《4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式》教案（第一課時）【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)等差數(shù)列的前n項和公式（1）數(shù)列是高中代數(shù)的主要內(nèi)容，它與數(shù)學(xué)課程的其它內(nèi)容（函數(shù)、三角、不等式等）有著密切的聯(lián)系，又是今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要地位。數(shù)列是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的良好題材。等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗從特殊到一般的研究方法，學(xué)會觀察、歸納、反思，進一步培養(yǎng)學(xué)生靈活運用公式的能力。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模的的核心素養(yǎng)?！窘虒W(xué)目標與核心素養(yǎng)】課程目標學(xué)科素養(yǎng)A.掌握等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法．B.掌握等差數(shù)列的前n項和公式，能夠運用公式解決相關(guān)問題．C.掌握等差數(shù)列的前n項和的簡單性質(zhì)．1.數(shù)學(xué)抽象：等差數(shù)列前n項和公式2.邏輯推理：等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)3.數(shù)學(xué)運算：等差數(shù)列前n項和公式的運用4.數(shù)學(xué)建模：等差數(shù)列前n項和公式綜合運用【教學(xué)重點和難點】重點：等差數(shù)列的前n項和的應(yīng)用難點：等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖一、新知探究據(jù)說，200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問題：1＋2＋3＋…＋100=？你準備怎么算呢？高斯（Gauss，1777－1855），德國數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一.他在天文學(xué)、大地測量學(xué)、磁學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都做出過杰出貢獻.問題1：為什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？這是巧合嗎？試從數(shù)列角度給出解釋.高斯的算法：（1+100）+（2+99）+…+(50+51)=101×50=5050高斯的算法實際上解決了求等差數(shù)列：1，2，3，…，n前100項的和問題.等差數(shù)列中，下標和相等的兩項和相等.設(shè)an＝n，則a1＝1，a2＝2，a3＝3，…如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t，則ap＋aq＝as＋at可得：a問題2：你能用上述方法計算1＋2＋3＋…＋101嗎？問題3：你能計算1＋2＋3＋…＋n嗎？需要對項數(shù)的奇偶進行分類討論.當n為偶數(shù)時，=1+n+=n2當n為奇數(shù)數(shù)時，n－1為偶數(shù)S=1+n+=對于任意正整數(shù)n，都有1＋2＋3＋…＋n=問題4：不分類討論能否得到最終的結(jié)論呢？Sn=Sn=將上述兩式相加，得2Sn==1+n=n

所以Sn=問題5.上述方法的妙處在哪里？這種方法能夠推廣到求等差數(shù)列an的前n倒序求和法Sn=Sn2Sn=(因為：所以：2Sn=(a1+=n(a即：等差數(shù)列的前n項和公式已知量首項，末項與項數(shù)首項，公差與項數(shù)選用公式Sn＝n(Sn＝na1功能1：已知a1，an和n，求Sn.功能2：已知Sn，n，a1和an中任意3個，求第4個.二、典例解析例6.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列.（1）若a1=7,a50=101,求S（2）若a1=2,a2=52,求（3）若a1=12，d=-16,Sn=-5,分析：對于（1），可以直接利用公式Sn=n(a1+an)2求和；在（2）中，可以先利用a1和a2的值求出d，再利用公式Sn=na1+解：（1）因為a1=7,a50=101，根據(jù)公式SS20（2）因為a1=2,a2=52，所以d=12.根據(jù)公式SS10=10×2+10×(10-1)2（3）把a1=12，d=-16,Sn=-5代入-5=整理，得n解得n=12或n=-5（舍）,所以n=12等差數(shù)列中的基本計算(1)利用基本量求值：等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式中有五個量a1，d，n，an和Sn這五個量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問題．解題時注意整體代換的思想．(2)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)解題：等差數(shù)列的常用性質(zhì)：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，常與求和公式Sn＝結(jié)合使用．跟蹤訓(xùn)練1已知等差數(shù)列{an}．(1)a1＝eq\f(5,6)，a15＝－eq\f(3,2)，Sn＝－5，求d和n；(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.[解](1)∵a15＝eq\f(5,6)＋(15－1)d＝－eq\f(3,2)，∴d＝－eq\f(1,6).又Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝－5，解得n＝15或n＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝eq\f(8a1＋a8,2)＝eq\f(84＋a8,2)＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.例7.已知一個等差數(shù)列an前10項的和是310，前20項的和是1220.分析：把已知條件代入等差數(shù)列前n項和的公式2后，可得到兩個關(guān)于a解：由題意，知S10=310,把它們代入公式

Sn=n得10a1+所以，由所給的條件可以確定等差數(shù)列的首項和公差。一般地，對于等差數(shù)列，只要給定兩個相互獨立的條件，這個數(shù)列就完全確定。(法二)∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差數(shù)列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，即2×(1220－310)＝310＋S30－1220，∴S30＝2730.(法三)設(shè)Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(310＝100A＋10B，,1220＝400A＋20B，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝3，,B＝1.))∴Sn＝3n2＋n.∴S30＝3×900＋30＝2730.(法四)由Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，得eq\f(Sn,n)＝a1＋(n－1)eq\f(d,2)，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以a1為首項，eq\f(d,2)為公差的等差數(shù)列，∴eq\f(S10,10)，eq\f(S20,20)，eq\f(S30,30)成等差數(shù)列，∴eq\f(S10,10)＋eq\f(S30,30)＝2×eq\f(S20,20)，∴S30＝30eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S20,10)－\f(S10,10)))＝30×(122－31)＝2730.通過回顧歷史中高斯小故事，提出等差數(shù)列求和問題。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般，分類與整合、數(shù)學(xué)結(jié)合等思想方法，感受等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過典型例題，加深學(xué)生對等差數(shù)列求和公式的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素。通過典型例題，加深學(xué)生對等差數(shù)列求和公式的綜合運用能力。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素三、達標檢測1．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，則3a9－a13的值為()A．20B．30C．40D．50【答案】C[∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]2．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝()A．5B．7C．9D．11【答案】A[由題a1＋a3＋a5＝3，∴3a3＝3.∴a3＝1又∵S5＝eq\f(5a1＋a5,2)＝eq\f(5×2a3,2)＝5.]3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝－n2，則()A．a(chǎn)n＝2n＋1B．a(chǎn)n＝－2n＋1C．a(chǎn)n＝－2n－1D．a(chǎn)n＝2n－1【答案】B[由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝1－2n，當n＝1時，S1＝a1＝－1符合上式．∴an＝－2n＋1.]4．在一個等差數(shù)列中，已知a10＝10，則S19＝________.【答案】190[S19＝eq\f(19a1＋a19,2)＝eq\f(19×2a10,2)＝190.]5．已知等差數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(3,2)，d＝－eq\f(1,2)，Sn＝－15，求n及a12.【答案】∵Sn＝n·eq\f(3,2)＋eq\f(nn－1,2)·－eq\f(1,2)＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解之得n＝12或n＝－5(舍去)，a12＝eq\f(3,2)＋(12－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】由于教師不僅是知識的傳授者，而且也是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者和合作者。所以我采用“問題情景---建立模型---求解---解釋---應(yīng)用”的教學(xué)模式，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過對問題的親身動手探求、體驗，獲得不僅是知識，更重要的是掌握了在今后的發(fā)展中用這種手段去獲取更多的知識的方法。這是“教師教給學(xué)生尋找水的方法或給學(xué)生一杯水，使學(xué)生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒體可以使教學(xué)內(nèi)容生動、形象、鮮明地得到展示。《4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式》導(dǎo)學(xué)案（第一課時）【學(xué)習(xí)目標】1.掌握等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法．(難點)2.掌握等差數(shù)列的前n項和公式，能夠運用公式解決相關(guān)問題．(重點)3.掌握等差數(shù)列的前n項和的簡單性質(zhì)．(重點、難點)【重點和難點】重點：等差數(shù)列的前n項和的應(yīng)用難點：等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法【知識梳理】等差數(shù)列的前n項和公式已知量首項，末項與項數(shù)首項，公差與項數(shù)選用公式Sn＝n(Sn＝na1功能1：已知a1，an和n，求Sn.功能2：已知Sn，n，a1和an中任意3個，求第4個.【學(xué)習(xí)過程】一、新知探究據(jù)說，200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問題：1＋2＋3＋…＋100=？你準備怎么算呢？高斯，德國數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一.他在天文學(xué)、大地測量學(xué)、磁學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都做出過杰出貢獻.問題1：為什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？這是巧合嗎？試從數(shù)列角度給出解釋.高斯的算法：（1+100）+（2+99）+…+(50+51)=101×50=5050高斯的算法實際上解決了求等差數(shù)列：1，2，3，…，n，…

前100等差數(shù)列中，下標和相等的兩項和相等.設(shè)an＝n，則a1＝1，a2＝2，a3＝3，…如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t，則ap＋aq＝as＋at可得：a問題2：你能用上述方法計算1＋2＋3＋…＋101嗎？問題3：你能計算1＋2＋3＋…＋n嗎？問題4：不分類討論能否得到最終的結(jié)論呢？問題5.上述方法的妙處在哪里？這種方法能夠推廣到求等差數(shù)列an的前n倒序求和法二、典例解析例6.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列.（1）若a1=7,a50=101,求S（2）若a1=2,a2=52,求（3）若a1=12，d=-16,Sn=-5,等差數(shù)列中的基本計算(1)利用基本量求值：等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式中有五個量a1，d，n，an和Sn這五個量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問題．解題時注意整體代換的思想．(2)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)解題：等差數(shù)列的常用性質(zhì)：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，常與求和公式Sn＝結(jié)合使用．跟蹤訓(xùn)練1已知等差數(shù)列{an}．(1)a1＝eq\f(5,6)，a15＝－eq\f(3,2)，Sn＝－5，求d和n；(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.例7.已知一個等差數(shù)列an前10項的和是310，前20項的和是1220.一般地，對于等差數(shù)列，只要給定兩個相互獨立的條件，這個數(shù)列就完全確定。【達標檢測】1．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，則3a9－a13的值為()A．20B．30C．40D．502．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝()A．5B．7C．9D．113．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝－n2，則()A．a(chǎn)n＝2n＋1B．a(chǎn)n＝－2n＋1C．a(chǎn)n＝－2n－1D．a(chǎn)n＝2n－14．在一個等差數(shù)列中，已知a10＝10，則S19＝________.5．已知等差數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(3,2)，d＝－eq\f(1,2)，Sn＝－15，求n及a12.【課堂小結(jié)】【參考答案】知識梳理學(xué)習(xí)過程一、新知探究等差數(shù)列中，下標和相等的兩項和相等.設(shè)an＝n，則a1＝1，a2＝2，a3＝3，…如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t，則ap＋aq＝as＋at可得：a問題3：需要對項數(shù)的奇偶進行分類討論.當n為偶數(shù)時，=1+n+=n2當n為奇數(shù)數(shù)時，n－1為偶數(shù)S=1+n+==對于任意正整數(shù)n，都有1＋2＋3＋…＋n=問題4：Sn=Sn=將上述兩式相加，得2Sn==1+n=n

所以Sn=倒序求和法Sn=Sn2Sn=(因為：所以：2Sn=(a1+=n(a即：二、典例解析例6分析：對于（1），可以直接利用公式Sn=n(a1+an)2求和；在（2）中，可以先利用a1和a2的值求出d，再利用公式Sn=na1+解：（1）因為a1=7,a50=101，根據(jù)公式SS20（2）因為a1=2,a2=52，所以d=12.根據(jù)公式SS10=10×2+10×(10-1)2（3）把a1=12，d=-16,Sn=-5代入-5=整理，得n解得n=12或n=-5（舍）,所以n=12跟蹤訓(xùn)練1[解](1)∵a15＝eq\f(5,6)＋(15－1)d＝－eq\f(3,2)，∴d＝－eq\f(1,6).又Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝－5，解得n＝15或n＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝eq\f(8a1＋a8,2)＝eq\f(84＋a8,2)＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.例7.分析：把已知條件代入等差數(shù)列前n項和的公式2后，可得到兩個關(guān)于a解：由題意，知S10=310,S把它們代入公式

Sn=n得10解方程組，得a所以，由所給的條件可以確定等差數(shù)列的首項和公差。(法二)∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差數(shù)列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，即2×(1220－310)＝310＋S30－1220，∴S30＝2730.(法三)設(shè)Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(310＝100A＋10B，,1220＝400A＋20B，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝3，,B＝1.))∴Sn＝3n2＋n.∴S30＝3×900＋30＝2730.(法四)由Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，得eq\f(Sn,n)＝a1＋(n－1)eq\f(d,2)，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以a1為首項，eq\f(d,2)為公差的等差數(shù)列，∴eq\f(S10,10)，eq\f(S20,20)，eq\f(S30,30)成等差數(shù)列，∴eq\f(S10,10)＋eq\f(S30,30)＝2×eq\f(S20,20)，∴S30＝30eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S20,10)－\f(S10,10)))＝30×(122－31)＝2730.達標檢測1．【答案】C[∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]2．【答案】A[由題a1＋a3＋a5＝3，∴3a3＝3.∴a3＝1又∵S5＝eq\f(5a1＋a5,2)＝eq\f(5×2a3,2)＝5.]3．【答案】B[由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝1－2n，當n＝1時，S1＝a1＝－1符合上式．∴an＝－2n＋1.]4．【答案】190[S19＝eq\f(19a1＋a19,2)＝eq\f(19×2a10,2)＝190.]5．【答案】∵Sn＝n·eq\f(3,2)＋eq\f(nn－1,2)·－eq\f(1,2)＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解之得n＝12或n＝－5(舍去)，a12＝eq\f(3,2)＋(12－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4.《4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式（第一課時）》基礎(chǔ)同步練習(xí)一、選擇題1．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a2+a4=6,則S5等于()A．10B．12C．15D．302．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝﹣3，2a4+3a7＝9，則S7的值等于（）A．21B．1C．﹣42D．03．如圖，將若干個點擺成三角形圖案，每條邊（包括兩個端點）有個點，相應(yīng)的圖案中點的總數(shù)記為，則等于（）A．B．C．D．4．含項的等差數(shù)列，其奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為（）A．B．C．D．5．（多選題）記為等差數(shù)列的前n項和，已知，，則（）A．B．C．D．6．（多選題）已知遞減的等差數(shù)列的前n項和為，若，則（）A．B．當時，最大C．D．二、填空題7．已知數(shù)列為等差數(shù)列且a5=2，則其前9項和S9=___________.8．已知數(shù)列的前項和為，若，，.則__________.9．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則=__________.10．在等差數(shù)列中，為其前項的和，若，，則________.三、解答題11．在①，；②，；③，這三個條件中任選一個，回答下列問題，已知等差數(shù)列滿足________.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和，以及使得取得最大值時的值.12．設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項和，已知，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.《4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式（第一課時）》答案解析一、選擇題1．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a2+a4=6,則S5等于()A．10B．12C．15D．30【答案】C【解析】因為等差數(shù)列{an}中,a2+a4=6,故a1+a5=6,所以S5===15.故選C.2．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝﹣3，2a4+3a7＝9，則S7的值等于（）A．21B．1C．﹣42D．0【答案】D【詳解】解：等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝﹣3，2a4+3a7＝9，∴2（﹣3+3d）+3（﹣3+6d）＝9，解得d＝1，∴S7＝7×（﹣3）+＝0．故選：D．3．如圖，將若干個點擺成三角形圖案，每條邊（包括兩個端點）有個點，相應(yīng)的圖案中點的總數(shù)記為，則等于（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】由題圖可知，，，，，依此類推，每增加，圖案中的點數(shù)增加，所以相應(yīng)圖案中的點數(shù)構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列，，．故選：C．4．含項的等差數(shù)列，其奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】設(shè)該等差數(shù)列為，其首項為，前項和為，則，，，．故選：B5．（多選題）記為等差數(shù)列的前n項和，已知，，則（）A．B．C．D．【答案】AC【詳解】，，，則．故選：AC.6．（多選題）已知遞減的等差數(shù)列的前n項和為，若，則（）A．B．當時，最大C．D．【答案】BC【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，由，則，，又因為數(shù)列是遞減數(shù)列，所以，，故A錯誤、B正確.，故C正確；，故D錯誤.故選：BC二、填空題7．已知數(shù)列為等差數(shù)列且a5=2，則其前9項和S9=___________.【答案】18【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以.8．已知數(shù)列的前項和為，若，，.則__________.【答案】9【詳解】若，則數(shù)列為等差數(shù)列，公差d＝2，由S5＝25，可得5+10×2＝25，所以＝1，則＝9．9．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則=__________.【答案】【詳解】由等差數(shù)列的前項和公式可得：.10．在等差數(shù)列中，為其前項的和，若，，則________.【答案】144【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得，.三、解答題11．在①，；②，；③，這三個條件中任選一個，回答下列問題，已知等差數(shù)列滿足________.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和，以及使得取得最大值時的值.【詳解】（1）選條件①，因為數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，由解得：，所以，選條件②，因為數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，解得：所以，選條件③，因為數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)首項為，公差為，由即，解得，所以（2）由（1）知，，令，可得，令，可得，所以前項都是正值，從第項起是負值，故當時，最大..12．設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項和，已知，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意得，解得，所以；（2）由（1）得，則，所以，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以.《4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式（第一課時）》提高同步練習(xí)一、選擇題1．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S7＝28，則a4＝（）A．4B．7C．8D．142．記為等差數(shù)列的前項和．若，，則的公差為A．1B．2C．4D．83．等差數(shù)列的前n項和記為若為一確定的常數(shù)，則下列各數(shù)中也是常數(shù)的是（）.A．B．C．D．4．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則()A．3B．4C．5D．65．（多選題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，前n項和為且下列結(jié)論中正確的是（）A．最小B．C．D．6.（多選題）已知等差數(shù)列的公差，前項和為，若，則下列結(jié)論中正確的有（）A．B．C．當時，D．當時，二、填空題7．等差數(shù)列{an}的公差為2，Sn是數(shù)列{an}的前n項的和，若S20＝40，則a1+a3+a5+a7…+a19＝_____．8．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則_________.9．將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則的前n項和___.10．設(shè)首項為，公差為的遞增等差數(shù)列的前項和為，其中，為實數(shù)，若，則的取值范圍是______．三、解答題11．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，.（1）求的通項公式：（2）若，求的值.12．已知等差數(shù)列的前項和為，且（1）求通項公式；（2）求數(shù)列的前項和《4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式（第二課時）》答案解析一、選擇題1．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S7＝28，則a4＝（）A．4B．7C．8D．14【答案】A【詳解】數(shù)列{an}是等差數(shù)列，，那么，所以.2．記為等差數(shù)列的前項和．若，，則的公差為A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】設(shè)公差為，，，聯(lián)立解得，故選C.3．等差數(shù)列的前n項和記為若為一確定的常數(shù)，則下列各數(shù)中也是常數(shù)的是（）.A．B．C．D．【答案】B【詳解】解：由為一確定的常數(shù)，從而為確定的常數(shù)，故選：B．4．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則()A．3B．4C．5D．6【答案】C【詳解】是等差數(shù)列又，∴公差，，故選C．5．（多選題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，前n項和為且下列結(jié)論中正確的是（）A．最小B．C．D．【答案】BCD【詳解】設(shè)等差數(shù)列數(shù)列的公差為.由有，即所以,則選項D正確.選項A.,無法判斷其是否有最小值，故A錯誤.選項B.,故B正確.選項C.,所以，故C正確.故選：BCD6.（多選題）已知等差數(shù)列的公差，前項和為，若，則下列結(jié)論中正確的有（）A．B．C．當時，D．當時，【答案】ABC【詳解】因為是等差數(shù)列，前項和為，由得：，即，即，對于選項A：由得，可得，故選項A正確；對于選項B：，故選項B正確；對于選項C：，若，則，故選項C正確；對于選項D：當時，，則，因為，所以，，所以，故選項D不正確，故選：ABC二、填空題7．等差數(shù)列{an}的公差為2，Sn是數(shù)列{an}的前n項的和，若S20＝40，則a1+a3+a5+a7…+a19＝_____．【答案】10【詳解】解：由題意可得，S20＝20＝40，解可得，a1＝﹣17，則a1+a3+a5+a7…+a19＝10a10＝10(﹣17+9×2)＝10．8．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則_____.【答案】16【詳解】因為等差數(shù)列，由，又，所以，即.又所以則9．將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則的前n項和___.【答案】【詳解】因為數(shù)列是以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個數(shù)列的公共項所構(gòu)成的新數(shù)列是以4為首項，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項和.10．設(shè)首項為，公差為的遞增等差數(shù)列的前項和為，其中，為實數(shù)，若，則的取值范圍是______．【答案】【詳解】因為，，所以，所以，因為關(guān)于的方程有實數(shù)根，所以，即，解得或，又數(shù)列為遞增數(shù)列，則，∴的取值范圍是．三、解答題11．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，.（1）求的通項公式：（2）若，求的值.【詳解】（1），，，解得，，（2）由（1）知，，解得，，.12．已知等差數(shù)列的前項和為，且（1）求通項公式；（2）求數(shù)列的前項和【詳解】（1）在等差數(shù)列中，因為，所以，解得，所以.（2）令，解得，當時，，當時，，所以當時，，當時，，，所以.《4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式》教案（第二課時）【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)等差數(shù)列的前n項和公式（2）數(shù)列是高中代數(shù)的主要內(nèi)容，它與數(shù)學(xué)課程的其它內(nèi)容（函數(shù)、三角、不等式等）有著密切的聯(lián)系，又是今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要地位。數(shù)列是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的良好題材。等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗從特殊到一般的研究方法，學(xué)會觀察、歸納、反思，進一步培養(yǎng)學(xué)生靈活運用公式的能力。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模的的核心素養(yǎng)?！窘虒W(xué)目標與核心素養(yǎng)】課程目標學(xué)科素養(yǎng)A.等差數(shù)列掌握等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用.B.會求等差數(shù)列前n項和的最值.1.數(shù)學(xué)抽象：等差數(shù)列前n項和公式2.邏輯推理：等差數(shù)列前n項和公式與二次函數(shù)3.數(shù)學(xué)運算：等差數(shù)列前n項的應(yīng)用4.數(shù)學(xué)建模：等差數(shù)列前n項的具體應(yīng)用【教學(xué)重點和難點】重點：求等差數(shù)列前n項和的最值難點：等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖一、課前小測1．思考辨析(1)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列．()(2)若a1>0，d<0，則等差數(shù)列中所有正項之和最大．()(3)在等差數(shù)列中，Sn是其前n項和，則有S2n－1＝(2n－1)an.()[答案](1)√(2)√(3)√2．在項數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項的和為165，所有偶數(shù)項的和為150，則n等于()A．9B．10C．11D．12B[∵eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n＋1,n)，∴eq\f(165,150)＝eq\f(n＋1,n).∴n＝10.故選B項．]3．等差數(shù)列{an}中，S2＝4，S4＝9，則S6＝________.15[由S2，S4－S2，S6－S4成等差數(shù)列得2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)解得S6＝15.]4．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n－48，則Sn取得最小值時，n為________.23或24[由an≤0即2n－48≤0得n≤24.∴所有負項的和最小，即n＝23或24.]二、典例解析例8.某校新建一個報告廳，要求容納800個座位，報告廳共有20排座位，從第2排起后一排都比前一排多兩個座位.問第1排應(yīng)安排多少個座位？分析：將第1排到第20排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn。由題意可知，{an}是等差數(shù)列，且公差及前20項和已知，所以可利用等差數(shù)列的前n解：設(shè)報告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，其前n項和為Sn.根據(jù)題意，數(shù)列{an}是一個公差為2的等差數(shù)列，且S20＝800.由S20=20a1+20×(20-1)2因此，第1排應(yīng)安排21個座位。解得a1＝21.因此，第1排應(yīng)安排21個座位.1．本題屬于與等差數(shù)列前n項和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列．2．遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時，可以考慮與數(shù)列知識聯(lián)系，建立數(shù)列模型，具體解決要注意以下兩點：(1)抓住實際問題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型．(2)深入分析題意，確定是求通項公式an，或是求前n項和Sn，還是求項數(shù)n.跟蹤訓(xùn)練1.某抗洪指揮部接到預(yù)報，24小時后有一洪峰到達，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來之前臨時筑一道堤壩作為第二道防線．經(jīng)計算，除現(xiàn)有的參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需調(diào)用20臺同型號翻斗車，平均每輛車工作24小時．從各地緊急抽調(diào)的同型號翻斗車目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達，一共可調(diào)集25輛，那么在24小時內(nèi)能否構(gòu)筑成第二道防線？分析：因為每隔20分鐘到達一輛車，所以每輛車的工作量構(gòu)成一個等差數(shù)列．工作量的總和若大于欲完成的工作量，則說明24小時內(nèi)可完成第二道防線工程．解:從第一輛車投入工作算起，各車工作時間(單位：小時)依次設(shè)為a1，a2，…，a25.由題意可知，此數(shù)列為等差數(shù)列，且a1＝24，公差d＝－eq\f(1,3).25輛翻斗車完成的工作量為：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝500，而需要完成的工作量為24×20＝480.∵500>480，∴在24小時內(nèi)能構(gòu)筑成第二道防線．例9.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值時n的值；若不存在，請說明理由.分析：由a另一方面，等差數(shù)列的前n項和公式可寫成

S，所以當d≠0時，Sn可以看成二次函數(shù)，當x=n時函數(shù)值。如圖，當d<0時，Sn關(guān)于n的圖像是一條開口向下的拋物線上的一些點，因此，可以利用二次函數(shù)求相應(yīng)的n,S解法1.由d＝－2，得an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an，所以{an}是遞減數(shù)列.由a1＝10，d＝－2，得an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12.可知，當n＜6時，an＞0；當n＝6時，an＝0；當n＞6時，an＜0.所以,S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞…也就是說，當n＝5或6時，Sn最大.因為S5所以Sn的最大值為30.解法2：因為由a1＝10，d＝－2，因為

S所以，當n取與112即5或6時，Sn最大，最大值為30.1.在等差數(shù)列中，求Sn的最小(大)值的方法：(1)利用通項公式尋求正、負項的分界點，則從第一項起到分界點該項的各項和為最大(小)．(2)借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求最值．2．尋求正、負項分界點的方法：(1)尋找正、負項的分界點來尋找．(2)利用到y(tǒng)＝ax2＋bx(a≠0)的對稱軸距離最近的左側(cè)的一個正數(shù)或離對稱軸最近且關(guān)于對稱軸對稱的兩個整數(shù)對應(yīng)項即為正、負項的分界點．跟蹤訓(xùn)練2.數(shù)列{an}的前n項和Sn＝33n－n2，(1)求{an}的通項公式；(2)問{an}的前多少項和最大；(3)設(shè)bn＝|an|，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn′.分析：(1)利用Sn與an的關(guān)系求通項，也可由Sn的結(jié)構(gòu)特征求a1，d，從而求出通項．(2)利用Sn的函數(shù)特征求最值，也可以用通項公式找到通項的變號點求解(3)利用an判斷哪些項是正數(shù)，哪些項是負數(shù)，再求解，也可以利用Sn的函數(shù)特征判斷項的正負求解．[解](1)法一：(公式法)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又當n＝1時，a1＝S1＝32＝34－2×1滿足an＝34－2n.故{an}的通項公式為an＝34－2n.法二：(結(jié)構(gòu)特征法)由Sn＝－n2＋33n知Sn是關(guān)于n的缺常數(shù)項的二次型函數(shù)，所以{an}是等差數(shù)列，由Sn的結(jié)構(gòu)特征知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)＝－1，,a1－\f(d,2)＝33，))解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.(2)法一：(公式法)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故數(shù)列{an}的前17項大于或等于零．又a17＝0，故數(shù)列{an}的前16項或前17項的和最大．法二：(函數(shù)性質(zhì)法)由y＝－x2＋33x的對稱軸為x＝eq\f(33,2).距離eq\f(33,2)最近的整數(shù)為16,17.由Sn＝－n2＋33n的圖象可知：當n≤17時，an≥0，當n≥18時，an<0，故數(shù)列{an}的前16項或前17項的和最大．(3)由(2)知，當n≤17時，an≥0；當n≥18時，an<0.所以當n≤17時，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.當n≥18時，Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn＝n2－33n＋544.故Sn′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(33n－n2n≤17，,n2－33n＋544n≥18.))通過課前檢測，檢測學(xué)生對知識的掌握情況。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過等差數(shù)列前n項在實際問題中的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過典型例題，加深學(xué)生對等差數(shù)列求和公式函數(shù)特征的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素。通過典型例題，加深學(xué)生對等差數(shù)列求和公式的綜合運用能力。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素三、達標檢測1．（多選題）已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，且S6>S7>S5，有下列四個命題正確的是()A.d<0；B.S11>0；C.S12<0；D.數(shù)列{Sn}中的最大項為S11【答案】AB解析∵S6>S7，∴a7<0，∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，A正確．又S11＝eq\f(11,2)(a1＋a11)＝11a6>0，B正確．S12＝eq\f(12,2)(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，C不正確．{Sn}中最大項為S6，D不正確．故正確的是AB]2．已知等差數(shù)列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，則使得前n項和Sn取得最小值的正整數(shù)n的值是________．【答案】6或7[由|a5|＝|a9|且d>0得a5<0，a9>0，且a5＋a9＝0?2a1＋12d＝0?a1＋6d＝0，即a7＝0，故S6＝S7且最?。甝3．已知數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn＝n2－30n.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；(2)求Sn的最小值及對應(yīng)的n值.【答案】(1)∵Sn＝n2－30n，∴當n＝1時，a1＝S1＝－29.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(n2－30n)－[(n－1)2－30(n－1)]＝2n－31.∵n＝1也適合，∴an＝2n－31，n∈N*.(2)法一：Sn＝n2－30n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－15))2－225∴當n＝15時，Sn最小，且最小值為S15＝－225.法二：∵an＝2n－31，∴a1<a2<…<a15<0，當n>15時，an>0.∴當n＝15時，Sn最小，且最小值為S15＝－225.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)等差數(shù)列前n項和Sn的最值(1)若a1<0，d>0，則數(shù)列的前面若干項為負數(shù)項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最小值．(2)若a1>0，d<0，則數(shù)列的前面若干項為正數(shù)項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最大值．特別地，若a1>0，d>0，則S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則S1是{Sn}的最大值．五、課時練通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】由于教師不僅是知識的傳授者，而且也是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者和合作者。所以我采用“問題情景---建立模型---求解---解釋---應(yīng)用”的教學(xué)模式，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過對問題的親身動手探求、體驗，獲得不僅是知識，更重要的是掌握了在今后的發(fā)展中用這種手段去獲取更多的知識的方法。這是“教師教給學(xué)生尋找水的方法或給學(xué)生一杯水，使學(xué)生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒體可以使教學(xué)內(nèi)容生動、形象、鮮明地得到展示。《4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式》導(dǎo)學(xué)案（第二課時）【學(xué)習(xí)目標】1.等差數(shù)列掌握等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用.2.會求等差數(shù)列前n項和的最值.【重點和難點】重點：求等差數(shù)列前n項和的最值難點：等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用【知識梳理】等差數(shù)列的前n項和公式已知量首項，末項與項數(shù)首項，公差與項數(shù)選用公式Sn＝n(Sn＝na1功能1：已知a1，an和n，求Sn.功能2：已知Sn，n，a1和an中任意3個，求第4個.1．思考辨析(1)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列．()(2)若a1>0，d<0，則等差數(shù)列中所有正項之和最大．()(3)在等差數(shù)列中，Sn是其前n項和，則有S2n－1＝(2n－1)an.()2．在項數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項的和為165，所有偶數(shù)項的和為150，則n等于()A．9B．10C．11D．123．等差數(shù)列{an}中，S2＝4，S4＝9，則S6＝________.4．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n－48，則Sn取得最小值時，n為________.【學(xué)習(xí)過程】一、典例解析例8.某校新建一個報告廳，要求容納800個座位，報告廳共有20排座位，從第2排起后一排都比前一排多兩個座位.問第1排應(yīng)安排多少個座位？1．本題屬于與等差數(shù)列前n項和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列．2．遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時，可以考慮與數(shù)列知識聯(lián)系，建立數(shù)列模型，具體解決要注意以下兩點：(1)抓住實際問題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型．(2)深入分析題意，確定是求通項公式an，或是求前n項和Sn，還是求項數(shù)n.跟蹤訓(xùn)練1.某抗洪指揮部接到預(yù)報，24小時后有一洪峰到達，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來之前臨時筑一道堤壩作為第二道防線．經(jīng)計算，除現(xiàn)有的參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需調(diào)用20臺同型號翻斗車，平均每輛車工作24小時．從各地緊急抽調(diào)的同型號翻斗車目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達，一共可調(diào)集25輛，那么在24小時內(nèi)能否構(gòu)筑成第二道防線？例9.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值時n的值；若不存在，請說明理由.1.在等差數(shù)列中，求Sn的最小(大)值的方法：(1)利用通項公式尋求正、負項的分界點，則從第一項起到分界點該項的各項和為最大(小)．(2)借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求最值．2．尋求正、負項分界點的方法：(1)尋找正、負項的分界點來尋找．(2)利用到y(tǒng)＝ax2＋bx(a≠0)的對稱軸距離最近的左側(cè)的一個正數(shù)或離對稱軸最近且關(guān)于對稱軸對稱的兩個整數(shù)對應(yīng)項即為正、負項的分界點．跟蹤訓(xùn)練2.數(shù)列{an}的前n項和Sn＝33n－n2，(1)求{an}的通項公式；(2)問{an}的前多少項和最大；(3)設(shè)bn＝|an|，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn′【達標檢測】1．（多選題）已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，且S6>S7>S5，有下列四個命題正確的是()A.d<0；B.S11>0；C.S12<0；D.數(shù)列{Sn}中的最大項為S112．已知等差數(shù)列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，則使得前n項和Sn取得最小值的正整數(shù)n的值是________．3．已知數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn＝n2－30n.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；(2)求Sn的最小值及對應(yīng)的n值.【課堂小結(jié)】等差數(shù)列前n項和Sn的最值(1)若a1<0，d>0，則數(shù)列的前面若干項為負數(shù)項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最小值．(2)若a1>0，d<0，則數(shù)列的前面若干項為正數(shù)項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最大值．特別地，若a1>0，d>0，則S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則S1是{Sn}的最大值．參考答案：知識梳理1．[答案](1)√(2)√(3)√2．B[∵eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n＋1,n)，∴eq\f(165,150)＝eq\f(n＋1,n).∴n＝10.故選B項．]3．15[由S2，S4－S2，S6－S4成等差數(shù)列得2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)解得S6＝15.]4．23或24[由an≤0即2n－48≤0得n≤24.∴所有負項的和最小，即n＝23或24.]學(xué)習(xí)過程一、典例解析例8.分析：將第1排到第20排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn。由題意可知，{an}是等差數(shù)列，且公差及前20項和已知，所以可利用等差數(shù)列的前n解：設(shè)報告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，其前n項和為Sn.根據(jù)題意，數(shù)列{an}是一個公差為2的等差數(shù)列，且S20＝800.由S20=20a1+20×(20-1)2因此，第1排應(yīng)安排21個座位。解得a1＝21.因此，第1排應(yīng)安排21個座位.跟蹤訓(xùn)練1.分析：因為每隔20分鐘到達一輛車，所以每輛車的工作量構(gòu)成一個等差數(shù)列．工作量的總和若大于欲完成的工作量，則說明24小時內(nèi)可完成第二道防線工程．解:從第一輛車投入工作算起，各車工作時間(單位：小時)依次設(shè)為a1，a2，…，a25.由題意可知，此數(shù)列為等差數(shù)列，且a1＝24，公差d＝－eq\f(1,3).25輛翻斗車完成的工作量為：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝500，而需要完成的工作量為24×20＝480.∵500>480，∴在24小時內(nèi)能構(gòu)筑成第二道防線．例9.分析：由a1>0另一方面，等差數(shù)列的前n項和公式可寫成

S，所以當d≠0時，Sn可以看成二次函數(shù)，當x=n時函數(shù)值。如圖，當d<0時，Sn關(guān)于n的圖像是一條開口向下的拋物線上的一些點，因此，可以利用二次函數(shù)求相應(yīng)的n,S解法1.由d＝－2，得an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an，所以{an}是遞減數(shù)列.由a1＝10，d＝－2，得an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12.可知，當n＜6時，an＞0；當n＝6時，an＝0；當n＞6時，an＜0.所以,S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞…也就是說，當n＝5或6時，Sn最大.因為S5所以Sn的最大值為30.解法2：因為由a1＝10，d＝－2，因為

S所以，當n取與112即5或6時，Sn最大，最大值為30.跟蹤訓(xùn)練2.分析：(1)利用Sn與an的關(guān)系求通項，也可由Sn的結(jié)構(gòu)特征求a1，d，從而求出通項．(2)利用Sn的函數(shù)特征求最值，也可以用通項公式找到通項的變號點求解(3)利用an判斷哪些項是正數(shù)，哪些項是負數(shù)，再求解，也可以利用Sn的函數(shù)特征判斷項的正負求解．[解](1)法一：(公式法)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又當n＝1時，a1＝S1＝32＝34－2×1滿足an＝34－2n.故{an}的通項公式為an＝34－2n.法二：(結(jié)構(gòu)特征法)由Sn＝－n2＋33n知Sn是關(guān)于n的缺常數(shù)項的二次型函數(shù)，所以{an}是等差數(shù)列，由Sn的結(jié)構(gòu)特征知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)＝－1，,a1－\f(d,2)＝33，))解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.(2)法一：(公式法)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故數(shù)列{an}的前17項大于或等于零．又a17＝0，故數(shù)列{an}的前16項或前17項的和最大．法二：(函數(shù)性質(zhì)法)由y＝－x2＋33x的對稱軸為x＝eq\f(33,2).距離eq\f(33,2)最近的整數(shù)為16,17.由Sn＝－n2＋33n的圖象可知：當n≤17時，an≥0，當n≥18時，an<0，故數(shù)列{an}的前16項或前17項的和最大．(3)由(2)知，當n≤17時，an≥0；當n≥18時，an<0.所以當n≤17時，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.當n≥18時，Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn＝n2－33n＋544.故Sn′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(33n－n2n≤17，,n2－33n＋544n≥18.))達標檢測1．【答案】AB解析∵S6>S7，∴a7<0，∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，A正確．又S11＝eq\f(11,2)(a1＋a11)＝11a6>0，B正確．S12＝eq\f(12,2)(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，C不正確．{Sn}中最大項為S6，D不正確．故正確的是AB]2．【答案】6或7[由|a5|＝|a9|且d>0得a5<0，a9>0，且a5＋a9＝0?2a1＋12d＝0?a1＋6d＝0，即a7＝0，故S6＝S7且最?。甝3．【答案】(1)∵Sn＝n2－30n，∴當n＝1時，a1＝S1＝－29.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(n2－30n)－[(n－1)2－30(n－1)]＝2n－31.∵n＝1也適合，∴an＝2n－31，n∈N*.(2)法一：Sn＝n2－30n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－15))2－225∴當n＝15時，Sn最小，且最小值為S15＝－225.法二：∵an＝2n－31，∴a1<a2<…<a15<0，當n>15時，an>0.∴當n＝15時，Sn最小，且最小值為S15＝－225.《4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式（第二課時）》基礎(chǔ)同步練習(xí)一、選擇題1．為了參加學(xué)校的長跑比賽，省錫中高二年級小李同學(xué)制定了一個為期15天的訓(xùn)練計劃.已知后一天的跑步距離都是在前一天的基礎(chǔ)上增加相同距離.若小李同學(xué)前三天共跑了米，最后三天共跑了米，則這15天小李同學(xué)總共跑的路程為（）A．米B．米C．米D．米2．世界上最古老的數(shù)學(xué)著作《萊茵德紙草書》中有一道這樣的題目：把60磅面包分給6個人，使每人所得成等差數(shù)列，且較少的三份之和是較多的三份之和的，則最少的一份為（）A．磅B．6磅C．磅D．磅3．已知等差數(shù)列是無窮數(shù)列，若，則數(shù)列的前項和（）A．無最大值，有最小值B．有最大值，無最小值C．有最大值，有最小值D．無最大值，無最小值4．某中學(xué)的“希望工程”募捐小組暑假期間走上街頭進行了一次募捐活動，共收到捐款1200元.他們第一天只得到10元，之后采取了積極措施，從第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.這次募捐活動一共進行的天數(shù)為（）A．15天B．16天C．17天D．18天5．（多選題）已知遞減的等差數(shù)列的前項和為，，則（）A．B．最大C．D．6．（多選題）等差數(shù)列的前n項和，且，，則下列各值中可以為的值的是（）A．3B．4C．5D．6二、填空題7．等差數(shù)列的前項和為，且，，當_____時，最大.8．已知等差數(shù)列和的前項和分別為與，且，則____．9．我國古代的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方：如圖，將1，2，…，9填入的方格內(nèi)，使三行，三列和兩條對角線上的三個數(shù)字之和都等于15.一般地，將連續(xù)的正整數(shù)填入個方格中，使得每行，每列和兩條對角線上的數(shù)字之和都相等，這個正方形叫做階幻方.記階幻方的對角線上的數(shù)字之和為，如圖三階幻方的，那么的值為__________.10．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，表示數(shù)列的前項和，若當且僅當時，取到最大值，則的取值范圍是_______三、解答題11．如圖，某報告廳的座位是這樣排列的：第一排有9個座位，從第二排起每一排都比前一排多2個座位，共有10排座位．（1）求第六排的座位數(shù)；（2）某會議根據(jù)疫情防控的需要，要求：同排的兩個人至少要間隔一個座位就坐，且前后排要錯位就坐．那么該報告廳里最多可安排多少人同時參加會議？（提示：每一排從左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保證安排的參會人數(shù)最多）12.新能源汽車環(huán)保?節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國的國情，也代表了世界汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向.工業(yè)部表示，到2025年中國的汽車總銷量將達到3500萬輛，并希望新能源汽車至少占總銷量的五分之一.福建某新能源公司年初購入一批新能源汽車充電樁，每臺12800元，第一年每臺設(shè)備的維修保養(yǎng)費用為1000元，以后每年增加400元，每臺充電樁每年可給公司收益6400元.（1）每臺充電樁第幾年開始獲利？(參考數(shù)據(jù)：)（2）每臺充電樁前幾年的年平均利潤最大(前年的年平均利潤=).《4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式（第二課時）》答案解析一、選擇題1．為了參加學(xué)校的長跑比賽，省錫中高二年級小李同學(xué)制定了一個為期15天的訓(xùn)練計劃.已知后一天的跑步距離都是在前一天的基礎(chǔ)上增加相同距離.若小李同學(xué)前三天共跑了米，最后三天共跑了米，則這15天小李同學(xué)總共跑的路程為（）A．米B．米C．米D．米【答案】B【詳解】根據(jù)題意：小李同學(xué)每天跑步距離為等差數(shù)列，設(shè)為，則，故，，故，則.故選：B.2．世界上最古老的數(shù)學(xué)著作《萊茵德紙草書》中有一道這樣的題目：把60磅面包分給6個人，使每人所得成等差數(shù)列，且較少的三份之和是較多的三份之和的，則最少的一份為（）A．磅B．6磅C．磅D．磅【答案】C【詳解】由題意，設(shè)數(shù)列前6項為，則，解得，所以，故選：C3．已知等差數(shù)列是無窮數(shù)列，若，則數(shù)列的前項和（）A．無最大值，有最小值B．有最大值，無最小值C．有最大值，有最小值D．無最大值，無最小值【答案】A【詳解】由數(shù)列為等差數(shù)列，且，得，故數(shù)列為遞增數(shù)列，且，所以有最小值，無最大值，故選：A.4．某中學(xué)的“希望工程”募捐小組暑假期間走上街頭進行了一次募捐活動，共收到捐款1200元.他們第一天只得到10元，之后采取了積極措施，從第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.這次募捐活動一共進行的天數(shù)為（）A．15天B．16天C．17天D．18天【答案】A【詳解】設(shè)他們每天收到的捐款形成數(shù)列，則由題可得是首項為10，公差為10的等差數(shù)列，，解得（舍去）或，所以這次募捐活動一共進行的天數(shù)為15天.故選：A.5．（多選題）已知遞減的等差數(shù)列的前項和為，，則（）A．B．最大C．D．【答案】ABD【詳解】因為，故，所以，因為等差數(shù)列為遞減數(shù)列，故公差，所以，故AB正確.又，，故C錯誤，D正確.故選：ABD.6．（多選題）等差數(shù)列的前n項和，且，，則下列各值中可以為的值的是（）A．3B．4C．5D．6【答案】CD【詳解】因為等差數(shù)列的前n項和，所以可設(shè)，因為，，所以，即，解得，所以，當且僅當時等號成立，又，所以等號不能取得，因此，故CD正確，AB錯.故選：CD.二、填空題7．等差數(shù)列的前項和為，且，，當________時，最大.【答案】6或7【詳解】解：因為，所以，化簡得，所以，因為，所以，所以，它的圖像是開口向下的拋物線，其對稱軸為，因為，所以當或時，取得最大值，故答案為：6或78．已知等差數(shù)列和的前項和分別為與，且，則______．【答案】【詳解】解：由，設(shè)，，則，，.故答案為：9．我國古代的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方：如圖，將1，2，…，9填入的方格內(nèi)，使三行，三列和兩條對角線上的三個數(shù)字之和都等于15.一般地，將連續(xù)的正整數(shù)填入個方格中，使得每行，每列和兩條對角線上的數(shù)字之和都相等，這個正方形叫做階幻方.記階幻方的對角線上的數(shù)字之和為，如圖三階幻方的，那么的值為__________.【答案】369【詳解】根據(jù)題意可知，幻方對角線上的數(shù)成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知對角上的兩個數(shù)相加正好等于，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，故.10．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，表示數(shù)列的前項和，若當且僅當時，取到最大值，則的取值范圍是________【答案】【詳解】由，得即當且僅當時，取到最大值，則則，即，得到由，可得故答案為：三、解答題11．如圖，某報告廳的座位是這樣排列的：第一排有9個座位，從第二排起每一排都比前一排多2個座位，共有10排座位．（1）求第六排的座位數(shù)；（2）某會議根據(jù)疫情防控的需要，要求：同排的兩個人至少要間隔一個座位就坐，且前后排要錯位就坐．那么該報告廳里最多可安排多少人同時參加會議？（提示：每一排從左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保證安排的參會人數(shù)最多）【詳解】解：（1）依題意，得每排的座位數(shù)會構(gòu)成等差數(shù)列，其中首項，公差，所以第六排的座位數(shù)．（2）因為每排的座位數(shù)是奇數(shù)，為保證同時參會的人數(shù)最多，第一排應(yīng)坐5人，第二排應(yīng)坐6人，第三排應(yīng)坐7人，……，這樣，每排就坐的人數(shù)就構(gòu)成等差數(shù)列，首項，公差，所以數(shù)列前10項和．故該報告廳里最多可安排95人同時參加會議．12.新能源汽車環(huán)保?節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國的國情，也代表了世界汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向.工業(yè)部表示，到2025年中國的汽車總銷量將達到3500萬輛，并希望新能源汽車至少占總銷量的五分之一.福建某新能源公司年初購入一批新能源汽車充電樁，每臺12800元，第一年每臺設(shè)備的維修保養(yǎng)費用為1000元，以后每年增加400元，每臺充電樁每年可給公司收益6400元.（1）每臺充電樁第幾年開始獲利？(參考數(shù)據(jù)：)（2）每臺充電樁前幾年的年平均利潤最大(前年的年平均利潤=).【詳解】（1）每臺充電樁第年總利潤為所以每臺充電樁第3年開始獲利（2）每臺充電樁前年的年平均利潤當且僅當時取等號所以每臺充電樁前8年的年平均利潤最大《4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式（第二課時）》提高同步練習(xí)一、選擇題1．某城市年有人口萬，該年醫(yī)療費用投入億元，此后年該城市每年新增人口萬，醫(yī)療費用投入每年新增億元，已知年該城市醫(yī)療費用人均投入元，則的值為（）．A．B．C．D．2．中國古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記載的“日月歷法”曰：“陰陽之數(shù)，日月之法，十九歲為一章，四章為一部，部七十六歲，二十部為一遂，遂千百五二十歲，…．生數(shù)皆終，萬物復(fù)蘇，天以更元作紀歷”．某老年公寓住有19位老人，他們的年齡（都為正整數(shù)）依次相差一歲，并且他們的年齡之和恰好為一遂，則最年長者的年齡為（）A．71B．72C．89D．903．記為數(shù)列的前項和，已知點在直線上，若有且只有兩個正整數(shù)n滿足，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．B．C．D．4．風(fēng)雨橋是侗族最具特色的建筑之一．風(fēng)雨橋由橋、塔、亭組成．其亭、塔平面圖通常是正方形、正六邊形和正八邊形．如圖是風(fēng)雨橋亭、塔正六邊形的正射影．其正六邊形的邊長計算方法如下：，，，…，，其中．根據(jù)每層邊長間的規(guī)律．建筑師通過推算，可初步估計需要多少材料．所用材料中，橫向梁所用木料與正六邊形的周長有關(guān)．某一風(fēng)雨橋亭、塔共5層，若，．則這五層正六邊形的周長總和為（）A．100B．110C．120D．1305．（多選題）等差數(shù)列的前項和為，，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．B．C．當或時，取得最大值D．6.（多選題）在數(shù)列中，，數(shù)列的前n項和為，則下列結(jié)論正確的是（）A．數(shù)列為等差數(shù)列B．C．D．二、填空題7．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，公差且，則取得最小值時，n的值為_________．8．設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，已知，，若對任意都有成立，則的值為__________．9．數(shù)列1，-2，2，-3，3，-3，4，-4，4，-4，5，-5，5，-5，5，…，的項正負交替，且項的絕對值為1的有1個，2的有2個，…，的有個，則該數(shù)列第2020項是____．10．植樹節(jié)某班41名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米.開始時需將樹苗集中放置在第（）個樹坑旁邊，則將樹苗集中放置在第______個樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小.三、解答題11．已知正項數(shù)列的前項和為，且.（1）求；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列.（3）令，問數(shù)列的前多少項的和最小？最小值是多少？12．某種病毒感染性腹瀉在全世界范圍內(nèi)均有流行，感染對象主要是成人和學(xué)齡兒童，寒冷季節(jié)呈現(xiàn)高發(fā)，據(jù)資料統(tǒng)計，某市11月1日開始出現(xiàn)該病毒感染者，11月1日該市的病毒新感染者共有20人，此后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人，由于該市醫(yī)療部分采取措施，使該病毒的傳