屆洛陽市偃師區(qū)高三數(shù)學上學期期末考試卷2024.1一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．2．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B． C．1 D．23．已知平面單位向量，，滿足，則（

）A．0 B．1 C． D．4．已知函數(shù)的定義域為B，函數(shù)的定義域為，若，使得恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．設(shè)函數(shù)的定義域為D，，，當時，恒有，則稱點為函數(shù)圖象的對稱中心．利用對稱中心的上述定義，研究函數(shù)，可得到（

）A．0 B．2023 C．4046 D．40476．函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，所得的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．87．等比數(shù)列中，，數(shù)列，的前n項和為，則滿足的n的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．98．已知過橢圓左焦點且與長軸垂直的弦長為，過點且斜率為－1的直線與相交于，兩點，若恰好是的中點，則橢圓上一點到的距離的最大值為（

）A．6 B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9．已知，，設(shè)，，則以下四個命題中正確的是（

）A．若，則有最小值 B．若，則有最大值2C．若，則 D．若，則有最小值10．已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（

）A．B．的圖象關(guān)于直線對稱C．D．在上的值域為11．已知正四棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，點為側(cè)棱上的動點（包括端點），平面．下列說法正確的有（

）A．異面直線與可能垂直B．直線與平面可能垂直C．與平面所成角的正弦值的范圍為D．若且，則平面截正四棱柱所得截面多邊形的周長為12．已知，，若與圖像的公共點個數(shù)為，且這些公共點的橫坐標從小到大依次為，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知平面向量，若與垂直，則實數(shù).14．已知函數(shù)，若方程有解，則實數(shù)的取值范圍是．15．已知函數(shù)（，）有且僅有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是．16．已知數(shù)列中，，，，數(shù)列的前n項和為.若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知角，（，）的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，點，分別在角，的終邊上.(1)設(shè)函數(shù)，，求函數(shù)的值域；(2)若點在角的終邊上，且線段的長度為，求的面積.18．已知數(shù)列的前n項和為，等比數(shù)列的前n項和為，且，，，.(1)求，；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和.19．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中點，平面ABE與線段PD交于點F.(1)證明：F為PD的中點；(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線BE與平面PAD所成角的正弦值.條件①：三角形BCF的面積為；條件②：三棱錐的體積為1.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.20．過拋物線的焦點作斜率分別為的兩條不同的直線，且相交于點，，相交于點，．以，為直徑的圓，圓為圓心的公共弦所在的直線記為．(1)若，求；(2)若，求點到直線的距離的最小值．21．某疫苗生產(chǎn)單位通過驗血的方式檢驗某種疫苗產(chǎn)生抗體情況，現(xiàn)有份血液樣本（數(shù)量足夠大），有以下兩種檢驗方式：方式一：逐份檢驗，需要檢驗n次；方式二：混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本混合檢驗，若混合血樣無抗體，說明這k份血液樣本全無抗體，只需檢驗1次；若混合血樣有抗體，為了明確具體哪份血液樣本有抗體，需要對每份血液樣本再分別化驗一次，檢驗總次數(shù)為次．假設(shè)每份樣本的檢驗結(jié)果相互獨立，每份樣本有抗體的概率均為．(1)現(xiàn)有7份不同的血液樣本，其中只有3份血液樣本有抗體，采用逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)過4次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率；(2)現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為；采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為．①若，求P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；②已知，以檢驗總次數(shù)的期望為依據(jù)，討論采用何種檢驗方式更好？參考數(shù)據(jù)：．22．已知函數(shù)，為的導函數(shù)．(1)當時，討論函數(shù)的單調(diào)性(2)已知，，若存在，使得成立，求證：．1．C【分析】先求出集合，再逐個分析判斷即可.【詳解】由，得，解得，所以，因為，，所以，所以，所以，，，，所以ABD錯誤，C正確，故選：C．2．C【分析】設(shè)，，根據(jù)復數(shù)模的計算公式得到方程，解得即可.【詳解】設(shè)，，則，因為，所以，則，解得，所以復數(shù)的虛部為.故選：C3．C【分析】根據(jù)可得，替換，利用數(shù)量積的運算即可求解.【詳解】如圖，設(shè)，，因為，所以平行四邊形為菱形，則為正三角形，所以，且反向，所以，所以，因為，所以，故選:C.4．C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域求得集合，利用分離常數(shù)法、基本不等式求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域為，即，所以，所以的定義域，由于，，所以在區(qū)間上恒成立，由于，當且僅當時等號成立，所以，即的取值范圍是.故選：C5．D【分析】根據(jù)題中定義可知的圖象關(guān)于點對稱，然后根據(jù)對稱性即可求解.【詳解】的定義域為R.因為，所以的圖象關(guān)于點對稱.所以.故選：D6．B【分析】首先利用輔助角公式化簡函數(shù)，并得到，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求得，并代入后，利用基本不等式，即可求解.【詳解】，其中，函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)為偶函數(shù)，則當時，，，即，則，，，，即，因為，所以，，所以，當，即時，等號成立，所以的最小值為4.故選：B7．A【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式得到，之后代入題中式子求得，利用裂項相消法求和，之后求得所滿足的條件，最后確定出的最小值.【詳解】由題意得，所以，所以，令，整理得，解得，故選：A.8．D【分析】利用橢圓的方程和性質(zhì)及直線與橢圓位置關(guān)系即可解決.【詳解】由過橢圓左焦點且與長軸垂直的弦長為，可得橢圓過點，代入方程得.設(shè)則，兩式作差得，即，因為恰好是的中點，所以，又因為直線AB斜率為-1，所以，將它們代入上式得，則聯(lián)立方程解得.所以橢圓上一點到的距離的最大值為.故選：D9．BC【分析】利用基本不等式及二次函數(shù)性質(zhì)求各項對應代數(shù)式的最值，注意取值條件，即可判斷各項正誤.【詳解】A：，由，當且僅當時等號成立，錯；B：，當且僅當時等號成立，即，可得，所以有最大值2，對；C：，則，又，，則，可得，所以，對；D：由題設(shè)，即，當且僅當時等號成立，所以，錯.故選：BC10．AC【分析】結(jié)合函數(shù)圖像求出的解析式，進而判斷AC；利用代入檢驗法可判斷B；利用換元法和三角函數(shù)性質(zhì)求出在上的值域可判斷D.【詳解】由圖像可知，，，故A正確；從而，又由，，因為，所以，從而，故C正確；因為，所以不是的對稱軸，故B錯誤；當時，則，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為，，所以，故，即，從而，即在上的值域為，故D錯誤.故選：AC.11．AC【分析】對A，在平面內(nèi)作，交于點，由平面得，所以平面，則；對B，不可能平行，故與不可能垂直；對C，則與平面所成角的正弦值的范圍等同于與所成角的余弦值的范圍，求解判斷即可；對D，由題意知為的中點，可證得，由平面得，所以平面，所以，同理，所以平面，所以平面即平面，三角形即平面截正四棱柱所得截面的多邊形．【詳解】對A，在平面內(nèi)作，交于點，在正四棱柱中，因為平面，平面，所以，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以．故A正確；對B，不可能平行，故與不可能垂直，故B錯誤；

對C，如圖：

連接，，平面，則與平面所成角的正弦值的范圍等同于與所成角的余弦值的范圍，在直角三角形中，，當點由點向移動時，逐漸增大，在直角三角形中，，在直角三角形中，，，則，，則，，故C正確，對D，如圖：

由題意知為的中點，連接，，，，，，在直角三角形中，，同理，由題意知，所以，所以，在正四棱柱中，因為平面，平面，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以，同理，又平面，平面，，所以平面，所以平面即平面，三角形即平面截正四棱柱所得截面的多邊形，其周長為，故D錯誤.故選：AC．12．BC【分析】對于A，由題意，作圖，根據(jù)對稱性以及公共點所在區(qū)間，可得答案；對于B，由題意，作圖，可得函數(shù)在處相切，可得方程，結(jié)合三角恒等式，可得答案；對于C，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，兩函數(shù)作差構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究其零點個數(shù)，可得答案；對于D，利用三角函數(shù)的值域與周期性，可得答案.【詳解】對于A，當時，如下圖，

則，，所以，又圖像關(guān)于對稱，結(jié)合圖像有，即有，故A錯誤；對于B，當時，如下圖，

易知在，且，與圖像相切，由當時，，則，，故，從而，所以，故B正確；對于C，令，顯然有，即是方程的一個根，又易知，是偶函數(shù)且，因為，所以時，沒有零點，令，則，當時，，又過原點，當時，是在原點的切線，如圖，

所以時，，故C正確；對于D，當時，由，與的圖像在軸右側(cè)的前個周期中，每個周期均有個公共點，共有個公共點，故D錯誤.故選：BC.【點睛】關(guān)鍵點晴：對于選項A和D，處理的關(guān)鍵在于，借助函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像的對稱性和周期性解決問題；對于選項B和D，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)來解決問題.13．【分析】根據(jù)平面向量垂直的坐標運算即可求出結(jié)果.【詳解】因為與垂直，所以，即，，解得.故答案為：.14．【分析】換元后利用參變分離，最后用基本不等式進行求解.【詳解】由題意得：有解令有解，即有解，顯然無意義,當且僅當，即時取等，故答案為：.15．【分析】利用函數(shù)的零點個數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程的根的個數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性，轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】令，得，由題意方程在上有且僅有兩個實根，由，得，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16．【分析】先根據(jù)累積法求得，再用裂項相消法求得，最后根據(jù)不等式恒成立可求解.【詳解】由得，則有，化簡得，即，所以，所以，所以不等式恒成立，則有.故答案為：17．(1)(2)【分析】（1）先由任意角三角函數(shù)的定義結(jié)合的取值范圍確定的大小，再求的值域（2）先由任意角三角函數(shù)的定義結(jié)合的取值范圍確定的大小，從而求出的大小，再利用余弦定理，求出的長度，確定出點在上的位置之后，即可求的面積【詳解】（1）∵的終邊過點，∴，.∵，∴.則，∵，∴，∴，∴，即的值域是.（2）∵的終邊過點，∴，.∵，∴，∴.由余弦定理可得，，∴，解得.∵，∴為的中點，∴則的面積18．(1)，(2)【分析】（1）利用求得，通過計算的首項和公比，由此求得.（2）結(jié)合錯位相減法、分組求和法求得.【詳解】（1）當時，，又，滿足，∴.，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由于，所以解得，，.∴.（2）由（1），得.令，的前n項和為，則.，∴，∴.令，是等差數(shù)列，的前n項和為，則，∴.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面平行的判定證面，再由線面平行的性質(zhì)可證，進而有△中為中位線，即可證結(jié)論；（2）由線面垂直的性質(zhì)、判定證兩兩垂直，且面，構(gòu)建空間直角坐標系，根據(jù)所選條件求得，進而求直線方向向量和面的法向量，利用線面角夾角的向量求法求其正弦值.【詳解】（1）由底面ABCD是矩形，則，而面，面，所以面，又E是PC的中點，面ABE與線段PD交于點F，即面面，而面，則，故，△中為中位線，故F為PD的中點；（2）由底面ABCD，面，則，又，由，面，則面，由面，故，即△為直角三角形，且；由面，則面面，同理有面面；又面，故，又，所以兩兩垂直，可構(gòu)建如下空間直角坐標系，選①，則，故，而，選②，由，而，所以；此時，，，則，又是面的一個法向量，若直線BE與平面PAD所成角為，所以.20．(1)24(2)【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線的方程可得關(guān)于的一元二次方程，從而可得，，進而可得點的坐標，即可得到的坐標表示，同理可得，求解即可；（2）結(jié)合（1），根據(jù)拋物線的定義得，，進而可得，即可得到圓的半徑，從而可得到圓的方程，同理也可得到圓的方程，兩圓方程相減即可得到直線的方程，再根據(jù)點到直線的距離公式即可求解．【詳解】（1）依題意，拋物線的焦點為，且其在拋物線內(nèi)部，設(shè)直線的方程為，由，得，設(shè)，兩點的坐標分別為，則是上述方程的兩個實數(shù)根，所以所以點的坐標為，，同理可得的坐標為，，于是，又，所以．（2）結(jié)合（1），由拋物線的定義得，，所以，所以圓的半徑，所以圓的方程為化簡得，同理可得圓的方程為，于是圓與圓的公共弦所在直線的方程為，又，則直線的方程為，所以點到直線的距離，故當時，取最小值．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答小問（2）的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的定義求得，，進而可得，從而得到圓的半徑，可得到圓的方程，同理可得到圓的方程，再根據(jù)點到直線的距離公式求解．21．(1)(2)答案見解析【分析】（1）分為兩種情況，一種是前三次檢驗中，其中兩次檢驗出抗體，第四次檢驗出抗體，二是前四次均無抗體，再結(jié)合概率公式即可求解；（2）①由已知得，的所有可能取值為1，，求出相應的概率，再由可求得P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；②由得（且），構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求解其單調(diào)區(qū)間，討論可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)恰好經(jīng)過4次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來為事件，事件分為兩種情況，一種是前三次檢驗中，其中兩次檢驗出抗體，第四次檢驗出抗體，二是前四次均無抗體，所以，所以恰好經(jīng)過4次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率為，（2）①由已知得，的所有可能取值為1，，所