高中數(shù)學(xué)競賽系列講座——進(jìn)位制一、進(jìn)位制1、什么是進(jìn)位制？進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞嫈?shù)和運算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)。進(jìn)位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值?？墒褂脭?shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進(jìn)位制，簡稱n進(jìn)制。比方：

滿二進(jìn)一，就是二進(jìn)制；

滿十進(jìn)一，就是十進(jìn)制；滿十二進(jìn)一，就是十二進(jìn)制；

滿六十進(jìn)一，就是六十進(jìn)制“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，幾進(jìn)制的基數(shù)就是幾.基數(shù)：2、最常見的進(jìn)位制是什么？除此之外還有哪些常見的進(jìn)位制？請舉例說明．最常見的進(jìn)位制應(yīng)該是我們數(shù)學(xué)中的十進(jìn)制,比方一般的數(shù)值計算，但是并不是生活中的每一種數(shù)字都是十進(jìn)制的.古人有半斤八兩之說，就是十六進(jìn)制與十進(jìn)制的轉(zhuǎn)換.比方時間和角度的單位用六十進(jìn)位制,計算“一打”數(shù)值時是12進(jìn)制的。電子計算機(jī)用的是二進(jìn)制。

式中1處在百位，第一個3所在十位，第二個3所在個位，5和9分別處在十分位和百分位。十進(jìn)制數(shù)是逢十進(jìn)一的。我們最常用最熟悉的就是十進(jìn)制數(shù)，它的數(shù)值局部是十個不同的數(shù)字符號0，1，2，3，4，5，6，7，8，9來表示的。十進(jìn)制：例如133.59，它可用一個多項式來表示：133.59=1*102+3*101+3*100+5*10-1+9*10-2

實際上，十進(jìn)制數(shù)只是計數(shù)法中的一種，但它不是唯一記數(shù)法。除了十進(jìn)制數(shù)，生產(chǎn)生活中還會遇到非十進(jìn)制的記數(shù)制。如時間：60秒為1分，60分為1小時，它是六十進(jìn)制的。兩根筷子一雙，兩只手套為一副，它們是二進(jìn)制的。其它進(jìn)制：

二進(jìn)制、七進(jìn)制、八進(jìn)制、十二進(jìn)制、六十進(jìn)制……二進(jìn)制只有0和1兩個數(shù)字，七進(jìn)制用0~6七個數(shù)字十六進(jìn)制有0~9十個數(shù)字及ABCDEF六個字母.二進(jìn)制：八進(jìn)制：十六進(jìn)制：010，1,2,3,4,5,6,70，1，2，3，4，5，6，7，8，9，

A,B,C,D,E,F101112131415K進(jìn)制數(shù)的一般形式：其中注意：最高位不能是0

為了區(qū)分不同的進(jìn)位制，常在數(shù)的右下角標(biāo)明基數(shù)，十進(jìn)制一般不標(biāo)注基數(shù).例如十進(jìn)制的133.59，寫成133.59(10)七進(jìn)制的13，寫成13(7)；二進(jìn)制的10，寫成10(2)

一般地，若k是一個大于1的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制可以表示為一串?dāng)?shù)字連寫在一起的形式：3、十進(jìn)制的構(gòu)成十進(jìn)制由兩個局部構(gòu)成例如：3721其它進(jìn)位制的數(shù)又是如何的呢？第一、它有0～9十個數(shù)字；第二、它有“數(shù)位”，即從右往左為個位、十位、百位、千位等等。(用10個數(shù)字來記數(shù)，稱基數(shù)為10)表示有：1個1，2個十，7個百即7個10的平方，3個千即3個10的立方十進(jìn)制：“滿十進(jìn)一”探究：P43其它進(jìn)制數(shù)化成十進(jìn)制數(shù)公式二、二進(jìn)制二進(jìn)制是用0、1兩個數(shù)字來描述的．如11001二進(jìn)制的表示方法區(qū)分的寫法：11001〔2〕或者(11001)2八進(jìn)制呢？如7342(8)k進(jìn)制呢？anan-1an-2…a1(k)？三、二進(jìn)制與十進(jìn)制的轉(zhuǎn)換1、二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)例1：將二進(jìn)制數(shù)110011(2)化成十進(jìn)制數(shù)。解：根據(jù)進(jìn)位制的定義可知所以，110011〔2〕=51．其它進(jìn)制數(shù)化成十進(jìn)制數(shù)公式1、將下面的二進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)？（1）11（2）110練習(xí)2、把其他進(jìn)位制的數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的公式是什么？注意：1.最后一步商為0，2.將上式各步所得的余數(shù)從下到上排列，得到：89=1011001〔2〕〔十進(jìn)制化成二進(jìn)制〕：522212010余數(shù)11224489222201101練習(xí)將下面的十進(jìn)制數(shù)化為二進(jìn)制數(shù)？（1）10（2）20例1：把89化為五進(jìn)制數(shù)。3、十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為其它進(jìn)制解：根據(jù)除k取余法以5作為除數(shù)，相應(yīng)的除法算式為：所以，89=324〔5〕895175350423余數(shù)練習(xí)：完成以下進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化：〔1〕10231〔4〕=〔10〕；〔2〕235〔7〕=〔10〕；〔3〕137〔10〕=〔6〕；〔4〕1231〔5〕=〔7〕；〔5〕213〔4〕=〔3〕；〔6〕1010111〔2〕=〔4〕。1．進(jìn)位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值。可使用數(shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為k，即可稱k進(jìn)位制，簡稱k進(jìn)制。k進(jìn)制需要使用k個數(shù)字；2．十進(jìn)制與二進(jìn)制之間轉(zhuǎn)換的方法；先把這個k進(jìn)制數(shù)寫成用各位上的數(shù)字與k的冪的乘積之和的形式，再按照十進(jìn)制數(shù)的運算規(guī)那么計算出結(jié)果。小結(jié)將五進(jìn)制數(shù)434化為二進(jìn)制數(shù)．[解析]先將五進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)．434(5)＝4×52＋3×51＋4×50＝119，再將十進(jìn)制數(shù)119化為二進(jìn)制數(shù)．那么119＝1110111(2)所以434(5)＝1110111(2