湖南省百校大聯(lián)考20232024年高二12月考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊、第二冊，選擇性必修第一冊、第二冊至．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用交集的運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：A2.復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意知，．故選：D3.已知為拋物線：（）上一點(diǎn)，點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為9，到軸的距離為6，則（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義結(jié)合題意可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為9，到軸的距離為6，所以，則．故選：C4.若直線：與直線：平行，則（）A. B.2 C.或2 D.1或【答案】B【解析】【分析】利用兩直線平行的必要條件（系數(shù)交叉相乘積相等）求得的值，再檢驗(yàn)，排除重合的情況即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解得或．?dāng)時(shí)，與重合，不符合題意．當(dāng)時(shí)，，符合題意．故選：B.5.有編號(hào)互不相同的五個(gè)砝碼，其中3克、1克的砝碼各兩個(gè)，2克的砝碼一個(gè)，從中隨機(jī)選取兩個(gè)砝碼，則這兩個(gè)砝碼的總重量超過4克的概率為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用列舉法列舉出樣本空間，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】記3克的砝碼為，，1克的砝碼為，，2克的砝碼為，從中隨機(jī)選取兩個(gè)砝碼，樣本空間，共有10個(gè)樣本點(diǎn)，其中事件“這兩個(gè)砝碼的總重量超過4克”包含3個(gè)樣本點(diǎn)，故所求的概率為．故選：A.6.已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用圖象得出，，進(jìn)而求得，再代入點(diǎn)坐標(biāo)，可得，進(jìn)而求出.【詳解】由函數(shù)的圖像可知，，則，．由，解得，則，故，.故選：B7.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，（）A.37 B.36 C.18 D.19【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)與前項(xiàng)和公式推得，，從而得解.【詳解】因?yàn)?，，所以，，從而?dāng)時(shí)，取得最大值．故選：C.8.已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與的右支交于點(diǎn)，，，則的離心率為（）A.3 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中點(diǎn)為，連接，,根據(jù)題意得到，求得，結(jié)合，得到，結(jié)合雙曲線的定義，得到，即可求解.【詳解】如圖所示，雙曲線的右焦點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，,因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，則，可得，又因?yàn)椋?，則，，可得，所以的離心率為．故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.甲同學(xué)通過數(shù)列3，5，9，17，33，…的前5項(xiàng)，得到該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，根據(jù)甲同學(xué)得到的通項(xiàng)公式，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.該數(shù)列為遞增數(shù)列 D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)首項(xiàng)可得，再逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】對AB，由，得，故，故A正確，B錯(cuò)誤；對C，得該數(shù)列為遞增數(shù)列，故C正確；對D，，則，故D正確.故選：ACD10.某班有男生30人；女生20人，其中男生身高（單位：厘米）的平均值為170，身高的方差為24，女生身高的平均值為160，身高的方差為19，則（）A.該班全體學(xué)生身高的平均值為165 B.該班全體學(xué)生身高的平均值為166C.該班全體學(xué)生身高的方差為46 D.該班全體學(xué)生身高的方差為44【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)與方差公式求解即可.【詳解】由題可知，該班全體學(xué)生身高的平均值為，該班全體學(xué)生身高的方差為．故選：BC11.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，且它們的離心率互為倒數(shù)，是與的一個(gè)公共點(diǎn)，則（）A. B.C.為直角三角形 D.上存在一點(diǎn)，使得【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可推出橢圓的值，根據(jù)橢圓與雙曲線定義即可判斷AB；聯(lián)立關(guān)系式求出的值，根據(jù)三邊關(guān)系即可判斷C；若，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，聯(lián)立方程求解即可判斷D.【詳解】設(shè)，，雙曲線的半實(shí)軸為，半虛軸為，橢圓的離心率為與雙曲線的離心率為，由雙曲線的方程可知：，，則，，則，橢圓的離心率為，則，解得.對于選項(xiàng)A：由雙曲線定義可知：，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：由橢圓定義可知：，故B正確；對于選項(xiàng)C：根據(jù)對稱性，不妨設(shè)在第一象限，則，解得即，可知，所以為直角三角形，故C正確；對于選項(xiàng)D：若，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，聯(lián)立方程，方程組無解，所以上不存在一點(diǎn)，使得，故D錯(cuò)誤；故選：BC.12.數(shù)學(xué)探究課上，小王從世界名畫《記憶的永恒》中獲得靈感，創(chuàng)作出了如圖1所示的《垂直時(shí)光》.已知《垂直時(shí)光》是由兩塊半圓形鐘組件和三根指針組成的，它如同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圓形鐘沿著直徑折成了直二面角（其中對應(yīng)鐘上數(shù)字對應(yīng)鐘上數(shù)字9）.設(shè)的中點(diǎn)為，若長度為2的時(shí)針指向了鐘上數(shù)字8，長度為3的分針指向了鐘上數(shù)字12.現(xiàn)在小王準(zhǔn)備安裝長度為3的秒針（安裝完秒針后，不考慮時(shí)針與分針可能產(chǎn)生的偏移，不考慮三根指針的粗細(xì)），則下列說法正確的是（）A.若秒針指向了鐘上數(shù)字5，如圖2，則B.若秒針指向了鐘上數(shù)字5，如圖2，則平面C.若秒針指向了鐘上數(shù)字4，如圖3，則與所成角的余弦值為D.若秒針指向了鐘上數(shù)字4，如圖3，則四面體的外接球的表面積為【答案】ACD【解析】【分析】分別用立體幾何中空間向量法判斷A，B，C，求出四面體的外接球的表面積，判斷D.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.若秒針指向了鐘上數(shù)字5，則，則，，所以，A正確.，故是平面的一個(gè)法向量.因，所以，所以與不垂直，從而與平面不平行，B不正確.若秒針指向了鐘上數(shù)字4，則，，，C正確.由，得.因?yàn)?，所以外接圓的半徑，則四面體的外接球的半徑，則，故四面體的外接球的表面積為，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，若，則______．【答案】2或【解析】【分析】根據(jù)向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，解得或．故答案為?或.14.已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)R上的奇函數(shù)特征易得和，代入即得.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，，則．故答案為：.15.某公司2015年全年生產(chǎn)某種商品10000件，在后續(xù)的幾年中，后一年該商品的產(chǎn)量都是前一年的120%，則該商品年產(chǎn)量超過20000件時(shí)，至少需要經(jīng)過______年．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即得.【詳解】設(shè)經(jīng)過年后，該商品年產(chǎn)量超過20000件，則，即．因?yàn)?，，所以至少需要?jīng)過4年．故答案為：416.若，是平面內(nèi)不同的兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足（且），則點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓定義可確定，利用三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，即為所求最大值.【詳解】設(shè)，則，整理得，則是圓：上一點(diǎn)，由，得,如圖所示故，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)取得最大值．又因?yàn)?所以的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，證明是等差數(shù)列，并求的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）證明見解析，【解析】【分析】（1）設(shè)的公比為（），然后根據(jù)題意列方程可求出，從而可求出；（2）由（1）可得，從而可證得是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而可求出.【小問1詳解】設(shè)的公比為（），由，得，解得或（舍去），因?yàn)?，所以．【小?詳解】由（1）可知，，則．因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，故．18.已知圓與圓關(guān)于直線對稱．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記與的公共點(diǎn)為，求四邊形的面積．【答案】（1）（2）9【解析】【分析】（1）找到圓的圓心，半徑，利用圓與圓關(guān)于對稱，求出圓心和半徑即可;（2）求出圓心距與到直線的距離，結(jié)合對稱性即可求解.【小問1詳解】將的方程轉(zhuǎn)化為，可得的圓心為，半徑為3．設(shè)的圓心為，半徑為，因?yàn)榕c關(guān)于直線：對稱，所以解得故的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】，根據(jù)對稱性可知到直線的距離，則，則四邊形的面積．19.的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．已知，，成等差數(shù)列．（1）若，求；（2）若，當(dāng)取得最小值時(shí)，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合正弦的差角公式，結(jié)合等差中項(xiàng)計(jì)算即可；（2）根據(jù)余弦定理及基本不等式先求取最小值時(shí)的邊長，再利用三角形面積公式計(jì)算即可.小問1詳解】因?yàn)?，所以，即，即，于是有所以或，解得或（舍去）．因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以．由，得，所以，即，所以．【小問2詳解】由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，所以的面積．20.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，由，得，則，則．因?yàn)?，所以，所以是?為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，則．【小問2詳解】由（1）可知，則．21.如圖，在四棱錐中，，，與均為正三角形.（1）證明：平面.（2）證明：平面.（3）設(shè)平面平面，平面平面，若直線與確定的平面為平面，線段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由已知得出，即可根據(jù)線面平行的判定證明；（2）取的中點(diǎn)，連接，過作平面，垂足為，連接，，，，通過已知得，通過線面垂直的判定與性質(zhì)得出，通過中位線得出，即可得出，再通過勾股定理得出，即可證明；（3）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，得出各點(diǎn)坐標(biāo)，通過點(diǎn)到平面距離的向量求法即可求出.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，則四邊形為正方形.過作平面，垂足為.連接，，，.由和均為正三角形，得，所以，即點(diǎn)為正方形對角線的交點(diǎn)，則.因?yàn)槠矫?，且平面，所以，又，且平?平面,所以平面，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，因此.因，所以，又，平面，平面，所以平面.【小問3詳解】設(shè)，連接，則直線為直線，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫移矫嫫矫?，所?由（1）知，，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，得.又，所以點(diǎn)到平面的距離.22.已知雙曲線的焦距為，點(diǎn)在上．（1）求的方程；（2），分別為的左、右焦點(diǎn)，過外一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，若直線、互相垂直，求周長的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意可得，即可求出、，從而得解；（2）依題意、的斜率均存在，設(shè)，過點(diǎn)且與相切的直線為，聯(lián)立直