2022屆上海市黃浦區(qū)中考數(shù)學一模試卷

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有

一個是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上

1.（4分）已知線段。=2,b=4,如果線段b是線段。和c的比例中項，那么線段c的長度

是（）

A.8B.6C.2V2D.2

2.（4分）在RtZ\ABC中，ZC=90°,如果ZA=a,那么AC的長為（）

A.wsinaB.m?cosaC.TH0tanaD.zn*cota

3.（4分）己知一個單位向量乙設/5是非零向量，那么下列等式中正確的是（）

IT——TTTTT1->I

A.a=eB.\e\a=aC.\b\e=bD.a=b

|a||a|\b\

4.（4分）已知二次函數(shù)y=7,如果將它的圖象向左平移1個單位，再向下平移2個單位，

那么所得圖象的表達式是（）

A.（x+1）2+2B.y=（x+l）2-2C.（x-1）2+2D.（x-1）2-2

ABAC

5.（4分）在△ABC與中，NA=NO=60°,一=—,如果N3=50°,那么NE

DFDE

的度數(shù)是（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

6.（4分）如圖，點。、E分別在△ABC的兩邊BA、。的延長線上，下列條件能判定EO

〃3C的是（）

ADDEADAE

AB~BCAC~AB

C.AD-AB=DE'BCD.AD-AC^AB-AE

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.（4分）計算：2（3%-2辦+（a-26）=.

8.（4分）如圖，在△ABC中，點。、E分別在△ABC的兩邊AB、AC上，KDE//BC,如

果AE=5,EC=3,DE=4,那么線段BC的長是.

第1頁共26頁

A

9.（4分）如圖，已知AO〃BE〃CR它們依次交直線/1、，2于點A、B、C和點。、E、F.如

10.（4分）如果點P是線段AB的黃金分割點（AP>BP）,那么的值是

11.（4分）寫出一個對稱軸是直線x=l,且經(jīng)過原點的拋物線的表達式.

12.（4分）如圖，在Rt/SABC中，ZABC=90°,BD±AC,垂足為點。，如果BC=4,sin

ZDBC=I，那么線段AB的長是.

13.（4分）如果等腰AABC中，AB=AC=3,cosNB=/，那么cosN4=.

14.（4分）如圖，在△ABC中，BC=\2,8c上的高AH=8,矩形。EFG的邊EF在邊BC

上，頂點。、G分別在邊A8、AC上.設。E=x,矩形。EFG的面積為y,那么y關于x

的函數(shù)關系式是.（不需寫出x的取值范圍）.

A

BEHC

第2頁共26頁

15.（4分）如圖，將一個裝有水的杯子傾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一個寬8c

=6厘米，長CO=16厘米的矩形.當水面觸到杯口邊緣時，邊CO恰有一半露出水面，

那么此時水面高度是______厘米.

16.（4分）在△ABC中，AB=\2,AC=9,點。、E分別在邊AB、AC上，且

A8C相似，如果AE=6,那么線段4。的長是.

17.（4分）如圖，在aABC中，中線BRCE交于點G,且CE_LB尸，如果AG=5,BF=6,

那么線段CE的長星

AD3

18.（4分）如圖，在44?。中,48=4。,點/）、￡：在邊3。上，/口4七=/3=30°，且廣=二，

AE2

DE

那么靛的值是.

三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）

cos300

19.（10分）計算:—cot45°

tan60°-sin60°

第3頁共26頁

DE1TTTT

20.（10分）己知，如圖，點E在平行四邊形ABC。的邊CD上，且一=設AB=a,AD=b.

CE2

（1）ma,甘表示族；（直接寫出答案）

（2）設族在答題卷中所給的圖上畫出3之的結果.

21.（10分）某數(shù)學小組在郊外的水平空地上對無人機進行測高實驗.如圖，兩臺測角儀分

別放在A、B位置，且離地面高均為1米（即AO=8E=1米），兩臺測角儀相距50米（即

48=50米）.在某一時刻無人機位于點C（點C與點4、B在同一平面內(nèi)），A處測得其

仰角為30°,8處測得其仰角為45°.（參考數(shù)據(jù)：&=1.41,舊=1.73,sin40°*0.64,

cos40°比0.77,tan40°g0.84）

（1）求該時刻無人機的離地高度；（單位：米，結果保留整數(shù)）

（2）無人機沿水平方向向左飛行2秒后到達點尸（點尸與點A、B、C在同一平面內(nèi)），

此時于A處測得無人機的仰角為40。，求無人機水平飛行的平均速度.（單位：米/秒，

結果保留整數(shù)）

第4頁共26頁

22.(10分)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=-x+2,其頂點為A.

(1)寫出這條拋物線的開口方向、頂點4的坐標，并說明它的變化情況；

(2)直線平行于x軸，交這條拋物線于3、C兩點(點5在點C左側)，且cotNABC

=2,求點3坐標.

y

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23.(12分)已知：如圖，在平行四邊形ABC。中，過點C分別作A。、AB的垂線，交邊

A。、AB延長線于點E、F.

(1)求證：AD*DE=AB，BF；

第6頁共26頁

24.（12分）在平面直角坐標系xOy中，平移一條拋物線，如果平移后的新拋物線經(jīng)過原拋

物線頂點，且新拋物線的對稱軸是y軸，那么新拋物線稱為原拋物線的“影子拋物線”.

（1）已知原拋物線表達式是-2x+5,求它的“影子拋物線”的表達式；

（2）已知原拋物線經(jīng)過點（1,0）,且它的“影子拋物線”的表達式是y=-/+5,求原

拋物線的表達式；

（3）小明研究后提出：“如果兩條不重合的拋物線交y軸于同一點，且它們有相同的“影

子拋物線”，那么這兩條拋物線的頂點一定關于>軸對稱."你認為這個結論成立嗎？請

說明理由.

ny

o*

第7頁共26頁

25.（14分）如圖，XABC是邊長為2的等邊三角形，點D與點B分別位于直線AC的兩側,

S.AD=AC,聯(lián)結BO、CD,BO交直線AC于點￡

（1）當/。。=90°時，求線段4E的長.

（2）過點4作AHJ_C￡>,垂足為點H,直線AH交8。于點F,

C

①當NCAZ）<120°時，設AE=x,y=1空（其中SMCE表示△BCE的面積，SAAEF表

b^AEF

示△人￡尸的面積），求y關于尤的函數(shù)關系式，并寫出龍的取值范圍；

②當沁^=7時，請直接寫出線段AE的長.

SAAEF

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2022屆上海市黃浦區(qū)中考數(shù)學一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有

一個是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上.】

1.（4分）已知線段a=2,6=4,如果線段人是線段a和c?的比例中項，那么線段c的長度

是（）

A.8B.6C.2V2D.2

【解答】解：若匕是a、c的比例中項，

即b2=ac.

42=2C,

解得c=8,

故選：A.

2.（4分）在Rtz^ABC中，ZC=90°,如果ZA=a,那么AC的長為（）

A.m,sinaB./n,cosaC.zn,tanaD.m*cota

【解答】解：由題意，得

.AC

cosA=而,

AC=A8?cosA=/n?cosa,

故選：B.

3.（4分）已知一個單位向量工，設次分是非零向量，那么下列等式中正確的是（）

1~TTTT->T11T

A.-=ra=eB.\e\a=aC.|Z?le=bD.a=b

|a||a|\b\

【解答】解：A、之大與"的模相等，方向不一定相同.故錯誤.

|a|

B、正確.

C、聞之與b的模相等，方向不一定相同，故錯誤.

11T

。、與的模相等，方向不一定相同，故錯誤.

|a|\b\

故選：B.

4.（4分）已知二次函數(shù)>=/,如果將它的圖象向左平移1個單位，再向下平移2個單位,

那么所得圖象的表達式是（）

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A.y=(x+1)2+2B.y=(x+1)2-2C.y=(x-1)2+2D.y=(x-1)2-2

【解答】解：二次函數(shù)y=，，將它的圖象向左平移1個單位，再向下平移2個單位后得

到的解析式為y=(x+1)2-2.

故選：B.

5.（4分）在△ABC與△￡>￡：尸中，/A=/O=60°，一=一，如果/8=50°,那么/E

DFDE

的度數(shù)是（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【解答】解：=,竺=也，

DFDE

：.AABCSADFE,

.,.ZB=ZF=50°,/C=NE=180°-60°-50°=70°

故選：C.

6.(4分)如圖，點￡>、E分別在△ABC的兩邊BA、C4的延長線上，下列條件能判定

〃BC的是()

ADAE

A，—^—^―B.—=—

?AB~BCACAB

C.AD?AB=DE?BCD.AD*AC=AB^E

【解答】解：???NE4r>=NC48,

,AEAD

.??當—=—，

ACAB

即AD*AC=AB^Ef

J.ED//BC,

故選：D.

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.（4分）計算：2（35—2辦+（a-2b）=+4；

【解答】解：2（36-2a）+（a-26）=6b-4a+a-2b=-3a+4b,

第10頁共26頁

故答案為-3：+4b.

8.（4分）如圖，在△ABC中，點。、E分別在△ABC的兩邊AB、AC上，DE//BC,如

32

果AE=5,EC=3,DE=4,那么線段BC的長是_g_.

/^ADE^AABC,

DEAE

BC-AC

_4__5

BC~8’

32

??.8C=營,

、.,32

故答案為

9.（4分）如圖，已知AO〃8E〃CF,它們依次交直線人、，2于點A、B、C和點。、E、F.如

AQ2

果而/m⑸那么線段。E的長是

【解答】ft?：U：AD//BE//CF,

eABDE_2

9BC~EF~3

VDF=15,

.DEDEDE2

‘.EF-DF-DE~15-DE-3

解得：DE=6,

故答案為：6

第11頁共26頁

4BPy/5-1

10.（4分）如果點P是線段AB的黃金分割點（AP>BP）,那么而的值是

【解答】解：???點P是線段48的黃金分割點（AP>BP）,

.BPAP75-1

"AP~AB~2

故答案為與

2

11.（4分）寫出一個對稱軸是直線x=I,且經(jīng)過原點的拋物線的表達式答案不唯一（如y

=F-2x）.

【解答】解：符合的表達式是y=7-2x,

故答案為y=f-2x.

12.（4分）如圖，在RtZXABC中，ZABC=90°,BDLAC,垂足為點。，如果BC=4,sin

ZDBC=I，那么線段A8的長是2遍.

3-------

【解答】解：在RtZXBDC中，

2

VBC=4,sinZDBC=

28

：.CD=BCXsinZDBC=4x1

:.BD=>JBC2-CD2=警，

VZABC=90°,BDLAC,

：./A=NDBC,

在RlAABD中，

.nBD4店3Gf=

-'AAB=^ZA=—X2=2^'

故答案為：2b.

17

13.（4分）如果等腰△A3C中，AB=AC=3,cosZB=4，那么cosNA=-.

【解答】解：過點A作ADL8C,垂足為。，過點。作CE_LA8,垂足為E,

???ZADB=90°

第12頁共26頁

.?.在△4OC中，cosZB=

"：AB=AC,ADLBC

:.BD=DC,

:?BC=2,

：.AD=y/AB2-BD2=V32-l2=2魚

11

"：-AB'CE=^BCAD,

22

.?BCAD2x2724^2

：.AE=yjAC2-CE2=g

AE7

???cosZ7_AA=--^Q=-可_=g，

7

故答案為

BADC

14.（4分）如圖，在△ABC中，BC=\2,BC上的高A，=8,矩形DEFG的邊E尸在邊BC

上，頂點。、G分別在邊AB、AC上.設￡>E=x,矩形。EFG的面積為y,那么），關于x

的函數(shù)關系式是y=—,F+i2x.（不需寫出x的取值范圍）.

【解答】解：；四邊形OEFG是矩形，8c=12,8c上的高AH=8,DE=x,矩形DEFG

的面積為y,

J.DG//EF,

△AOGs/MBC,

第13頁共26頁

.3-xDG

??~",

812

得DG=

：.y=x-3（8~X）=-|x2+12x,

故答案為：y=—|x2+12x.

15.（4分）如圖，將一個裝有水的杯子傾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一個寬BC

=6厘米，長CD=16厘米的矩形.當水面觸到杯口邊緣時，邊C。恰有一半露出水面，

那么此時水面高度是9.6厘米.

【解答】解：如圖所示：作于點E,

1

由題意可得，BC=6cm,CF=^DC=Scm,

故BF=VFC2+BC2=V62+82=10(cm),

可得：NCFB=NBAE,/C=/AEB,

故△/?尸

.BCFB

??=,

EBAB

.6_10

??=,

BE16

解得：BE=9.6.

故答案為：9.6.

16.（4分）在△ABC中，AB=]2,AC=9,點。、E分別在邊AB、AC上，且△4￡>￡與4

第14頁共26頁

9

ABC相似，如果A￡=6,那么線段的長是8或a.

【解答】解：如圖

?：NDAE=NBAC,

:?當△ADES/\ABC,

.ABAD

??,

ACAE

12AD

即—=—，

96

解得：AD=8,

???當△4E￡)s/\ABC

.ABAE

??—,

ACAD

126

即—=一,

Q

解得：AO=*,

9

故答案為：8或:;

2

17.（4分）如圖，在aABC中，中線BF、CE交于點G,且CEJ_BF,如果AG=5,BF=6,

9

那么線段CE的長是一.

—2-

【解答】解：如圖，延長AG交8C于K.

第15頁共26頁

A

?，點G是△ABC的重心，

：.AG=2GK,BG=2GF,CG=2EG,

VAG=5,BF=6,

???GK=|,BG=4,

?：CE工BF,

???N3GC=90°,

:.BC=2GK=5,CG=y/BC2-BG2=V52-42=3,

13

：.EG="G=I，

3Q

/.EC=3+|=|.

9

故答案與

AD3

18.（4分）如圖，在△ABC中,AB=AC,點。、E在邊3C上，/。4￡：=/8=30°，且一=一

AE2

DE413A/3

那么^的值是一才一』

【解答】解：,??A3=AC,

???NC=N8=30°,

?；NDAE=NB=30°,

???ZDAE=ZB=ZC,

丁ZAED=ZBEA,

：./\ADE^/\BAE,

.ADAEDE

AB~BE~AE"

第16頁共26頁

：.AE1=DEXBE,

同理：XKDEsX3A、

.ADDE

?.=>

CDAD

1

：.AD=DEXCDf

29

=-

4

設CD=9x,則8E=4x,

..AOAE

?AB~BE'

An2

：.AB=等xBE=*x4x=6x,

作AM_LBC于M,如圖所示:

*：AB=AC.

1

:?BM=CM=渺,

VZB=30°,

：.AM=^AB=3xfBM=6AM=3?C,

：.BC=2BM=6y/3xf

：?DE=BE+CD-BC=I3x-6V3x,

.DE13%-6任136

"BC~6A/3X-18

13^3

故答案為：——1.

18

三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）

COS300

19.（10分）計算:-cot45°

tan6Q0-sin600

【解答】解:原式二~T

西一堂

=0.

DE1-tTT

20.（10分）已知，如圖，點E在平行四邊形ABCQ的邊CD上，且一=設48=a,AD=b.

CE2

第17頁共26頁

（1）用工:表示旋；（直接寫出答案）

（2）設族=六在答題卷中所給的圖上畫出3”的結果.

DE111

【解答】解：⑴V—=BPDE=^CE,DE=/C,

CE223

T]TT

AE=+b

(2)如圖所示：延長AE、BC交于G,則肉即為3-35的結果.

???四邊形A8CO是平行四邊形

C.AD//BC

tDE_AE1

~EG~2

：.AG=3AE

又:族="

：.AG=3"

GB=a—3c.

21.（10分）某數(shù)學小組在郊外的水平空地上對無人機進行測高實驗.如圖，兩臺測角儀分

別放在A、8位置，且離地面高均為1米（即AO=BE=1米），兩臺測角儀相距50米（即

AB=50米）.在某一時刻無人機位于點C（點C與點A、B在同一平面內(nèi)），A處測得其

仰角為30°,B處測得其仰角為45°.（參考數(shù)據(jù)：舊=1.73,sin40°g0.64,

cos400^0.77,tan400弋0.84）

（1）求該時刻無人機的離地高度；（單位：米，結果保留整數(shù)）

（2）無人機沿水平方向向左飛行2秒后到達點尸（點尸與點4、B、C在同一平面內(nèi)）,

第18頁共26頁

此時于4處測得無人機的仰角為40°,求無人機水平飛行的平均速度.（單位：米/秒,

結果保留整數(shù)）

【解答】解：（1）如圖，過點C作C//LA8,垂足為點”,

VZCBA=45°,

:.BH=CH,

設CH=x,則

?.,在RtZ\AC”中，NCA8=30°,

.'.AH=V3CH=V3x.

.*.x+V3x=50.

解得「=磊3

.*.18+1=19.

答：計算得到的無人機的高約為19加

（2）過點F作FGLAB,垂足為點G,

nr

在RtAAGF中，tan/.FAG=券，

.ArPG18

又4H=V3C/7x31.14.

31.14-21.4-31.14+21.4

/.----------------?5,或-----------x26

22

答：計算得到的無人機的平均速度約為5米/秒或26米/秒.

22.（10分）在平面直角坐標系xQy中，已知拋物線y=-//-x+2,其頂點為A.

第19頁共26頁

（1）寫出這條拋物線的開口方向、頂點A的坐標，并說明它的變化情況；

（2）直線3c平行于x軸，交這條拋物線于3、C兩點（點8在點C左側），且cotNA3c

=2,求點3坐標.

0x

【解答】解：⑴拋物線、=一勿7+2=4G+2）2+3的開口方向向下，頂點A

的坐標是（-2,3）,

拋物線的變化情況是：在對稱軸直線x=-2左側部分是上升的，右側部分是下降的；

（2）如圖，設直線BC與對稱軸交于點。，則

設線段AD的長為m,則BD^AD*cotZABC=2m,

??.點B的坐標可表示為（-2%-2,3-m）,

11

代入y=-4/—x+2,得3—m——/（-2m—2產(chǎn)—（—2m—2）+2.

解得，"1=0（舍），W2=l>

，點B的坐標為（-4,2）.

23.（12分）已知：如圖，在平行四邊形ABCO中，過點C分別作A。、AB的垂線，交邊

AD.A8延長線于點E、F.

第20頁共26頁

(1)求證：AD?DE=AB?BF；

【解答】解：(1)???四邊形A8CD是平行四邊形,

C.CD//AB,AD//BC,

工NCDE=NDAB,NCBF=NDAB,

：.ZCDE=/CBF,

,:CELAE,CF.LAFf

：.ZCED=ZCFB=90°,

:?△CDEs/\CBF,

.BCCD

??—,

BFDE

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.BC=ADfCD=AB,

.ADAB

??1—,

BFDE

:?AD?DE=AB?BF.

(2)一=一,NCED=NCFB=90°,

DECD

：.AACFsACDE,

又?:△CDEs/\CBF,

???AACF^ACBF,

?S"CA_4c2

S〉CBFBC?’

???ZVIC尸與△C3F等高，

?S"CF_竺

SLCBFBF,

第21頁共26頁

.AC2AF

BC2-BF'

24.(12分)在平面直角坐標系xOy中，平移一條拋物線，如果平移后的新拋物線經(jīng)過原拋

物線頂點，且新拋物線的對稱軸是y軸，那么新拋物線稱為原拋物線的“影子拋物線”.

(1)已知原拋物線表達式是y=/-2x+5,求它的“影子拋物線”的表達式；

(2)已知原拋物線經(jīng)過點(1,0),且它的“影子拋物線”的表達式是y=--+5,求原

拋物線的表達式；

(3)小明研究后提出：“如果兩條不重合的拋物線交y軸于同一點，且它們有相同的''影

子拋物線”，那么這兩條拋物線的頂點一定關于y軸對稱.”你認為這個結論成立嗎？請

說明理由.

ny

oX

【解答】解：(1)?.?原拋物線表達式是y=f-2x+5=(x-1)2+4

.?.原拋物線頂點是(1,4),

設影子拋物線表達式是＞=/+〃，

將(1,4)代入y=/+〃，解得〃=3,

所以“影子拋物線”的表達式是y=/+3；

(2)設原拋物線表達式是y=-(x+m)2+k,

則原拋物線頂點是(-m,k),

將(-m,k)代入y--7+5,得-(-m)2+5—kQ),

將(1,0)代入y=-(x+/w)~+k,0=-(1+m)2+k(2),

由①、②解得償二；管:

所以，原拋物線表達式是y=-(戶1)2+4或丫=-(x-2)2+1；

第22頁共26頁

（3）結論成立.

設影子拋物線表達式是>=蘇+〃.原拋物線于y軸交點坐標為（0,。）

則兩條原拋物線可表示為與拋物線”=/+為x+c（其中。、bi、歷、。是

常數(shù)，且加工歷）

22

由題意，可知兩個拋物線的頂點分別是心（-2，筆3）、「2（-監(jiān)，埠”）

乙C4*CXI*CX

將尸I、Pi分別代入y=“/+〃，

=索

1寸、1。（一知+"號2

消去n得bi2-br，

?廿歷,

：.b\=-bi

.pA4ac-b：、也4ac-b：、

,,Pi（2a，4a>