專題09分式方程【專題目錄】技巧1：分式的意義及性質(zhì)的四種題型技巧2：分式運(yùn)算的八種技巧技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范圍技巧4：分式求值的方法【題型】一、分式有意義的條件【題型】二、分式的運(yùn)算【題型】三、分式的基本性質(zhì)【題型】四、解分式方程【題型】五、分式方程的解【題型】六、列分式方程【考綱要求】1、理解分式、最簡(jiǎn)分式、最簡(jiǎn)公分母的概念，掌握分式的基本性質(zhì)，能熟練地進(jìn)行約分、通分．2、能根據(jù)分式的加、減、乘、除的運(yùn)算法則解決計(jì)算、化簡(jiǎn)、求值等問題，并掌握分式有意義、無意義和值為零的約束條件．3、理解分式方程的概念，會(huì)解可化為一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超過兩個(gè))。4、了解解分式方程產(chǎn)生增根的原因，會(huì)檢驗(yàn)和對(duì)分式方程出現(xiàn)的增根進(jìn)行討論．【考點(diǎn)總結(jié)】一、分式分式的相關(guān)概念分式概念形如eq\f(A,B)(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．有意義的條件因?yàn)?不能做除數(shù)，所以在分式eq\f(A,B)中，若B≠0，則分式eq\f(A,B)有意義；若B＝0，那么分式eq\f(A,B)沒有意義．值為0在分式eq\f(A,B)中，當(dāng)A＝0且B≠0時(shí)，分式eq\f(A,B)的值為0分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘(或除以)一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變．用式子表示是：eq\f(A,B)＝eq\f(A×M,B×M)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷M,B÷M)(其中M是不等于0的整式)約分將分子、分母中的公因式約去，叫做分式的約分通分將幾個(gè)異分母的分式化為同分母的分式，這種變形叫分式的通分分式運(yùn)算分式加減同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減，即eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c).異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后相加減，即eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad±bc,bd).分式乘除分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母，即eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd).分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(ad,bc)分式的混合運(yùn)算在分式的加減乘除混合運(yùn)算中，應(yīng)先算乘除，進(jìn)行約分化簡(jiǎn)后，再進(jìn)行加減運(yùn)算，遇到有括號(hào)的，先算括號(hào)里面的．運(yùn)算結(jié)果必須是最簡(jiǎn)分式或整式．【考點(diǎn)總結(jié)】二、分式方程分式方程定義分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程解法（1）解分式方程的基本思路：將分式方程化為整式方程.（2）常用方法：①去分母;②換元法.（3）去分母法的步驟：①去分母,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程;②解所得的整式方程;③驗(yàn)根作答.（4）換元法的步驟：①設(shè)輔助未知數(shù);②得到關(guān)于輔助未知數(shù)的新方程,求出輔助未知數(shù)的值;③把輔助未知數(shù)的值代回原式中,求出原來未知數(shù)的值;④檢驗(yàn)作答.（5）解分式方程時(shí),在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程時(shí),有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根(我們把這個(gè)根叫做方程的增根),所以解分式方程時(shí)要驗(yàn)根.運(yùn)用解分式方程應(yīng)用題的關(guān)鍵是把握題意,找準(zhǔn)等量關(guān)系,列出分式方程,最后要驗(yàn)根【注意】1.約分前后分式的值要相等.2.約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式.3.約分是對(duì)分子、分母的整體進(jìn)行的，也就是分子的整體和分母的整體都除以同一個(gè)因式分式混合運(yùn)算的運(yùn)算運(yùn)算順序：1.先把除法統(tǒng)一成乘法運(yùn)算；2.分子、分母中能分解因式的多項(xiàng)式分解因式；3.確定分式的符號(hào)，然后約分；4.結(jié)果應(yīng)是最簡(jiǎn)分式.【技巧歸納】技巧1：分式的意義及性質(zhì)的四種題型【類型】一、分式的識(shí)別1．在eq\f(3x,4x－2)，eq\f(－5,x2＋7)，eq\f(4x－2,5)，2m，eq\f(x2,π＋1)，eq\f(2m2,m)中，不是分式的式子有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)2．從a－1，3＋π，2，x2＋5中任選2個(gè)構(gòu)成分式，共有________個(gè)．【類型】二、分式有無意義的條件3．若代數(shù)式eq\f(1,a－4)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．a(chǎn)＝4B．a(chǎn)>4C．a(chǎn)<4D．a(chǎn)≠44．當(dāng)x＝________時(shí)，分式eq\f(x－1,x2－1)無意義．5．已知不論x為何實(shí)數(shù)，分式eq\f(3x＋5,x2－6x＋m)總有意義，試求m的取值范圍．【類型】三、分式值為正、負(fù)數(shù)或0的條件6．若eq\f(x＋2,x2－2x＋1)的值為正數(shù)，則x的取值范圍是()A．x＜－2B．x＜1C．x＞－2且x≠1D．x＞17．若分式eq\f(3x－4,2－x)的值為負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是________．8．已知分式eq\f(a－1,a2－b2)的值為0，求a的值及b的取值范圍．【類型】四、分式的基本性質(zhì)及其應(yīng)用9．下列各式正確的是()A.eq\f(a,b)＝eq\f(a2,b2)B.eq\f(a,b)＝eq\f(ab,a＋b)C.eq\f(a,b)＝eq\f(a＋c,b＋c)D.eq\f(a,b)＝eq\f(ab,b2)10．要使式子eq\f(1,x－3)＝eq\f(x＋2,x2－x－6)從左到右的變形成立，x應(yīng)滿足的條件是()A．x＞－2B．x＝－2C．x＜－2D．x≠－211．已知eq\f(x,4)＝eq\f(y,6)＝eq\f(z,7)≠0，求eq\f(x＋2y＋3z,6x－5y＋4z)的值．12．已知x＋y＋z＝0，xyz≠0，求eq\f(x,|y＋z|)＋eq\f(y,|z＋x|)＋eq\f(z,|x＋y|)的值．技巧2：分式運(yùn)算的八種技巧【類型】一、約分計(jì)算法1．計(jì)算：eq\f(a2＋6a,a2＋3a)－eq\f(a2－9,a2＋6a＋9).【類型】二、整體通分法2．計(jì)算：a－2＋eq\f(4,a＋2).【類型】三、順次相加法3．計(jì)算：eq\f(1,x－1)＋eq\f(1,x＋1)＋eq\f(2x,x2＋1)＋eq\f(4x3,x4＋1).【類型】四、換元通分法4．計(jì)算：(3m－2n)＋eq\f(（3m－2n）3,3m－2n＋1)－(3m－2n)2＋eq\f(2n－3m,3m－2n－1).【類型】五、裂項(xiàng)相消法eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即\f(1,n（n＋1）)＝\f(1,n)－\f(1,n＋1)))5．計(jì)算：eq\f(1,a（a＋1）)＋eq\f(1,（a＋1）（a＋2）)＋eq\f(1,（a＋2）（a＋3）)＋…＋eq\f(1,（a＋99）（a＋100）).【類型】六、整體代入法6．已知eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,6)，eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,9)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,15)，求eq\f(abc,ab＋bc＋ac)的值．【類型】七、倒數(shù)求值法7．已知eq\f(x,x2－3x＋1)＝－1，求eq\f(x2,x4－9x2＋1)的值．【類型】八、消元法8．已知4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，且xyz≠0，求eq\f(5x2＋2y2－z2,2x2－3y2－10z2)的值．技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范圍【類型】一、利用分式方程解的定義求字母的值1．已知關(guān)于x的分式方程eq\f(2,x＋4)＝eq\f(m,x)與分式方程eq\f(3,2x)＝eq\f(1,x－1)的解相同，求m2－2m的值．【類型】二、利用分式方程有解求字母的取值范圍2．若關(guān)于x的方程eq\f(x－2,x－3)＝eq\f(m,x－3)＋2有解，求m的取值范圍．【類型】三、利用分式方程有增根求字母的值3．如果解關(guān)于x的分式方程eq\f(m,x－2)－eq\f(2x,2－x)＝1時(shí)出現(xiàn)增根，那么m的值為()A．－2B．2C．4D．－44．若關(guān)于x的方程eq\f(m,x2－9)＋eq\f(2,x＋3)＝eq\f(1,x－3)有增根，則增根是多少？并求方程產(chǎn)生增根時(shí)m的值．【類型】四、利用分式方程無解求字母的值5．若關(guān)于x的分式方程eq\f(x－a,x＋1)＝a無解，則a＝________.6．已知關(guān)于x的方程eq\f(x－4,x－3)－m－4＝eq\f(m,3－x)無解，求m的值．7．已知關(guān)于x的分式方程eq\f(x＋a,x－2)－eq\f(5,x)＝1.(1)若方程的增根為x＝2，求a的值；(2)若方程有增根，求a的值；(3)若方程無解，求a的值．技巧4：分式求值的方法【類型】一、直接代入法求值1．先化簡(jiǎn)，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a＋1)＋\f(a＋2,a2－1)))÷eq\f(a,a－1)，其中a＝5.【類型】二、活用公式求值2．已知實(shí)數(shù)x滿足x2－5x＋1＝0，求x4＋eq\f(1,x4)的值．3．已知x＋y＝12，xy＝9，求eq\f(x2＋3xy＋y2,x2y＋xy2)的值．【類型】三、整體代入法求值4．已知eq\f(x,y＋z)＋eq\f(y,z＋x)＋eq\f(z,x＋y)＝1，且x＋y＋z≠0，求eq\f(x2,y＋z)＋eq\f(y2,z＋x)＋eq\f(z2,x＋y)的值．【類型】四、巧變形法求值5．已知實(shí)數(shù)x滿足4x2－4x＋1＝0，求2x＋eq\f(1,2x)的值．【類型】五、設(shè)參數(shù)求值6．已知eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,4)≠0，求eq\f(x2－y2＋2z2,xy＋yz＋xz)的值．【題型講解】【題型】一、分式有意義的條件例1、使得式子SKIPIF1<0有意義的x的取值范圍是（）A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4【題型】二、分式的運(yùn)算例2、分式SKIPIF1<0化簡(jiǎn)后的結(jié)果為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型】三、分式的基本性質(zhì)例3、若SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（）A．5 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【題型】四、解分式方程例4、方程SKIPIF1<0的解是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型】五、分式方程的解例5、關(guān)于x的分式方程SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0＝1有增根，則m的值（）【題型】六、列分式方程例6、隨著快遞業(yè)務(wù)的增加，某快遞公司為快遞員更換了快捷的交通工具，公司投遞快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原來多投遞80件，若快遞公司的快遞員人數(shù)不變，求原來平均每人每周投遞快件多少件？設(shè)原來平均每人每周投遞快件SKIPIF1<0件，根據(jù)題意可列方程為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0分式方程（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）一、單選題1．（2022·廣西·富川瑤族自治縣教學(xué)研究室模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的分式方程SKIPIF1<0有解，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件是（

）A．m=-1 B．m≠-1 C．m=1 D．m≠12．（2022·海南省直轄縣級(jí)單位·二模）分式方程SKIPIF1<0的解為（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．1 D．23．（2022·天津南開·二模）化簡(jiǎn)SKIPIF1<0的結(jié)果是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·貴州貴陽·三模）計(jì)算SKIPIF1<0的結(jié)果是（

）A．2 B．－2 C．1 D．－15．（2022·江蘇淮安·一模）若分式SKIPIF1<0有意義，則x的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題6．（2022·四川省遂寧市第二中學(xué)校二模）分式方程SKIPIF1<0的解為______．7．（2022·湖南懷化·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0＝_____．三、解答題8．（2022·浙江麗水·一模）解方程：SKIPIF1<0．分式方程（提升測(cè)評(píng)）一、單選題1．（2022·遼寧葫蘆島·一模）2022年北京冬奧會(huì)的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受國內(nèi)外朋友的喜愛．某特許零售店準(zhǔn)備購進(jìn)一批吉祥物銷售．已知用600元購進(jìn)“冰墩墩”的數(shù)量與用500元購進(jìn)“雪容融”數(shù)置相同，已知購進(jìn)“冰墩墩”的單價(jià)比“雪容融”的單價(jià)多10元，設(shè)購進(jìn)“冰墩墩”的單價(jià)為x元，則列出方程正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·黑龍江牡丹江·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的方程SKIPIF1<0無解，則m的值為（

）A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或33．（2022·安徽·三模）化簡(jiǎn)SKIPIF1<0的結(jié)果是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·湖北黃石·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)SKIPIF1<0中，自變量x的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<