第一課時(shí)分類變量與列聯(lián)表8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過實(shí)例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義.2.理解判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系的常用方法.通過學(xué)習(xí)2×2列聯(lián)表，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).新知探究飲用水的質(zhì)量是人類普遍關(guān)心的問題，根據(jù)統(tǒng)計(jì)，飲用優(yōu)質(zhì)水的518人中，身體狀況優(yōu)秀的有466人，飲用一般水的312人中，身體狀況優(yōu)秀的有218人．問題人的身體健康狀況與飲用水的質(zhì)量之間有關(guān)系嗎？提示我們可以根據(jù)2×2列聯(lián)表找到人的身體健康與飲用水之間的關(guān)系，也就是本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.1．分類變量這里所說的變量和值不一定是具體的數(shù)值，例如：性別變量，其取值為男和女兩種我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機(jī)變量稱為__________，分類變量的取值可以用______表示．分類變量實(shí)數(shù)2．2×2列聯(lián)表

在實(shí)踐中，由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高，人們經(jīng)常按研究問題的需要，將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計(jì)，并做成表格加以保存，我們將這類數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表稱為2×2列聯(lián)表，2×2列聯(lián)表給出了成對(duì)分類變量數(shù)據(jù)的交叉__________．

一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為分類頻數(shù)

y1y2合計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d合計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d3.等高堆積條形圖

等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的______特征，依據(jù)________________的原理，我們可以推斷結(jié)果．頻率頻率穩(wěn)定于概率拓展深化[微判斷]1．分類變量中的變量與函數(shù)中的變量是同一概念． (

)

提示分類變量中的變量是指一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)，與函數(shù)中的變量不是同一概念．2．列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個(gè)分類變量的頻數(shù)． (

)3．列聯(lián)表、頻率分析法、等高條形圖都可初步分析兩分類變量是否有關(guān)系． (

)×√√[微訓(xùn)練]1．下列不是分類變量的是(

) A．近視

B．成績(jī) C．血壓

D．飲酒

解析

近視變量有近視與不近視兩種類別，血壓變量有異常、正常兩種類別，飲酒變量有飲酒與不飲酒兩種類別．故選B.

答案B2．某校為了檢驗(yàn)高中數(shù)學(xué)新課程改革的成果，在兩個(gè)班進(jìn)行教學(xué)方式的對(duì)比試驗(yàn)，兩個(gè)月后進(jìn)行了一次檢測(cè)，試驗(yàn)班與對(duì)照班成績(jī)統(tǒng)計(jì)如2×2列聯(lián)表所示(單位：人)，則其中m＝________，n＝________．

80分及80分以上80分以下合計(jì)試驗(yàn)班321850對(duì)照班24m50合計(jì)5644n答案26

100[微思考]1．是否吸煙、是否患肺癌是什么變量？

提示

分類變量．2．吸煙與患肺癌之間的關(guān)系還是前面我們研究的線性相關(guān)關(guān)系嗎？

提示

不是.解2×2列聯(lián)表如下：

年齡在六十歲以上年齡在六十歲以下合計(jì)飲食以蔬菜為主432164飲食以肉類為主273360合計(jì)7054124將表中數(shù)據(jù)代入公式得【訓(xùn)練1】假設(shè)有兩個(gè)分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為：

y1y2x11018x2m26則當(dāng)m取下面何值時(shí)，X與Y的關(guān)系最弱(

)A．8 B．9 C．14 D．19解析由10×26≈18m，解得m≈14.4，所以當(dāng)m＝14時(shí)，X與Y的關(guān)系最弱．答案C題型二用等高堆積條形圖分析兩分類變量間的關(guān)系【例2】某學(xué)校對(duì)高三學(xué)生作了一項(xiàng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：在平時(shí)的模擬考試中，性格內(nèi)向的學(xué)生426人中有332人在考前心情緊張，性格外向的學(xué)生594人中有213人在考前心情緊張，作出等高條形圖，利用圖形判斷考前心情緊張與性格類型是否有關(guān)系．

性格內(nèi)向性格外向合計(jì)考前心情緊張332213545考前心情不緊張94381475合計(jì)4265941020相應(yīng)的等高堆積條形圖如圖所示：圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向的人數(shù)的比例，從圖中可以看出考前心情緊張的樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例高，可以認(rèn)為考前心情緊張與性格類型有關(guān)．規(guī)律方法利用等高堆積條形圖判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)的步驟：【訓(xùn)練2】在調(diào)查的480名男人中有38人患色盲，520名女人中有6名患色盲，試?yán)脠D形來判斷色盲與性別是否有關(guān)？解根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)作出如下的列聯(lián)表：

色盲不色盲合計(jì)男38442480女6514520合計(jì)449561000根據(jù)列聯(lián)表作出相應(yīng)的等高堆積條形圖：從等高堆積條形圖來看，在男人中患色盲的比例要比在女人中患色盲的比例大得多，因此，我們認(rèn)為患色盲與性別是有關(guān)系的.一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．列聯(lián)表與等高堆積條形圖

列聯(lián)表由兩個(gè)分類變量之間頻率大小的差異說明這兩個(gè)變量之間是否有相關(guān)關(guān)系，而利用等高堆積條形圖能形象直觀地反映它們之間的差異，進(jìn)而推斷它們之間是否具有相關(guān)關(guān)系．二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．與表格相比，能更直觀地反映出相關(guān)數(shù)據(jù)總體狀況的是(

) A．列聯(lián)表 B．散點(diǎn)圖 C．殘差圖 D．等高堆積條形圖

答案D2．在一項(xiàng)有關(guān)醫(yī)療保健的社會(huì)調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)調(diào)查的男性為530人，女性為670人，其中男性中喜歡吃甜食的為117人，女性中喜歡吃甜食的為492人，則性別與喜歡吃甜食的2×2列聯(lián)表為________．答案

喜歡吃甜食不喜歡吃甜食合計(jì)男117413530女492178670合計(jì)60959112003.根據(jù)如圖所示的等高堆積條形圖可知吸煙與患肺病________關(guān)系(填“有”或“沒有”)．解析從等高條形圖上可以明顯地看出吸煙患肺病的頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于不吸煙患肺病的頻率．答案有4．(多空題)下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表：

y1y2合計(jì)x1a2173x222527合計(jì)b46100則表中a＝________，b＝__________．答案52

545．為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：

患病未患病合計(jì)服用藥104555未服用藥203050合計(jì)3075105第二課時(shí)獨(dú)立性檢驗(yàn)8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)課標(biāo)要求素養(yǎng)要求了解隨機(jī)變量χ2的意義，通過對(duì)典型案例分析，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和方法.通過運(yùn)用列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).新知探究山東省教育廳大力推行素質(zhì)教育，增加了高中生的課外活動(dòng)時(shí)間，某校調(diào)查了學(xué)生的課外活動(dòng)方式，結(jié)果整理成下表：?jiǎn)栴}如何判定“喜歡體育還是文娛與性別是否有聯(lián)系”？提示可通過表格與圖形進(jìn)行直觀分析，也可通過統(tǒng)計(jì)分析定量判斷．1.臨界值χ2

統(tǒng)計(jì)量也可以用來作相關(guān)性的度量．χ2

越小說明變量之間越獨(dú)立，χ2越大說明變量之間越相關(guān)2．獨(dú)立性檢驗(yàn)

基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則是：

當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α；

當(dāng)χ2＜xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立

，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立．

這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn)(testofindependence)．下表給出了χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8283.應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題的大致步驟 (1)提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋； (2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計(jì)算χ2的值，并與臨界值xα比較； (3)根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論； (4)在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．拓展深化[微判斷]1．概率值α越小，臨界值xα越大． (

)2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想類似于反證法． (

)3．獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論是有多大的把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系． (

)√√√

[微訓(xùn)練]1．如果根據(jù)小概率α＝0.01的χ2檢測(cè)試驗(yàn)，認(rèn)為H0成立，那么具體算出的數(shù)據(jù)滿足(

)

附表：α0.050.0250.0100.0050.001xα3.8415.0246.6357.87910.828A.χ2＞6.635 B．χ2＞5.024C．χ2＞7.879 D．χ2＞3.841答案A2．某校為了研究“學(xué)生的性別”和“對(duì)待某一活動(dòng)的態(tài)度”是否有關(guān)，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算χ2＝7.069，則認(rèn)為“學(xué)生性別與支持某項(xiàng)活動(dòng)有關(guān)系”的犯錯(cuò)誤的概率不超過(

) A．0.1% B．1% C．99% D．99.9%解析∵χ2＝7.069>6.635＝x0.01，∴認(rèn)為“學(xué)生性別與支持某項(xiàng)活動(dòng)有關(guān)系”的犯錯(cuò)誤的概率不超過1%.答案B[微思考]1．有人說：“在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙和患肺病有關(guān)，是指每100個(gè)吸煙者中就會(huì)有99個(gè)患肺病的．”你認(rèn)為這種觀點(diǎn)正確嗎？為什么？

提示

觀點(diǎn)不正確．犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01說明的是吸煙與患肺病有關(guān)的程度，不是患肺病的百分?jǐn)?shù)．2．應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想對(duì)兩個(gè)變量間的關(guān)系作出的推斷一定是正確的嗎？

提示

不一定．所有的推斷只代表一種可能性，不代表具體情況．題型一有關(guān)“相關(guān)的檢驗(yàn)”【例1】某校對(duì)學(xué)生課外活動(dòng)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果整理成下表，用你所學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行分析，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為“喜歡體育還是文娛與性別有關(guān)系”？

體育文娛合計(jì)男生212344女生62935合計(jì)275279解零假設(shè)為H0：喜歡體育還是喜歡文娛與性別沒有關(guān)系∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79，根據(jù)小概率值α＝0.005的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為喜歡體育還是喜歡文娛與性別有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.【訓(xùn)練1】打鼾不僅影響別人休息，而且可能與患某種疾病有關(guān)．下表是一次調(diào)查所得的數(shù)據(jù)：

患心臟病未患心臟病合計(jì)每一晚都打鼾30224254不打鼾2413551379合計(jì)5415791633根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為每一晚都打鼾與患心臟病有關(guān)系？解零假設(shè)為H0：打鼾與患心臟病無關(guān)系由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得≈68.033>10.828＝x0.001.根據(jù)小概率值α＝0.001的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為打鼾與患心臟病有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.題型二有關(guān)“無關(guān)的檢驗(yàn)”【例2】為了探究學(xué)生選報(bào)文、理科是否與對(duì)外語的興趣有關(guān)，某同學(xué)調(diào)查了361名高二在校學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下：理科生對(duì)外語有興趣的有138人，無興趣的有98人，文科生對(duì)外語有興趣的有73人，無興趣的有52人．試分析學(xué)生選報(bào)文、理科與對(duì)外語的興趣是否有關(guān)？

解零假設(shè)為H0：選報(bào)文、理科與對(duì)外語的興趣無關(guān)．

列出2×2列聯(lián)表

理文合計(jì)有興趣13873211無興趣9852150合計(jì)236125361代入公式得χ2的觀測(cè)值∵1.871×10－4＜2.706＝x0.1，根據(jù)小概率值α＝0.1的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，即選報(bào)文、理科與對(duì)外語的興趣無關(guān).規(guī)律方法獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)注點(diǎn)在2×2列聯(lián)表中，如果兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad－bc≈0，因此|ad－bc|越小，關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，關(guān)系越強(qiáng)．【訓(xùn)練2】某教育機(jī)構(gòu)為了研究成年人具有大學(xué)?？埔陨蠈W(xué)歷(包括大學(xué)專科)和對(duì)待教育改革態(tài)度的關(guān)系，隨機(jī)抽取了392名成年人進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示：

積極支持教育改革不太贊成教育改革合計(jì)大學(xué)?？埔陨蠈W(xué)歷39157196大學(xué)?？埔韵聦W(xué)歷29167196合計(jì)68324392解零假設(shè)為H0：成年人具有大學(xué)專科以上學(xué)歷(包括大學(xué)?？?和對(duì)待教育改革態(tài)度無關(guān)．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得因?yàn)?.78<2.706＝x0.1，根據(jù)小概率值α＝0.1的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，所以我們沒有理由說成年人具有大學(xué)?？埔陨蠈W(xué)歷(包括大學(xué)?？?和對(duì)待教育改革態(tài)度有關(guān)．題型三獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用【例3】某高校共有學(xué)生15000人，其中男生10500人，女生4500人．為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間(單位：時(shí))的樣本數(shù)據(jù)． (1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？ (2)根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)的概率．(3)在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)，請(qǐng)完成每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別的列聯(lián)表，并判斷是否認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”．附：α0.1000.0500.0100.005xα2.7063.8416.6357.879(2)由頻率分布直方圖得學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)的頻率為1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)的概率的估計(jì)值為0.75.(3)由(2)知，300位學(xué)生中有300×0.75＝225(人)的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)，75人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過4小時(shí)．樣本數(shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的，90份是關(guān)于女生的，可得每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別的列聯(lián)表如下：

男生女生合計(jì)每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過4小時(shí)453075每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)16560225合計(jì)21090300零假設(shè)為H0：該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別無關(guān)．結(jié)合列聯(lián)表可算得根據(jù)小概率值α＝0.1的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.【訓(xùn)練3】某校高三年級(jí)在一次全年級(jí)的大型考試中，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學(xué)生中，物理、化學(xué)、總分成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分成績(jī)優(yōu)秀有關(guān)系？

物理優(yōu)秀化學(xué)優(yōu)秀總分優(yōu)秀數(shù)學(xué)優(yōu)秀228225267數(shù)學(xué)非優(yōu)秀14315699解零假設(shè)為H0：數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分成績(jī)優(yōu)秀都無關(guān)系．列出數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)的2×2列聯(lián)表如下：

物理優(yōu)秀物理非優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀228132360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀143737880合計(jì)3718691240列出數(shù)學(xué)成績(jī)與化學(xué)成績(jī)的2×2列聯(lián)表如下：

化學(xué)優(yōu)秀化學(xué)非優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀225135360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀156724880合計(jì)3818591240列出數(shù)學(xué)成績(jī)與總分成績(jī)的2×2列聯(lián)表如下：

總分優(yōu)秀總分非優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀26793360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀99781880合計(jì)3668741240根據(jù)小概率值α＝0.001的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分成績(jī)優(yōu)秀都有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的理解

獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于數(shù)學(xué)中的反證法．先假設(shè)“兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系”成立，計(jì)算χ2的值，如果χ2值很大，說明假設(shè)不合理，χ2越大，兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性越大．二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．對(duì)兩個(gè)分類變量A，B的下列說法中正確的個(gè)數(shù)為(

) ①A與B無關(guān)，即A與B互不影響； ②A與B關(guān)系越密切，則χ2的值就越大； ③χ2的大小是判定A與B是否相關(guān)的唯一依據(jù) A．0 B．1 C．2 D．3

解析①正確，A與B無關(guān)即A與B相互獨(dú)立；②不正確，χ2的值的大小只是用來檢驗(yàn)A與B是否相互獨(dú)立；③不正確，例如借助三維柱形圖、二維條形圖等．故選B.

答案B2．高二第二學(xué)期期中考試，按照甲、乙兩個(gè)班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀和及格統(tǒng)計(jì)人數(shù)后，得到如下列聯(lián)表：

優(yōu)秀及格合計(jì)甲班113445乙班83745合計(jì)197190則χ2的觀測(cè)值約為(

)A