第二章初等模型2.1公平的席位分配2.2雙層玻璃窗的功效2.3

核軍備競賽(自學(xué)了解,有誤?)2.4

實(shí)物交換2.1

公平的席位分配系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.5

乙6331.5

丙3417.0總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.8156.6153.57021.00021問題三個(gè)系學(xué)生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會議共20席，按比例分配，三個(gè)系分別為10，6，4席。現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103,63,34,問20席如何分配。若增加為21席，又如何分配。比例加慣例對丙系公平嗎系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.3

乙6331.56.3

丙3417.03.4總和200100.020.020系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.310

乙6331.56.36

丙3417.03.44總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.815116.61573.570321.00021“公平”分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo)人數(shù)席位A方p1

n1B方p2n2當(dāng)p1/n1=p2/n2

時(shí)，分配公平

p1/n1–p2/n2~對A的絕對不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者對A的不公平程度已大大降低!雖二者的絕對不公平度相同若p1/n1>p2/n2

，對不公平A

p1/n1–p2/n2=5公平分配方案應(yīng)使rA

,rB

盡量小設(shè)A,B已分別有n1,n2席，若增加1席，問應(yīng)分給A,還是B不妨設(shè)分配開始時(shí)p1/n1>p2/n2

，即對A不公平~對A的相對不公平度將絕對度量改為相對度量類似地定義rB(n1,n2)

將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2

，定義1）若p1/(n1+1)>p2/n2

，則這席應(yīng)給A2）若p1/(n1+1)<p2/n2

，此時(shí),有p1/n1>p2/(n2+1)，應(yīng)計(jì)算rB(n1+1,n2)應(yīng)計(jì)算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給應(yīng)討論以下幾種情況初始p1/n1>p2/n2

問：p1/n1<p2/(n2+1)

是否會出現(xiàn)？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給B當(dāng)rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),該席給ArA,rB的定義該席給A否則,該席給B

定義該席給Q值較大的一方推廣到m方分配席位該席給Q值最大的一方Q

值方法計(jì)算，幾何平均數(shù)的平方美學(xué)角度,可以鑒賞三系用Q值方法重新分配21個(gè)席位按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配結(jié)果公平嗎？Q1最大，第20席給甲系進(jìn)一步的討論Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的理想化準(zhǔn)則已知:m方人數(shù)分別為

p1,p2,…,pm,記總?cè)藬?shù)為P=p1+p2+…+pm,待分配的總席位為N。設(shè)理想情況下m方分配的席位分別為n1,n2,…,nm(自然應(yīng)有n1+n2+…+nm=N)，記qi=Npi/P,i=1,2,…,m,ni應(yīng)是N和p1,…,pm

的函數(shù)，即ni

=ni(N,p1,…,pm)若qi

均為整數(shù)，顯然應(yīng)ni=qi

qi=Npi/P不全為整數(shù)時(shí)，ni

應(yīng)滿足的準(zhǔn)則：記[qi]–=floor(qi)~向

qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向

qi方向取整.1)[qi]–

ni

[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni

(N,p1,…,pm)

ni

(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)

即ni必取[qi]–,[qi]+之一即當(dāng)總席位增加時(shí)，ni不應(yīng)減少“比例加慣例”方法滿足1），但不滿足2）Q值方法滿足2）,但不滿足1）。令人遺憾！評注：

學(xué)習(xí)者除了在尋找適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法解決席位的公平分配這一問題本身建模方法外，還應(yīng)當(dāng)從“從建立了相對不公平指標(biāo)、并最終導(dǎo)出Q-值法”這一過程得到啟發(fā)——盡管Q-值法能否被發(fā)現(xiàn)并不影響席位分配的最終方案，但用Q-值法來表述實(shí)現(xiàn)算法更加簡潔有效，而且很容易將由兩個(gè)團(tuán)體席位分配的算法推廣到多個(gè)團(tuán)體的情形，領(lǐng)會“內(nèi)容”與“形式”的辨證關(guān)系，認(rèn)真對待自己的每一次創(chuàng)作.2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外T2問題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失假設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對流T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)建模熱傳導(dǎo)定律Q1Q2Q~單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量

T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導(dǎo)系數(shù)2.2

雙層玻璃窗的功效dd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1~玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2~空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)建模消去

得記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對Q1比Q2的減少量作最保守的估計(jì)，取k1/k2=16建模hQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2,而這要求空氣非常干燥、不流通。房間通過天花板、墻壁……損失的熱量更多。雙層窗的功效不會如此之大思考題只要是兩種材料，玻璃和空氣，二者總厚度

d、l一定，考慮多層玻璃層空氣層相間，問它們的組和情況與熱傳導(dǎo)有無影響。2.3

核軍備競賽

冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實(shí)行“核威懾戰(zhàn)略”，核軍備競賽不斷升級。

隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束，雙方通過了一系列的核裁軍協(xié)議。

在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴(kuò)張，而存在暫時(shí)的平衡狀態(tài)。

當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時(shí)，平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化。

估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個(gè)數(shù)量受哪些因素影響。背景以雙方(戰(zhàn)略)核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小。假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：

認(rèn)為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地；己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊。在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地。摧毀這個(gè)基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定。模型假設(shè)圖的模型y=f(x)~甲方有x枚導(dǎo)彈，乙方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)x=g(y)~乙方有y枚導(dǎo)彈，甲方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)當(dāng)x=0時(shí)y=y0，y0~乙方的威懾值xyy00y0~甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù)x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全區(qū)甲安全區(qū)雙方安全區(qū)P~平衡點(diǎn)(雙方最少導(dǎo)彈數(shù))乙安全線精細(xì)模型乙方殘存率

s~甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè)基地，基地未被摧毀的概率。sx個(gè)基地未摧毀，y–x個(gè)基地未攻擊。x<y甲方以x攻擊乙方y(tǒng)個(gè)基地中的x個(gè),y0=sx+y–xx=yy0=sy乙的x–y個(gè)被攻擊2次，s2(x–y)個(gè)未摧毀；y–(x–y)=2y–x個(gè)被攻擊1次，s(2y–x)個(gè)未摧毀y0=s2(x–y)+s(2y–x)x=2yy0=s2yy<x<2yy=y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2

a~交換比(甲乙導(dǎo)彈數(shù)量比)x=ay,精細(xì)模型x=y,y=y0/sx=2y,y=y0/s2y0~威懾值s~殘存率y=f(x)y是一條上凸的曲線y0變大，曲線上移、變陡s變大，y減小，曲線變平a變大，y增加，曲線變陡xy0y0x<y,y=y0+(1-s)xx=yx=2yy<x<2y,

甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo)乙方威懾值y0變大xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級。（其它因素不變）乙安全線y=f(x)上移模型解釋平衡點(diǎn)P

P′

甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動發(fā)射架乙安全線y=f(x)不變甲方殘存率變大威懾值x0和交換比不變x減小，甲安全線x=g(y)向y軸靠近xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)模型解釋甲方這種單獨(dú)行為，會使雙方的核導(dǎo)彈減少P

P′

雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個(gè)彈頭可以獨(dú)立地摧毀目標(biāo)(x

,y仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量)雙方威懾值減小，殘存率不變，交換比增加y0減小

y下移且變平xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)a變大

y增加且變陡雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析模型解釋乙安全線y=f(x)四、點(diǎn)評：本例在作了適當(dāng)?shù)暮喕僭O(shè)考慮了核武器競賽問題，我們很難期望模型能對所考慮問題給出比較樂觀的指導(dǎo)意義，但其整個(gè)建模過程卻對我們有很大的啟發(fā)：1.

定性分析與定量分析；2.

隨機(jī)性模型；3.

建模的最終目的在于應(yīng)用。問題甲有物品X,乙有物品Y,雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實(shí)物交換方案。yxp.用x,y分別表示甲(乙)占有X,Y的數(shù)量。設(shè)交換前甲占有X的數(shù)量為x0,乙占有Y的數(shù)量為y0,作圖：若不考慮雙方對X,Y的偏愛，則矩形內(nèi)任一點(diǎn)p(x,y)都是一種交換方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0xo??2.4

實(shí)物交換xyyoy1y20x1x2xop1p2..甲的無差別曲線分析與建模如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度，即p1,p2對甲是無差別的，MN將所有與p1,p2無差別的點(diǎn)連接起來，得到一條無差別曲線MN,線上各點(diǎn)的滿意度相同,線的形狀反映對X,Y的偏愛程度，N1M1p3(x3,y3).比MN各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如p3，在另一條無差別曲線M1N1上。于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）。

顯然甲、乙雙方均希望通過交易以得到更大的滿意度，即從甲方的角度，應(yīng)極大化從乙方的角度，應(yīng)極大化

當(dāng)然還應(yīng)考慮一些約束條件，我們一并歸結(jié)為如下多目標(biāo)最優(yōu)化問題：以分別表示甲方、乙方擁有X、Y兩種物品意程度，稱之為滿意度函數(shù)；的量，以、分別表示甲方、乙方相應(yīng)的滿、p1.p2.