第五課曲線的參數(shù)方程選修4－4第二講參數(shù)方程湖南省長沙縣實驗中學(xué)高二數(shù)學(xué)備課組參數(shù)方程的概念一、曲線的參數(shù)方程1、參數(shù)方程的概念探究：如圖，一架救援飛機在離災(zāi)區(qū)地面500m的高處以100m/s的速度作水平直線飛行，為使投放的救援物資準確落于災(zāi)區(qū)指定的地面（不計空氣阻力），飛行員應(yīng)如何確定投放時機呢？參數(shù)方程的概念xyoAM(x,y)因為曲線上任意一點的坐標,y滿足：要將物質(zhì)準確投放到目標，則y＝0，取g≈10,則t=10，所以=1000所以應(yīng)在距離災(zāi)區(qū)1000m時開始投放物質(zhì)才能將物質(zhì)準確投放到災(zāi)區(qū)。（1）參數(shù)方程的概念一、方程組有3個變量，其中的,y表示點的坐標，變量t叫做參變量，而且,y分別是t的函數(shù)。二、由物理知識可知，物體的位置由時間t唯一決定，從數(shù)學(xué)角度看，這就是點M的坐標,y由t唯一確定，這樣當(dāng)t在允許值范圍內(nèi)連續(xù)變化時，,y的值也隨之連續(xù)地變化，于是就可以連續(xù)地描繪出點的軌跡。三、平拋物體運動軌跡上的點與滿足方程組的有序?qū)崝?shù)對（,y）之間有一一對應(yīng)關(guān)系。參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標,y都是某個變數(shù)t的函數(shù)并且對于t的每一個允許值，由方程組（2）所確定的點M,y都在這條曲線上，那么方程2就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù),y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)，相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做普通方程。參數(shù)方程的概念二、曲線的參數(shù)方程的求法探究：以炮彈射出的位置為原點，與彈道曲線共面的水平方向為軸，建立直角坐標系。設(shè)炮彈的發(fā)射角為α，發(fā)射的初速度為v0，不計空氣阻力，求炮彈彈道曲線的軌跡方程。xyoo參數(shù)方程的概念解：設(shè)經(jīng)過時間t后，炮彈到達點M,y，則點M的坐標滿足：xyoo其中g(shù)為重力加速度所以彈道曲線的參數(shù)方程為：參數(shù)方程的概念求參數(shù)方程的主要步驟：1建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺讼担O(shè)點M,y為軌跡上的任意一點；2選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)。參數(shù)的選擇要考慮以下兩點：一是曲線上每一點的坐標,y與參數(shù)的關(guān)系比較明顯容易列出方程；二是,y的值可以由參數(shù)唯一確定。例如，在研究運動問題時，通常選擇時間為參數(shù)，在研究旋轉(zhuǎn)問題時，通常選擇旋轉(zhuǎn)角為參數(shù)；此外，離某一定點的“有向距離”、直線的傾斜角、斜率、截距等也常常被選為參數(shù)。3根據(jù)已知條件建立,y與參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式。并標明參變量。參數(shù)方程的概念解：(1)將點M1(0,1)代入方程組得：t=0，所以M1在曲線C上。把點M2(5,4)代入方程組得：。方程組無解，所以M2不在曲線C上。

(2)將點M3(6,a)代入方程組得：。解得

t=2，a=9。所以a=9。圓的參數(shù)方程三、圓的參數(shù)方程yxorM(x,y)如果在時刻t點M轉(zhuǎn)過的角度是θ，坐標是M,y,那么θ＝ωt,設(shè)|OM|=r,那么由三角函數(shù)定義有：即：（t為參數(shù)）這就是圓心在原點，半徑為r的圓的參數(shù)方程，其中參數(shù)t有著明顯的物理意義質(zhì)點作勻速圓周運動的時刻圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程的一般形式圓的參數(shù)方程

由于選取的參數(shù)不同，圓有不同的參數(shù)方程，一般地，同一條曲線，可以選取不同的變數(shù)為參數(shù)，因此得到的參數(shù)方程也可以有不同的形式，形式不同的參數(shù)方程，它們表示的曲線可以是相同的；另外，在建立曲線的參數(shù)參數(shù)時，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。圓的參數(shù)方程例2如圖，圓O的半徑為2，是的軌跡的參數(shù)方程。yoxPMQ圓的參數(shù)方程參數(shù)方程概念與普通方程的互化四、參數(shù)方程與普通方程的互化解：因為，例3.指出參數(shù)方程(θ為參數(shù))

表示的曲線，并化成普通方程。所以消去θ得：所以參數(shù)方程表示以3,4為圓心，2為的圓。它的普通方程為：參數(shù)方程概念與普通方程的互化小結(jié)：曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式，一般地，可以通過消去參數(shù)將參數(shù)方程化為普通方程。消去參數(shù)時，常用代入消元和加減消元。但要特別注意消去參數(shù)前后的與y的范圍不能發(fā)生變化。例4將下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明各表示什么曲線？參數(shù)方程概念與普通方程的互化解:(1)由有代入，得又，所以參數(shù)方程的普通方程為：這是一條以1,1為一個端點的射線(2)將平方減去得：又所以參數(shù)方程的普通方程為：它表示拋物線位于的一段。參數(shù)方程概念與普通方程的互化參數(shù)方程概念與普通方程的互化參數(shù)方程概念與普通方程的互化參數(shù)方程概念與普通方程的互化小結(jié)：如果知道普通方程變中變量，y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，例如=ft,把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y=gt，那么方程：就是所求曲