模型介紹模型介紹全等三角形的模型種類多，其中有關中點的模型與垂直模型在前面的專題已經很詳細的講解，這里就不在重復.模型一、截長補短模型①截長：在較長的線段上截取另外兩條較短的線段。如圖所示，在BF上截取BM=DF，易證△BMC≌△DFC（SAS），則MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF為等腰直角三角形，又可證∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四邊形CGFM為平行四邊形，則CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.②補短：選取兩條較短線段中的一條進行延長，使得較短的兩條線段共線并尋求解題突破。如圖所示，延長GC至N，使CN=DF，易證△CDF≌△BCN（SAS），可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，又知∠FGC=45°，可證BN∥FG，于是四邊形BFGN為平行四邊形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.模型二、平移全等模型模型三、對稱全等模型模型四、旋轉全等模型模型五、手拉手全等模型例題例題精講模型一、截長補短模型【例1】.如圖，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，則∠C＝．變式訓練【變式1-1】．如圖，點P是△ABC三個內角的角平分線的交點，連接AP、BP、CP，∠ACB＝60°，且CA+AP＝BC，則∠CAB的度數為（）A．60° B．70° C．80° D．90°【變式1-2】．如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求證：∠A+∠C＝180°．【變式1-3】．如圖，△ABC為等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D在線段AB上，連接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，過C作CE⊥CD，且CE＝CD，連接DE，交BC于F．（1）求△CDE的面積；（2）證明：DF+CF＝EF．模型二、平移全等模型【例2】．如圖，在四邊形ABCD中，E是AB的中點，AD∥EC，∠AED＝∠B．（1）求證：△AED≌△EBC．（2）當AB＝6時，求CD的長．變式訓練【變式2-1】．如圖1，A，B，C，D在同一直線上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求證：△AFC≌△DEB．如果將BD沿著AD邊的方向平行移動，如圖2，3時，其余條件不變，結論是否成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．【變式2-2】．如圖，AD，BF相交于點O，AB∥DF，AB＝DF，點E與點C在BF上，且BE＝CF．（1）求證：△ABC≌△DFE；（2）求證：點O為BF的中點．【變式2-3】．如圖，△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D在AB上．（1）求證：△AOC≌△BOD；（2）若AD＝1，∠ADC＝60°，求CD的長．模型三、對稱全等模型【例3】．如圖，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分線與∠CBA的角平分線相交于點P，且D，P，C在同一條直線上．（1）求∠PAD的度數；（2）求證：P是線段CD的中點．變式訓練【變式3-1】．如圖，AB＝AC，D、E分別是AB、AC的中點，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．求證：AM＝AN．【變式3-2】．如圖，已知點E、F分別是正方形ABCD中邊AB、BC上的點，且AB＝12，AE＝6，將正方形分別沿DE、DF向內折疊，此時DA與DC重合為DG，求CF的長度．【變式3-3】．如圖，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，將直角三角板的頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與OA、OB相交于點C、D，問PC與PD相等嗎？試說明理由．模型四、旋轉全等模型【例4】．如圖，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想線段CD與BE之間的數量關系與位置關系，并證明你的猜想．變式訓練【變式4-1】．已知△ABC和△ADE均為等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．（1）如圖1，點E在BC上，求證：BC＝BD+BE；（2）如圖2，點E在CB的延長線上，求證：BC＝BD﹣BE．【變式4-2】．如圖所示，已知P是正方形ABCD外一點，且PA＝3，PB＝4，則PC的最大值是3+4．模型五、手拉手全等模型【例5】．如圖，△ABC與△ADE是以點A為公共頂點的兩個三角形，且AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠CAB＝90°，且線段BD、CE交于F．（1）求證：△AEC≌△ADB．（2）猜想CE與DB之間的關系，并說明理由．變式訓練【變式5-1】．如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE、AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下五個結論：①AD＝BE；②AP＝BQ；③DE＝DP；④∠AOB＝60°．恒成立的結論有幾個（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式5-2】．如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度數；（3）求證：CD＝2BF+DE．【變式5-3】．（1）如圖1，等腰△ABC與等腰△DEC有公共點C，且∠BCA＝∠ECD，連接BE、AD，若BC＝AC，EC＝DC，求證：BE＝AD．（2）若將△DEC繞點C旋轉至圖2、圖3、圖4情形時，其余條件不變，BE與AD還相等嗎？為什么？實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1.如圖，已知，，且，，，則的度數為（）A． B． C． D．2．如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．連接AC，BD交于點M，連接OM．下列結論：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正確的結論個數有（）個．A．4 B．3 C．2 D．13．如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC內一點，若AP+BP+CP的最小值為4，則BC2＝．4．正方形ABCD中，AB＝6，點E在邊CD上，CE＝2DE，將△ADE沿AE折疊至△AFE，延長EF交BC于點G，連接AG，CF．下列結論：①△ABG≌△AFG；②S△FGC＝6；③EG＝DE+BG；④BG＝GC．其中正確的有（填序號）．5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿對角線AC折疊，點D落在D′處．（1）求證：AF＝CF（2）求AF的長度．6．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延長AB至點D，使DB＝AB，連接CD，以CD為直角邊作等腰三角形CDE，其中∠DCE＝90°，連接BE．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）若AB＝3cm，則BE＝cm．（3）BE與AD有何位置關系？請說明理由．7．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D是AB的中點，連接CD，過B作BE⊥CD交CD的延長線于點E，連接AE，過A作AF⊥AE交CD于點F．（1）求證：AE＝AF；（2）求證：CD＝2BE+DE．8．如圖：在等腰直角三角形中，AB＝AC，點D是斜邊BC上的中點，點E、F分別為AB，AC上的點，且DE⊥DF．（1）若設BE＝a，CF＝b，滿足+|b﹣5|＝+，求BE及CF的長．（2）求證：BE2+CF2＝EF2．（3）在（1）的條件下，求△DEF的面積．9．如圖1，點C為線段AB上任意一點（不與點A、B重合），分別以AC、BC為一腰在AB的同側作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝30°，連接AE交CD于點M，連接BD交CE于點N，AE與BD交于點P，連接CP．（1）線段AE與DB的數量關系為；請直接寫出∠APD＝；（2）將△BCE繞點C旋轉到如圖2所示的位置，其他條件不變，探究線段AE與DB的數量關系，并說明理由；求出此時∠APD的度數；（3）在（2）的條件下求證：∠APC＝∠BPC．

10．閱讀與理解：折紙，常常能為證明一個命題提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如圖），怎樣證明∠C＞∠B呢？分析：把AC沿∠A的角平分線AD翻折，因為AB＞AC，所以點C落在AB上的點C'處，即AC＝AC'，據以上操作，易證明△ACD≌△AC'D，所以∠AC'D＝∠C，又因為∠AC'D＞∠B，所以∠C＞∠B．感悟與應用：（1）如圖（a），在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB，試判斷AC和AD、BC之間的數量關系，并說明理由；（2）如圖（b），在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，AC＝16，AD＝8，DC＝BC＝12，①求證：∠B+∠D＝180°；②求AB的長．

11．如圖甲，在等邊三角形ABC內有一點P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度數和等邊三角形ABC的邊長．（1）李明同學作了如圖乙的輔助線，將△BPC繞點B逆時針旋轉60°，如圖乙所示，連接PP'，可說明△APP'是直角三角形從而問題得到解決．請你說明其中理由并完成問題解答．（2）如圖丙，在正方形ABCD內有一點P，且AP＝，BP＝，PC＝1：類比第一小題的方法求∠BPC的度數，并直接寫出正方形ABCD的面積．

12．在△ABC中，AB＝A