題卡規(guī)定的位置上。

4,所有題目必須在答題卡上作答，在試卷上答題無效。

5.考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回。

特別提醒：

(14)、(15)、(16)三題為選做題，請(qǐng)從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分。

選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1、復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)1(1一2i)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案IA

［解析］：根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法分配律可得z(l-2/)=2+z,因此該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為(2,1),

它在第一象限。

2、對(duì)任意等比數(shù)列{6,},下列說法一定正確的是()

A.4,。3嗎成等比數(shù)列B.a2,a3,a6成等比數(shù)列

C.a2,a4,as成等比數(shù)列D.a3,ab,ag成等比數(shù)列

【答案】：D

【解析】：根據(jù)等比數(shù)列中等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，如果數(shù)列為等比數(shù)列，即若2〃=/+左，則有

a2n=arak

3、已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本的平均數(shù)嚏=3,亍=3.5,則由該觀測數(shù)據(jù)算得

的線性回歸方程可能是()

A.9=0.4x+2.3B.y=2x-2.4C.y=-2x+9.5D.y=-0.3x+4.4

【答案】：A

【解析】：根據(jù)線性回歸方程過定點(diǎn)丘J)的特點(diǎn)，代入驗(yàn)證只有A選項(xiàng)的直線過點(diǎn)點(diǎn)J)。

4、已知向量旬=(上,3),1=(1,4),1=(2,1),且(2a—36)_Lc,則實(shí)數(shù)&=()

915

A.--B.0C.3D.—

22

【答案】：C

【解析】(2a-3b)±c=>2a-c-3b-c=2(2k+3)-3x6=0=>k=3

5、執(zhí)行題如（5）圖所示的程序框圖，若輸出Z的值為6,則判斷框內(nèi)可填入的條件是（）

、34

A.5>—B.s>一CD.s>一

25-片5

【答案】：c

,987

【解析】：s=l,A=9=s=—，左=8=s=—,k=7=>s=—,k=6

101010

.7

,此時(shí)需要不滿足條件輸出，則輸出條件應(yīng)為s〉」-。

10

6、已知命題對(duì)任意xeH,總有2”>0；

q："x>1"是"x>2"的充分不必要條件,

題（5）圖

則下列命題為真命題的是（）

A.pAqB.—ipA—qC.—>pAqD.pA—>q

【答案】：D

【解析】：根據(jù)復(fù)合命題的判斷關(guān)系可知，命題〃為真，命題4為假，所以只有〃AF為真。

7,某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

左視圖俯視圖

A.54B.60C.66D.72

【答案】：B

【解析】：由三視圖可知,該幾何體是由下方的直三棱柱與上方的四棱錐組成的組合體，其中直三棱柱

底面為一個(gè)邊長為3,4,5的直角三角形，高為2,上方的四棱錐是底面邊長是3的正方形，一個(gè)側(cè)面與

直三棱柱的底面重合。此圖形共有5個(gè)面，底面H=,x3x4=6,豎直的三個(gè)面面積分別為

2

(2+5)x535(2+5)x4

S=3x5=15,邑==14,剩下的一個(gè)面是一個(gè)直角邊長為3,5的直

2222

1155

角三角形，55=±、3><5=上。所以表面積為5=1；5,=60

22i=\

8、設(shè)K，F(xiàn)2分別為雙曲線三一當(dāng)=1（。>02>0）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得

ab

9

|。用+|。6|=3。,|尸用?|。鳥|=\她則該雙曲線的離心率為（）

45〃9~

A.-B.-C.-D.3

334

【答案】：B

【解析工根據(jù)雙曲線的性質(zhì)不妨設(shè)點(diǎn)P在右支上，則由題意

3

\PF]\=^

\PF\+\PF\=3b

t2=>■J目尸耳|.印|=

'\PFx\-\PF2^2a44

b4b1255

即（4。—3b）（a+3〃）=0=>4t7=3Z?=>—=—=>e2=1H—=——=>e=—

a3a~93

9、某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則—類節(jié)目不

相鄰的排法種數(shù)是（）

A.72B.120C.144D.3

【答案】：B

【解析】：歌舞類節(jié)目較多可先排A；,然后將三個(gè)歌舞類節(jié)目中間的兩個(gè)空排滿，分成兩種情況：第一

種，插入的是兩個(gè)小品類節(jié)目，種類為反反式=72；第二種，插入的是一個(gè)小品一個(gè)相聲，種類為

6GM%=48。所以總的種樹為72+48=120

10、已知A/A5C的內(nèi)角4,B,。兩足sin2A+sin(4—8+C)=sin(C—A—J3)H—,面積滿足

2

1<S<2,記a,"c分別為A,8,C所對(duì)的邊，則下列不等式成立的是（）

A.bc(b+c)>8B.ac(a+c)C.6<abc<12D.12<abc<24

【答案】：A

【解析】：由題目第一個(gè)條件可得：

sin2A+sin2B-sin(2A+2B)+—=>2sin(A+8)cos(A-B)=2sin(A+B)cos(A-B)+—=>

22

2sin(A+B)[cos(A-B)-cos(A+fi)]=—=>sinCsinAsinB=-

由1WS42可得:

l<—ahsinC<2

2

<1<4csinAW2n8d2c2CsinAsin3W64n84I/。2c.2464n8WabcK160

28

1<—<zcsinfi<2

I2

由三角形兩邊之和大于第三邊可得bc(b+c)>abc>S,所以選A

二、填空題

11.設(shè)全集U={ne7V|l<n<10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},貝!!(弓A)nB=.

【答案】：{7,9}

【解析】：根據(jù)集合的概念求出全集是1,2,…10的整數(shù)，通過補(bǔ)集的概念求出CuA=[4,6,7,9,10},根

據(jù)交集概念求出結(jié)果為{7,9}

10.函數(shù)/(x)=logVx-log,5(2x)的最小值為.

【答案】：---

4

【解析工根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算變型/(x)=log2x-(log2x+log2x),換元法令t=log,XJQ)=產(chǎn)+f,易

得最小值為-工

4

13.已知直線依+丁一2=0與圓心為C的圓(x-iy+(y—a)2=4相交于A,B兩點(diǎn),且

A4BC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)“=.

【答案】：4±V15

【解析】：根據(jù)直線和圓相交于A,B兩點(diǎn)，C是圓心，ABC是等邊三角形可知等邊三角形邊長等于

圓C的半徑2,所以C到直線的距離即為等邊三角形AB邊上的高，列出等式—Z=Q，解得

a=4±V15o

考生注意：14、15、16三題為選做題，請(qǐng)從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分.

14.過圓外一點(diǎn)P作圓的切線PA(A為切點(diǎn))，再作割線PB,PC分別交圓于8,C,

若PA=6,AC=8,BC=9,貝lj4B=.

【答案】：4

PAPRAR

【解析】：通過弦切角定理找到NPAB=NC,易得APAB與APCA相似，—

PCPAAC

解得AB=4

x—2+

15.已知直線/的參數(shù)方程為4—1(f為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x正半軸為極軸

y=3+/

線/與曲線。的公共點(diǎn)的極經(jīng)夕=.

【答案】：V5

【解析】:把直線的參數(shù)方程化為一般方程x-y+l=0,曲線C化為一般方程為V=4x,求出直線與C

的交點(diǎn)為(1，2),則0=JF淳=石

16.若不等式|2%-1|+,+2|2/+34+2對(duì)任意實(shí)數(shù)1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【答案】：-1,-

L2」

【解析】：通過不等式恒成立可知右邊需小于等于左邊的最小值，求出|2x-l|+|x+2|的最小值為

解不等式Y(jié)+La+ZK*得ae-1,-

222」

三、解答題：本大題共6小題，共乃分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算過程.

17.(本小題13分，⑴小問5分，(II)小問8分)

已知函數(shù)/(x)=6sin(公c+0)(0>O,—的圖像關(guān)于直線x=q對(duì)稱，且圖像上相

鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為左.

(I)求@和夕的值;

(II)若/圖=負(fù).<￡<笄)，求cos(a+芝)的值.

2乃

【解析】：(1)由題意/(x)最小正周期為7=乃，從而3=學(xué)=2。又/(x)圖象關(guān)于x=W7T對(duì)稱,

..-7C.TC.—TC7C?冗

故2?一+0=Z,而——4°v—得％=0,。=——

32226

(II)由(I)得丐)=代皿2.彳-6=￥。所以sin("?)=；，

7T2/^_TC7Tj..7T.\15

一<a<—1^0Wa---<一,故cos(a---)=----,

636264

37r7T7T

于是cos(a+—)=sina=sin[(a——)+一]

266

./7、7t/萬、.萬1JiV1515/3+V15

=sin（a——）cos—+cos（a——）sin—=-----+------=--------

666642428

18.（本小題滿分13分）

一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字

是2,2張卡片上的數(shù)字是3,從盒中任取3張卡片.

（1）求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；

（2）X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列（注：若三個(gè)數(shù)仇c滿足

aW力Vc,則稱匕為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)）.

【解析】：（1）由古典概型計(jì)算公式可得「=0：+、仁。

C；84

（2）X的可能值為1,2,3,由題意

C：+C：C_34_17

P(X=1)=

—C--84-42

+CCG+C；+C沮_43

P(X=2)=

飛-84

C'C271

p(X=3)=」^=—=—,

Ct8412

所以X的分布列為:

X123

174311

P

428412

1743147

從而￡(X)=lx—+2x—+3x—=—

42841228

19.（本小題滿分12分）

如圖（19）,四棱錐P—ABCD,底面是以。為中心的菱形，PO_L底面A3CO,

jr1

AB^2,ZBAD^-,M為8。上一點(diǎn)，且=—,MP_LAP.

32

（1）求尸。的長；

（2）求二面角A—PM—C的正弦值。

AB

【解析】：（1）法一：

連結(jié)AC,3。，因ABC。為菱形，則ACc3O=O,且ACLBD

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，弧礪，麗的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

O-xyz?因則QA=ABcos.=G,08=A6-sin'=l,所以0((),0,0),

A(V3,0,0),B(0,l,0),C(-V3,0,0),O月=(0,1,0),比=(",—1,0)由5M=；,6C=2知

——.1—.J31——--■——.J33J33

BM=-BC=(-J,一一,0)從而0加=08+3加=(一^,一,0)即M(——

4444444

設(shè)P(0,0,a)(a>0),而=(—G,0,a),麗=(乎,一：,&),因MPJ_AP,MPAP=Q

即：-3+4=0所以。=走，a=-巫(舍去)，故「。=且

4222

法二：由題意，PO_L面ABC。，A482A8CD都為正三角形，且OMLBC,

AM2=PA1+PM2

.?4—1cC1221

在AASyW中，A.M-=47H1----2?2?-*cos—兀=—，

4234

3

2

PA2=PO2+AO2=尸。2+3,PM=PO2+0M2=PO2+OM2=PO2+-,

4

即2=2。2+3+尸。2+3,解得po=正。

442

(2)由(1)知麗=(一百，。，岑)，麗=(￥，—(，乎)，而=(6,0，*)

設(shè)平面APA7的法向量勺=(%,y,ZI),平面PMC的法向量巧~(x2,y2,z2)

―石玉+^Z]=0

由4-AP-0,-MP=0得《得〃i=(1,—--,2)

百3G

x=0

1—4i1——4X1+-241

63G

TX2~4y2+~Z2=0

由環(huán)?礪=0,晨麗=0得<得屋=(1,一石,-2)

y/3x2+-y-Z2=0

〃i?%_7^5

從而法向量勺,〃2的夾角余弦值COS<〃],〃2>=

同，同5

V10

故所求二面角A-PM-。的正弦值為

20.（本小題滿分12分，（1）問4分，（2）問3分，（3）問5分）

已知函數(shù)/（尤）=ae2x-be-2x-cx（a力,cw火）的導(dǎo)函數(shù)尸（x）為偶函數(shù)，且曲線丁=/（x）在點(diǎn)

（0,7（0））處的切線的斜率為4—c.

（1）確定。力的值；

（2）若c=3,判斷/（x）的單調(diào)性；

（3）若/（無）有極值，求C的取值范圍.

【解析】：（1）對(duì)/（幻求導(dǎo)，（幻=2四2，+2尻3-，，由/（X）為偶函數(shù)，知/'（無）=/'（—無）,

即2（。一份92*+e-2*）=0,因e2*+e=*>0,所以。=匕。

又/(。)=2。+2。一。=4一c，故=

(2)當(dāng)c=3時(shí)，f(x)=e2x-e-2x-3x,

那么/'(x)=2e2x+le-2x-3>2^2e2x?2e-2x-3=1>0,故/(x)在R上為增函數(shù)。

(3)由(1)矢口/'(x)=2e2*+2/2-"—c,

而2e2x+2e&>2瘍7?萬產(chǎn)=4,當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.

下面分三類情況進(jìn)行討論：

當(dāng)c<4時(shí)，對(duì)任意xwR,/'(x)=2e2*+2e-2*-c>0,此時(shí)/(x)無極值；

當(dāng)c=4時(shí)，對(duì)任意XHO,/'(x)=2e2*+2e-2*-c>0,此時(shí)/(x)無極值；

當(dāng)c>4時(shí)，令*=t,注意到方程2/+Z—c=0有兩根=,,±J-—.>0,

t4

即/'(x)=0有兩根芯=glnq或/=|lnr2.

當(dāng)當(dāng)<彳<X2時(shí)，/'U）<0；又當(dāng)x>￡時(shí)，/'（x）>0,從而/"（x）在彳=彳2處取得極小值;

綜上，若/'（X）有極值，則c取值范圍為（4,-8）。

21.如題（21）圖，設(shè)橢圓部+后=1（“>/?>0）的左右焦點(diǎn)分別為《，入，點(diǎn)。在橢圓上,

濡\FF\=2反r-的面積為J2今

。耳JLK月,

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）是否存在圓心在y軸上的圓，使圓在x軸的上方與橢圓兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切

線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)，求圓的半徑..

2

因此，所求橢圓方程為：—+/=1;

2

x2

（2）設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓§+=1相交，6（內(nèi),凹）,6（馬,％）是兩個(gè)交點(diǎn)，

X>0,%>。，耳兒巴「是圓C的切線，且耳々人入鳥，,

由圓和橢圓的對(duì)稱性，易知，赴=-x,,y=%,|片司=2|%|

由⑴知片（-1,0）,瑪（1,0）,所以麗=（%+1,%）,竊=（-演-l,y），

由￡6人鳥鳥得：-（玉+1）2+短=0,

由橢圓方程得1-爭=。+1）2,

,4

即：3x1+4X]=0,解得，藥=-§或玉=0.

當(dāng)％=0時(shí)-，匕6重合，此時(shí)題設(shè)要求的圓不存在；

4

當(dāng)王=-§時(shí)，過6,6分別與鳥