人教2019A版選擇性必修第三冊(cè)

第七章

隨機(jī)變量及其分布

7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列（第一課時(shí)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解隨機(jī)變量的意義,了解隨機(jī)變量與函數(shù)的區(qū)別;2.掌握離散型隨機(jī)變量的概念,能夠?qū)懗鲭S機(jī)變量的取值以及隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果;

求隨機(jī)事件的概率時(shí),我們往往需要為隨機(jī)試驗(yàn)建立樣本空間,并會(huì)涉及樣本點(diǎn)和隨機(jī)事件的表示問(wèn)題,類似函數(shù)在數(shù)集與數(shù)集之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系,如果我們?cè)陔S機(jī)試驗(yàn)的樣本空間與實(shí)數(shù)集之間建立某種對(duì)應(yīng),將不僅可以為一些隨機(jī)事件的表示帶來(lái)方便,而且能更好地利用數(shù)學(xué)工具研究隨機(jī)試驗(yàn).

問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

1.隨機(jī)試驗(yàn)一般地，一個(gè)試驗(yàn)如果滿足下列條件：①試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不只一個(gè)；③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果;這種試驗(yàn)就是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，為了方便起見(jiàn)，也簡(jiǎn)稱試驗(yàn).

隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間與實(shí)數(shù)集之間能否建立某種對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？知識(shí)回顧

探究1.有些隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間與數(shù)值有關(guān)系,我們可以直接與實(shí)數(shù)建立關(guān)系.（1）擲一枚骰子用實(shí)數(shù)??(??=1,2,3,4,5,6)表示“擲出的點(diǎn)數(shù)為??”，又如,擲兩枚骰子樣本空間為Ω={(??,??)|??,??=1,2,?6},用??+??表示“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和”樣本點(diǎn)(??,??)就與實(shí)數(shù)??+??對(duì)應(yīng).（2）.某射擊運(yùn)動(dòng)員在射擊訓(xùn)練中，其中某次射擊可能出現(xiàn)命中的環(huán)數(shù)情況有哪些？實(shí)數(shù)??(??=0,1,2,3,4,5,6,···,10)表示“擊中環(huán)數(shù)??”（0環(huán)、1環(huán)、2環(huán)、···、10環(huán)）共11種結(jié)果問(wèn)題探究

探究2.有些隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間與數(shù)值沒(méi)有直接關(guān)系,可以根據(jù)問(wèn)題的需要為每個(gè)樣本點(diǎn)指定一個(gè)數(shù)值.問(wèn)題探究類似地,（2）.擲一枚硬幣,可將試驗(yàn)結(jié)果“正面朝上”用1表示,“反面朝上”用0表示（3）.隨機(jī)調(diào)查學(xué)生的體育綜合測(cè)試成績(jī),可將等級(jí)成績(jī)優(yōu)、良、中等、及格、不及格分別賦值5.4.3.2.1;等等,對(duì)于任何一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),總可以把它的每個(gè)樣本點(diǎn)與一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)。即通過(guò)引入一個(gè)取值依賴于樣本點(diǎn)的變量X,來(lái)刻畫樣本點(diǎn)和實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,實(shí)現(xiàn)樣本點(diǎn)的數(shù)量化.因?yàn)樵陔S機(jī)試驗(yàn)中樣本點(diǎn)的出現(xiàn)具有隨機(jī)性,所以變量X的取值也具有隨機(jī)性。探究3.考察下列隨機(jī)試驗(yàn)及其引入的變量：試驗(yàn)1:從100個(gè)電子元件(至少含3個(gè)以上次品)中隨機(jī)抽取三個(gè)進(jìn)行試驗(yàn)，變量X表示三個(gè)元件中次品數(shù);試驗(yàn)2:拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止，變量Y表示需要的拋擲次數(shù).這兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間各是什么?各個(gè)樣本點(diǎn)與變量的值是如何對(duì)應(yīng)的?變量X,Y有哪些共同的特征?問(wèn)題探究

問(wèn)題探究(1).取值依賴于樣本點(diǎn);(2).所有可能取值是明確的.問(wèn)題探究問(wèn)題：變量X,Y有哪些共同的特征?概念解析

隨機(jī)變量的特點(diǎn)可以用數(shù)字表示試驗(yàn)之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值在試驗(yàn)之前不可能確定取何值概念解析隨機(jī)變量將隨機(jī)事件的結(jié)果數(shù)量化．1.下列變量中，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量？并說(shuō)明理由．(1)上海國(guó)際機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中2020年10月1日的旅客數(shù)量；(2)2021年某天濟(jì)南至北京的D36次列車到北京站的時(shí)間；(3)2021年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數(shù)；(4)體積為1000cm3的球的半徑長(zhǎng)．概念辨析【解】(1)候機(jī)室中的旅客數(shù)量可能是：0,1,2，…，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量．(2)D36次濟(jì)南至北京的列車，到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間每次都是隨機(jī)的，可能提前，可能準(zhǔn)時(shí)，亦可能晚點(diǎn)，故是隨機(jī)變量．(3)在2019年5月1日到10月1日期間，所查酒駕的人數(shù)是隨機(jī)變化的，也可能多，也可能少，因此是隨機(jī)變量．(4)體積為1000cm3的球的半徑長(zhǎng)為定值，故不是隨機(jī)變量．隨機(jī)變量從本質(zhì)上講就是以隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果為自變量的一個(gè)函數(shù)，即隨機(jī)變量的取值實(shí)質(zhì)上是試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)的數(shù)，但這些數(shù)是預(yù)先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一個(gè)值．歸納總結(jié)3.隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系

概念辨析所謂隨機(jī)變量，即是隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是人為建立起來(lái)的，但又是客觀存在的這與函數(shù)概念的本質(zhì)是一樣的，只不過(guò)在函數(shù)概念中，函數(shù)f(x)的自變量x是實(shí)數(shù)，而在隨機(jī)變量的概念中，隨機(jī)變量X的自變量是試驗(yàn)結(jié)果,不一定是實(shí)數(shù)

4.連續(xù)性隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量是指可以取某一區(qū)間的一切值的隨機(jī)變量,又稱作連續(xù)型隨機(jī)變量.

問(wèn)題：你能總結(jié)隨機(jī)變量X的特點(diǎn)嗎？(1)可以用數(shù)量來(lái)表示;(2)試驗(yàn)前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值;(3)在試驗(yàn)前不能確定取何值.概念辨析2.下列變量中是離散型隨機(jī)變量的是？

(1)下期《詩(shī)詞大會(huì)》節(jié)目中過(guò)關(guān)的人數(shù)；(2)某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差；(3)在鄭州至武漢的電氣化鐵道線上，每隔50m有一電線鐵塔，從鄭州至武漢的電氣化鐵道線上將電線鐵塔進(jìn)行編號(hào)，其中某一電線鐵塔的編號(hào)；(4)江西九江市長(zhǎng)江水位監(jiān)測(cè)站所測(cè)水位在(0,29]這一范圍內(nèi)變化，該水位站所測(cè)水位．答案：(1)(3)概念辨析【解析】

(1)是離散型隨機(jī)變量．因?yàn)檫^(guò)關(guān)人數(shù)可以一一列出．(2)不是離散型隨機(jī)變量．因?yàn)閷?shí)際測(cè)量值與規(guī)定值之間的差值無(wú)法一一列出．(3)是離散型隨機(jī)變量．因?yàn)殡娋€鐵塔為有限個(gè)，其編號(hào)從1開(kāi)始可一一列出．(4)不是離散型隨機(jī)變量．因?yàn)樗辉?0,29]這一范圍內(nèi)變化，對(duì)水位值我們不能按一定次序一一列出．變式探究：將本例的(4)改為：監(jiān)測(cè)站所測(cè)水位X是否超過(guò)警戒水位(警戒水位是29m)，X是離散型隨機(jī)變量嗎?歸納總結(jié)例1.寫出下列各隨機(jī)變量可能的取值，并說(shuō)明隨機(jī)變量所取值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果：（1）從10張已編號(hào)的卡片（從1號(hào)到10號(hào)）中任取1張，被取出的卡片的號(hào)數(shù)X

。（2）一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球數(shù)X．（3）拋擲兩個(gè)骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和X．（4）接連不斷地射擊，首次命中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)X

．（5）某一自動(dòng)裝置無(wú)故障運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)間X．（6）某林場(chǎng)樹(shù)木最高達(dá)30米，此林場(chǎng)樹(shù)木的高度X

．

典例解析例2.從標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的6張卡片中任取2張，所取卡片上的數(shù)字之和．典例解析解析：設(shè)所取卡片上的數(shù)字之和為X，則X＝3,4,5，…，11.X＝3，表示取出標(biāo)有1,2的兩張卡片；X＝4，表示取出標(biāo)有1,3的兩張卡片；X＝5，表示取出標(biāo)有2,3或1,4的兩張卡片；X＝6，表示取出標(biāo)有2,4或1,5的兩張卡片；X＝7，表示取出標(biāo)有3,4或2,5或1,6的兩張卡片；X＝8，表示取出標(biāo)有2,6或3,5的兩張卡片；X＝9，表示取出標(biāo)有3,6或4,5的兩張卡片；X＝10，表示取出標(biāo)有4,6的兩張卡片；X＝11，表示取出標(biāo)有5,6的兩張卡片．變式探究：本題中條件不變，所取卡片上的數(shù)字之差的絕對(duì)值為隨機(jī)變量X，請(qǐng)問(wèn)X有哪些取值？其中X＝4表示什么含義？解析：X的所有可能取值有：1,2,3,4,5共5個(gè)．“X＝4”表示取到卡片1和卡片5或卡片2和卡片6兩種結(jié)果．⑴擲兩枚均勻硬幣一次，則正面?zhèn)€數(shù)與反面?zhèn)€數(shù)之差的可能的值有

．⑵袋中有大小相同的5個(gè)小球，分別標(biāo)有1、2、3、4、5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在在有放回的條件下取出兩個(gè)小球，設(shè)兩個(gè)小球號(hào)碼之和為X，則X所有可能值的個(gè)數(shù)是

個(gè)；“X＝4”表示

．解析：（1）－2、0、2；（2）9；“第一次抽1號(hào)、第二次抽3號(hào)，或者第一次抽3號(hào)、第二次抽1號(hào)，或者第一次、第二次都抽2號(hào)．跟蹤訓(xùn)練

解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是理解清楚隨機(jī)變量所有可能的取值及其取每一個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的意義，不要漏掉或多取值，同時(shí)要找好對(duì)應(yīng)關(guān)系．歸納總結(jié)例3.某人去商場(chǎng)為所在公司買玻璃水杯若干只，公司要求至少要買50只，但不得超過(guò)80只．商場(chǎng)有優(yōu)惠規(guī)定：一次購(gòu)買這種玻璃水杯小于或等于50只不優(yōu)惠，大于50只的，超出部分按原價(jià)的7折優(yōu)惠，已知原來(lái)的水杯價(jià)格是每只6元．這個(gè)人一次購(gòu)買水杯的只數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，那么他所付的款額Y是否也是一個(gè)隨機(jī)變量呢？這兩個(gè)隨機(jī)變量有什么關(guān)系？解析：公司至少要買50只，則Y=50×6+(X?50)×6×0.7=300+4.2???210=4.2??+90.典例解析若X是隨機(jī)變量,則Y=aX+b(其中a、b是常數(shù))也是隨機(jī)變量.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)1．隨機(jī)變量是試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，隨機(jī)變量是將試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對(duì)應(yīng)于隨機(jī)試驗(yàn)的某一個(gè)隨機(jī)事件．2．寫隨機(jī)變量表示的結(jié)果，要看三個(gè)特征：(1)可用數(shù)來(lái)表示；(2)試驗(yàn)之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值；(3)在試驗(yàn)之前不能確定取值．課堂小結(jié)人教2019A版選擇性必修第三冊(cè)

第七章

隨機(jī)變量及其分布

《7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列（第一課時(shí)）》導(dǎo)學(xué)案課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過(guò)具體實(shí)例，了解離散型隨機(jī)變量的概念.2.了解分布列對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性.通過(guò)研究離散型隨機(jī)變量的概念，提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).新知探究在奧運(yùn)射擊運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員射擊一次，可能出現(xiàn)命中0環(huán)，命中1環(huán)，……，命中10環(huán)等結(jié)果，若用X來(lái)表示他一次射擊所命中的環(huán)數(shù)，則X即為隨機(jī)變量．問(wèn)題上述情景中，隨機(jī)變量X的取值情況如何？提示隨機(jī)變量X的結(jié)果可由0，1，……，10共11個(gè)數(shù)來(lái)表示．1．隨機(jī)變量隨機(jī)變量是將試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對(duì)應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的某一個(gè)隨機(jī)事件．定義：一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有______的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量．唯一2．離散型隨機(jī)變量

可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量，我們稱為離散型隨機(jī)變量，通常用__________字母表示隨機(jī)變量，用__________字母表示隨機(jī)變量的取值.3.隨機(jī)變量和函數(shù)的關(guān)系

隨機(jī)變量的定義與函數(shù)的定義類似，這里的樣本點(diǎn)ω相當(dāng)于函數(shù)定義中的自變量，而樣本空間Ω相當(dāng)于函數(shù)的定義域，不同之處在于Ω不一定是數(shù)集．小寫英文大寫英文拓展深化[微判斷]1．隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè)，也可以是無(wú)限可列個(gè)． (

)2．離散型隨機(jī)變量的取值是任意的實(shí)數(shù)． (

)

提示取值是有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量才是離散型隨機(jī)變量．3．離散型隨機(jī)變量是指某一區(qū)間內(nèi)的任意值． (

)

提示離散型隨機(jī)變量一定是某個(gè)區(qū)間內(nèi)有限個(gè)或可以一一列舉的值．×√×[微訓(xùn)練]1．袋中有大小相同的紅球6個(gè)，白球5個(gè)，從袋中無(wú)放回地條件下每次任意取出一個(gè)球，直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數(shù)為隨機(jī)變量X，則X的可能取值為(

) A．1，2，…，6 B．1，2，…，7 C．1，2，…，11 D．1，2，3，…解析可能第一次就取到白球，也可能把6個(gè)紅球都取完后，才取得白球，故X的可能取值為1，2，3，4，5，6，7.答案B2．在考試中，需回答三個(gè)問(wèn)題，考試規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分，則這名同學(xué)回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分X的所有可能取值是__________．

解析當(dāng)答對(duì)3道題時(shí)，X＝300；當(dāng)答對(duì)2道題時(shí)，X＝100；當(dāng)答對(duì)1道題時(shí)，X＝－100；當(dāng)答對(duì)0道題時(shí)，X＝－300.

答案300,100,－100,－300[微思考]1．隨機(jī)變量是自變量嗎？

提示

不是．它是隨試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的，不是主動(dòng)變化的．2．離散型隨機(jī)變量的取值必須是有限個(gè)嗎？

提示

不一定．離散型隨機(jī)變量的取值可以一一列舉出來(lái)，所取值可以是有限個(gè)，也可以是無(wú)限個(gè)．題型一隨機(jī)變量的概念【例1】判斷下列各個(gè)量是否為隨機(jī)變量，并說(shuō)明理由． (1)從10張已編好號(hào)碼的卡片(從1號(hào)到10號(hào))中任取一張，被抽出卡片的號(hào)數(shù)； (2)拋兩枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和； (3)體積為8cm3的正方體的棱長(zhǎng)．解(1)被抽取卡片的號(hào)數(shù)可能是1，2，…，10，出現(xiàn)哪種結(jié)果是隨機(jī)的，是隨機(jī)變量．(2)拋兩枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和可能為2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共11種情況，出現(xiàn)哪種情況都是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量．(3)正方體的棱長(zhǎng)為定值，不是隨機(jī)變量.規(guī)律方法解答此類題目的關(guān)鍵在于分析變量是否滿足隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，即隨機(jī)變量的取值實(shí)質(zhì)上是試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)的數(shù)，但這些數(shù)是預(yù)先知道所有可能取的值，而不知道在一次試驗(yàn)中哪一個(gè)結(jié)果發(fā)生，隨機(jī)變量取哪一個(gè)值．【訓(xùn)練1】

指出下列哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說(shuō)明理由． (1)某人射擊一次命中的環(huán)數(shù)； (2)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)； (3)某個(gè)人的屬相隨年齡的變化．

解(1)某人射擊一次，可能命中的所有環(huán)數(shù)是0，1，…，10，而且出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此命中的環(huán)數(shù)是隨機(jī)變量． (2)擲一枚骰子，出現(xiàn)的結(jié)果是1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)，4點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)中的一個(gè)，且出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是隨機(jī)變量． (3)一個(gè)人的屬相在他出生時(shí)就確定了，不隨年齡的變化而變化，因此屬相不是隨機(jī)變量．題型二離散型隨機(jī)變量的判斷【例2】指出下列隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量，并說(shuō)明理由． (1)湖南矮寨大橋橋面一側(cè)每隔30米有一路燈，將所有路燈進(jìn)行編號(hào)，其中某一路燈的編號(hào)X； (2)在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)，小明同學(xué)參加競(jìng)賽獲得的獎(jiǎng)次X； (3)丁俊暉在2017年世錦賽中每局所得的分?jǐn)?shù)．解(1)橋面上的路燈是可數(shù)的，編號(hào)X可以一一列出，

是離散型隨機(jī)變量．(2)小明獲獎(jiǎng)等次X可以一一列出，是離散型隨機(jī)變量．(3)每局所得的分?jǐn)?shù)X可以一一列舉出來(lái)，是離散型隨機(jī)變量．規(guī)律方法判斷離散型隨機(jī)變量的方法(1)明確隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果．(2)將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化．(3)確定試驗(yàn)結(jié)果所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是否可以一一列出，如能一一列出，則該隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量，否則不是．【訓(xùn)練2】下列隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)是(

) ①擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)； ②投籃一次的結(jié)果； ③某同學(xué)在12：00至12：30到校的時(shí)間； ④從含有50件合格品、10件次品的產(chǎn)品中任取3件，其中合格品的件數(shù)． A．1 B．2 C．3 D．4解析①中骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，4，5，6，可以一一列舉出來(lái)．②中投籃一次有兩種情況，若用1表示投中，0表示不中，則也可以一一列舉出來(lái)．④中所取3件產(chǎn)品的合格品數(shù)可能為0，1，2，3，共4種情況，可以一一列舉出來(lái)．③中學(xué)生到校時(shí)間可以是12：00到12：30中的任意時(shí)刻，不能一一列舉出來(lái)，因此③不是離散型隨機(jī)變量，故只有①②④滿足．答案C題型三用隨機(jī)變量表示事件的結(jié)果【例3】寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，

并說(shuō)明這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果． (1)袋中有大小相同的紅球10個(gè)，

白球5個(gè)，

從袋中每次任取1個(gè)球，

取后不放回，

直到取出的球是白球?yàn)橹梗?/p>

所需要的取球次數(shù)． (2)從分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的6張卡片中任取2張，

所取卡片上的數(shù)字之和．解(1)設(shè)所需的取球次數(shù)為X,則X＝1，2，3，4，…，10，11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是紅球，

第i次取到白球，

這里i＝1，2，3，4，…，11.(2)設(shè)所取卡片上的數(shù)字之和為X,則X＝3，4，5，…，11.X＝3,表示“取出標(biāo)有1，2的兩張卡片”；X＝4,表示“取出標(biāo)有1，3的兩張卡片”；X＝5,表示“取出標(biāo)有2，3或1，4的兩張卡片”；X＝6,表示“取出標(biāo)有2，4或1，5的兩張卡片”；X＝7,表示“取出標(biāo)有3，4或2，5或1，6的兩張卡片”；X＝8,表示“取出標(biāo)有2，6或3，5的兩張卡片”；X＝9,表示“取出標(biāo)有3，6或4，5的兩張卡片”；X＝10,表示“取出標(biāo)有4，6的兩張卡片”；X＝11,表示“取出標(biāo)有5，6的兩張卡片”．【遷移1】

(變條件)若本例(2)中條件不變，

所取卡片上的數(shù)字之差的絕對(duì)值為隨機(jī)變量Y,請(qǐng)問(wèn)Y有哪些取值？

其中Y＝4表示什么含義？

解Y的所有可能取值有：1，2，3，4，5. Y＝4表示“取出標(biāo)有1，5或2，6的兩張卡片”．【遷移2】

(變條件，

變問(wèn)法)甲、乙兩隊(duì)員進(jìn)行乒乓球單打比賽，規(guī)定采用“七局四勝制”，用X表示需要比賽的局?jǐn)?shù)，寫出X所有可能的取值，并寫出表示的試驗(yàn)結(jié)果．

解根據(jù)題意可知X的可能取值為4，5，6，7. X＝4表示共打了4局，甲、乙兩人有1人連勝4局． X＝5表示在前4局中有1人輸了一局，最后一局此人勝出． X＝6表示在前5局中有1人輸了2局，最后一局此人勝出． X＝7表示在前6局中，兩人打平，后一局有1人勝出．規(guī)律方法解答用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)和注意點(diǎn)(1)關(guān)鍵點(diǎn)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是明確隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的意義，即一個(gè)隨機(jī)變量的取值對(duì)應(yīng)一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．(2)注意點(diǎn)：解答過(guò)程中不要漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果．【訓(xùn)練3】

(多空題)一個(gè)木箱中裝有6個(gè)大小相同的籃球，編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)隨機(jī)抽取3個(gè)籃球，以X表示取出的籃球的最大號(hào)碼，則X所有可能的取值為_(kāi)_________，其中X＝4表示的試驗(yàn)結(jié)果有__________種．一、素養(yǎng)落地1．通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng)．2．所謂的隨機(jī)變量就是試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，隨機(jī)變量是將試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對(duì)應(yīng)于隨機(jī)試驗(yàn)的某一個(gè)隨機(jī)事件．3．寫隨機(jī)變量表示的結(jié)果，要看三個(gè)特征：(1)可用數(shù)來(lái)表示；(2)試驗(yàn)之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值；(3)在試驗(yàn)之前不能確定取值．二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的為(

) A．將一枚均勻硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和 B．某人早晨在車站等出租車的時(shí)間 C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù) D．袋中有2個(gè)黑球6個(gè)紅球，任取2個(gè)，取得一個(gè)紅球的可能性

解析選項(xiàng)A，擲硬幣不是正面向上就是反面向上，次數(shù)之和為5，是常量；選項(xiàng)B，是隨機(jī)變量，但不能一一列出，不是離散型隨機(jī)變量；選項(xiàng)D，事件發(fā)生的可能性不是隨機(jī)變量．故選C.答案C2．?dāng)S均勻硬幣一次，隨機(jī)變量為(

) A．?dāng)S硬幣的次數(shù) B．出現(xiàn)正面向上的次數(shù) C．出現(xiàn)正面向上的次數(shù)或反面向上的次數(shù) D．出現(xiàn)正面向上的次數(shù)與反面向上的次數(shù)之和解析擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果是正面向上或反面向上，以一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)如正面向上的次數(shù)來(lái)描述這一隨機(jī)試驗(yàn)，那么正面向上的次數(shù)就是隨機(jī)變量，設(shè)為X，X的取值是0，1.A項(xiàng)中擲硬幣的次數(shù)就是1，不是隨機(jī)變量；C項(xiàng)中的標(biāo)準(zhǔn)模糊不清；D項(xiàng)中，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)和反面向上的次數(shù)的和必是1，對(duì)應(yīng)的是必然事件，試驗(yàn)前便知是必然出現(xiàn)的結(jié)果，所以不是隨機(jī)變量．故選B.答案B3．10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是(

) A．取到產(chǎn)品的件數(shù) B．取到正品的概率 C．取到次品的件數(shù)

D．取到次品的概率

解析對(duì)于A中取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個(gè)常量不是變量，B、D也是一個(gè)定值，而C中取到次品的件數(shù)可能是0，1，2，是隨機(jī)變量．

答案C4.拋擲2枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和記為X，那么“X＝4”表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果是(

) A．2枚都是4點(diǎn) B．1枚是1點(diǎn)，另1枚是3點(diǎn)或者1枚是3點(diǎn)，另1枚是1點(diǎn) C．2枚都是2點(diǎn) D．1枚是1點(diǎn)，另1枚是3點(diǎn)，或者2枚都是2點(diǎn)，或者1枚是3點(diǎn)，另一枚是1點(diǎn)解析拋擲2枚骰子，設(shè)其中1枚是x點(diǎn)，另1枚是y點(diǎn)，其中x，y＝1，2，…，6.而X＝x＋y，5．下列隨機(jī)變量中不是離散型隨機(jī)變量的是__________(填序號(hào))． ①?gòu)V州白云機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中一天的旅客數(shù)量X； ②廣州某水文站觀察到一天中珠江的水位X； ③深圳歡樂(lè)谷一日接待游客的數(shù)量X； ④虎門大橋一天經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)X.

解析①③④中的隨機(jī)變量X的所有取值，我們都可以按照一定的次序一一列出，因此它們是離散型隨機(jī)變量；②中的隨機(jī)變量X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，但無(wú)法按一定的次序一一列出，故不是離散型隨機(jī)變量，故填②.

答案②人教2019A版選擇性必修第三冊(cè)

第七章

隨機(jī)變量及其分布

7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列（第二課時(shí)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解取有限值的離散型隨機(jī)變量的分布列及兩點(diǎn)分布的概念及表示．2．掌握離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)．3．會(huì)求某些簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列(含兩點(diǎn)分布)．

隨機(jī)變量的特點(diǎn)可以用數(shù)字表示試驗(yàn)之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值在試驗(yàn)之前不可能確定取何值隨機(jī)變量將隨機(jī)事件的結(jié)果數(shù)量化．溫故知新3、古典概型:①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。2、隨機(jī)變量的分類①離散型隨機(jī)變量:X的取值可一、一列出；②連續(xù)型隨機(jī)變量:X可以取某個(gè)區(qū)間內(nèi)的一切值探究1.拋擲一枚骰子,所得的點(diǎn)數(shù)X有哪些值？取每個(gè)值的概率是多少？

問(wèn)題探究該表不僅列出了隨機(jī)變量X的所有取值而且列出了X的每一個(gè)取值的概率．X123456

概念解析解析式法：P（X=xi）=pi,i=1,2,3…,n圖象法:概念解析分布列的表示：函數(shù)可以用解析式、表格、圖象表示。離散型隨機(jī)變量的分布列也可以用解析式、表格、圖象表示。Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn表格法：2.離散型隨機(jī)變量的分布列具有下述兩個(gè)性質(zhì)：注意：①.列出隨機(jī)變量的所有可能取值；②.求出隨機(jī)變量的每一個(gè)值發(fā)生的概率.概念解析小試牛刀

典例解析

X01P0.950.05X01P1－PP

概念解析兩點(diǎn)分布列小試牛刀跟蹤訓(xùn)練1.設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍,用隨機(jī)變量X描述一次試驗(yàn)的成功次數(shù),則P(X=0)等于(

)答案:B跟蹤訓(xùn)練例2.某學(xué)校高二年級(jí)有200名學(xué)生,他們的體育綜合測(cè)試成績(jī)分5個(gè)等級(jí),每個(gè)等級(jí)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)和人數(shù)如下表所示.從這200名學(xué)生中任意選取1人,求所選同學(xué)分?jǐn)?shù)??的分布列以及??(??≥4).等級(jí)不及格及格中等良好優(yōu)秀分?jǐn)?shù)12345人數(shù)2050604030

典例解析X12345

例3.一批筆記本電腦共有10臺(tái)，其中A品牌3臺(tái),B品牌7臺(tái).如果從中隨機(jī)挑選2臺(tái)，求這2臺(tái)電腦中A品牌臺(tái)數(shù)的分布列.解：設(shè)挑選的2臺(tái)電腦中??品牌的臺(tái)數(shù)為??,則??的可能取值為0,1,2.根據(jù)古典概型的知識(shí)，可得??的分布列X012

典例解析求離散型隨機(jī)變量分布列時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題(1)確定離散型隨機(jī)變量ξ的分布列的關(guān)鍵是要清楚ξ取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件,進(jìn)一步利用排列、組合知識(shí)求出ξ取每一個(gè)值的概率.(2)在求離散型隨機(jī)變量ξ的分布列時(shí),要充分利用分布列的性質(zhì),這樣不但可以減少運(yùn)算量,還可以驗(yàn)證分布列是否正確.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練2.一袋中裝有5只球,編號(hào)為1,2,3,4,5,在袋中同時(shí)取3只,以ξ表示取出的3只球中的最大號(hào)碼,寫出隨機(jī)變量ξ的分布列.跟蹤訓(xùn)練當(dāng)堂達(dá)標(biāo)課堂小結(jié)人教2019A版選擇性必修第三冊(cè)

第七章

隨機(jī)變量及其分布

《7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列（第二課時(shí)）》導(dǎo)學(xué)案課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過(guò)具體實(shí)例，理解離散型隨機(jī)變量的分布列.2.掌握離散型隨機(jī)變量分布列的表示方法和性質(zhì).通過(guò)研究離散型隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).新知探究在迎奧運(yùn)會(huì)射擊比賽訓(xùn)練中，統(tǒng)計(jì)某運(yùn)動(dòng)員的射擊結(jié)果可知，該運(yùn)動(dòng)員射擊所中環(huán)數(shù)均在7環(huán)(含7環(huán))以上，已知該運(yùn)動(dòng)員射擊一次命中7環(huán)的概率為0.1，射擊一次命中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率依次成等差數(shù)列．問(wèn)題你能知道該運(yùn)動(dòng)員射擊命中環(huán)數(shù)的概率分布情況嗎？提示通過(guò)學(xué)習(xí)本節(jié)課的離散型隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì)，我們可以很快解決此類問(wèn)題．1．離散型隨機(jī)變量的分布列離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各值的概率之和(1)離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為

x1，x2，…，xn

，我們稱X取每一個(gè)值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的____________，簡(jiǎn)稱為_(kāi)_______．概率分布列分布列(2)可以用表格來(lái)表示X的分布列，如下表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn還可以用圖形表示，如下圖直觀地表示了擲骰子試驗(yàn)中擲出的點(diǎn)數(shù)X的分布列，稱為X的概率分布圖．2．離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì) (1)______________________________

； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1.pi≥0，i＝1，2，…，nX01P1－pp我們稱X服從______分布或0－1分布．兩點(diǎn)拓展深化[微判斷]1．在離散型隨機(jī)變量分布列中隨機(jī)變量的每一個(gè)可能值對(duì)應(yīng)的概率可以為任意的實(shí)數(shù)． (

)

提示概率必須滿足pi≥0才行．2．在離散型隨機(jī)變量分布列中，在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各值的概率之積． (

)

提示在離散型隨機(jī)變量分布列中，在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各值的概率之和．3．在離散型隨機(jī)變量分布列中，所有概率之和為1. (

)×√×[微訓(xùn)練]1．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布列如下表：答案C[微思考]1．拋擲一枚骰子，朝上的一面所得點(diǎn)數(shù)X有哪些值？取每個(gè)值的概率是多少？2．離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的嗎？

提示

是．離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生，是彼此互斥的.題型一求離散型隨機(jī)變量的分布列【例1】為檢測(cè)某產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)抽取5件產(chǎn)品，測(cè)量產(chǎn)品中微量元素x，y的含量(單位：毫克)，測(cè)量數(shù)據(jù)如下：編號(hào)12345x169178166177180y7580777081如果產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足x≥177且y≥79時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．現(xiàn)從上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)X的分布列．解5件抽測(cè)品中有2件優(yōu)等品，則X的可能取值為0，1，2.∴優(yōu)等品數(shù)X的分布列為X012P0.30.60.1規(guī)律方法求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟(1)首先確定隨機(jī)變量X的取值；(2)求出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率；(3)列表對(duì)應(yīng)，即為分布列．【訓(xùn)練1】某班有學(xué)生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．現(xiàn)從中抽1人，其血型為隨機(jī)變量X，求X的分布列．解將O，A，B，AB四種血型分別編號(hào)為1