目錄摘要 1關(guān)鍵詞31409_WPSOffice_Level2 1Abstract 1Keywords 11.一元函數(shù)極限的定義 12.函數(shù)極限的性質(zhì) 23.求一元函數(shù)極限的方法 43.1利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 43.2利用極限的定義求極限 53.3利用左、右極限求極限 63.4利用四則運(yùn)算求極限 73.5利用兩個重要極限求極限 83.6利用等階無窮小求極限 93.7利用夾逼定理求極限 103.8利用單調(diào)有界定理求極限 113.9利用變換形式求極限 123.10利用洛必達(dá)法則求極限 133.11利用微分中值定理求極限 15結(jié)語 17參考文獻(xiàn) 181.一元函數(shù)極限的定義對一元函數(shù)的極限，有左右與上下兩類，上極限和下極限是永遠(yuǎn)存在的，若其中的左、右極限等同，那么該階段的極限為實(shí)際存在的，也就是參考其中的自變量x的變動走勢可劃分成6種，分別為（1）x→∞；（2）x→+∞；（3）x→–∞；（4）x→；（5）x→；（6）x→。1.1x趨于∞時的函數(shù)極限假定f為定義于[a，+∞)中的函數(shù)，A為其中的定數(shù)，若對任意ε>0，有著正數(shù)M(≥a)，令x>M的情況下|f(x)-A|<ε,稱f當(dāng)x趨+∞時A極限,。1.2x趨于x0時函數(shù)的極限（函數(shù)極限的ε–δ定義）假設(shè)f在點(diǎn)x0的特定空心鄰域U0(x0;δ′)存在定義，A作為其中的定數(shù)，若是針對任意ε>0，有著對應(yīng)的正數(shù)δ(<δ′),令0<|x-x0|<δ的情況下存在|f(x)-A|<ε,可以稱函數(shù)f在x接近的情況下A作為極限，記?；颍?.3x趨于時函數(shù)極限的定義(單側(cè)極限)設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)x0的鄰域U+o(x0;δ')（或U–o(x0;δ')）上有定義,A為定數(shù)，若對任給的>0,存在正數(shù)δ（＜δ'）,使得當(dāng)x0<x<x0+δ(或x0-δ<x<x0)時，有|f(x)-A|<,則稱數(shù)A為函數(shù)f當(dāng)x→x0+(或x0﹣)時的右(左)極限,記作2.函數(shù)極限的性質(zhì)2.1唯一性若極限，則其為唯一的。2.2局部有界性若是，則f在的某空心鄰域2.3局部保號性2.4保不等式性2.5迫斂性2.6四則運(yùn)算法則求一元函數(shù)極限的方法3.1利用函數(shù)的連續(xù)性求極限3.1.1函數(shù)連續(xù)性的定義:

假定f(x)在點(diǎn)x0的相關(guān)鄰域中存在定義,若是,那么可稱作是f(x)在x0位置歸屬于連續(xù)。若是f(x)在區(qū)間I中的各個點(diǎn)均為連續(xù),可稱作是f(x)在I歸屬于連續(xù)的范疇。3.1.2函數(shù)連續(xù)必須同時滿足三個條件：①函數(shù)在x0位置存在對應(yīng)的定義；②x接近x0的情況下，存在；③x接近x0的情況下，。則初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。函數(shù)在x0處連續(xù)，一個是該處有極限，另一個是該極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值。因?yàn)檫B續(xù)，將趨近的點(diǎn)代入函數(shù)表達(dá)式，得出結(jié)果即可。即。若點(diǎn)x為可去間斷點(diǎn)，由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)得。例1：求解例2：求解因?yàn)閤=0是可去間斷點(diǎn)所以=注：（1）連續(xù)必有極限，但是存在極限并非代表著必然為連續(xù)。極限作為連續(xù)的必要不充分，與之相反的若是連續(xù)，那么極限為必然的，這作為極限的基本法則。（2）可去間斷點(diǎn)附近極限存在同時等同，能夠不驗(yàn)證其中的極限，跳躍間斷點(diǎn)方面則需要進(jìn)行基本的驗(yàn)證操作。（3）區(qū)間方面的連續(xù)，兩個端點(diǎn)位置連續(xù)與否沒有要求，閉區(qū)之中在左端點(diǎn)應(yīng)當(dāng)歸屬于對應(yīng)的右連續(xù)，右端點(diǎn)方面需要為對應(yīng)的左連續(xù)。3.2利用極限的定義求極限例3：證明注：(1)若是使用合適的放大方式，該求解方式較為便捷，應(yīng)當(dāng)關(guān)注此類放大需要“適度”，通過該模式方才可參考特定的ε來確定N，應(yīng)當(dāng)關(guān)注其中的N并非必然為整數(shù)，即需要為正數(shù)即可；(2)函數(shù)在所求點(diǎn)的極限和函數(shù)該點(diǎn)連續(xù)與否不存在關(guān)系，函數(shù)極限代表著特殊函數(shù)值的變動規(guī)律。對普通函數(shù)來說，通過定義法來計(jì)算其中的極限非常麻煩，但針對間斷點(diǎn)位置的極限依舊為定義法。針對此類問題，一般參考極限的概念，計(jì)算對應(yīng)的左右極限，若其中的左右為相等的，那么計(jì)算極限為存在，同時其中的極限并不存在.[2]3.3利用左、右極限求極限左右極限的意思就是自變量從左或右趨近某點(diǎn)時的極限值，需要考慮左極限與右極限的不同產(chǎn)生的影響，設(shè)x從一邊趨向x0，從左趨近取-，從右趨近取+.當(dāng)左極限值等于右極限值時，極限存在，否則極限不存在。例6：討論的連續(xù)性。解析：因?yàn)槠涠x域是，通過初等函數(shù)的連續(xù)性可以得出，對應(yīng)的非分界點(diǎn)處函數(shù)歸屬于連續(xù)的范疇注：一般來說需要考慮左右極限的情況：1、分段函數(shù),函數(shù)在某點(diǎn)左右兩邊函數(shù)表達(dá)式不同；2、函數(shù)表達(dá)式有絕對值時；3、指數(shù)部分趨于無窮大時（因?yàn)檎裏o窮次方與負(fù)無窮次方不一樣）如,討論x0時必須分左右極限.除了上述情況可能還會有其它考慮左右極限的問題,其實(shí)需要實(shí)際問題實(shí)際考慮.3.4利用四則運(yùn)算求極限極限四則運(yùn)算法則成立要求兩個函數(shù)在同一種情況趨近于同一個數(shù)，“同一種情況”限定了這兩個函數(shù)的極限過程必須是相同的，極限過程，就是自變量x趨向于那個數(shù)的方式，比如單一地從左邊靠近，或者單一地從右邊靠近，或者從兩邊分別靠近。例9：求解例10：求注：（1）極限不為零的因子可以分離單獨(dú)計(jì)算。（2）運(yùn)算法則的基礎(chǔ)為分開極限必定為存在。（3）針對分式而言，分母極限非等同0的情況下，方才可以通過四則運(yùn)算的方式來開展求解。（4）規(guī)避普通的錯誤認(rèn)知，諸如對c/0=∞，（c歸屬于各個常數(shù)），∞-∞=0，∞/∞=0等。3.5利用兩個重要極限求極限3.5.1兩個重要極限首個重要極限通常為計(jì)算一些型未定式（也可化成型未定式）的極限，第二個重要極限一般用于求解型未定式。例11：求注：（1）在式子中有x的三角或者是反三角函數(shù)，令三角轉(zhuǎn)變成的模式和各類式子的乘積。（2）使用兩個重要極限時，最重要的就是靈活變通，有些題目作些變形，方可使用，此方法比洛必達(dá)更加方便快捷。3.6利用等階無窮小求極限3.6.1無窮小定義：極限為0的變量稱為無窮小。3.6.2無窮小的運(yùn)算性質(zhì)：①同過程的有限個無窮小的代數(shù)和依舊為該狀態(tài)。②有界函數(shù)和乘積依舊歸屬于該狀態(tài)。③相同的過程之中，存在極限的變量與之也有著對應(yīng)的無窮小。④常數(shù)和對應(yīng)的乘積也歸屬于該模式⑤有限個無窮小得出的乘積也是同樣的3.6.3等價無窮小的替換（x→0）注：（1）只有在其中的因式相乘、除的情形中，方才可進(jìn)行代換的處理；加減無法案進(jìn)行此類操作.（2）由于等價無窮小的替換是x→0，但例13中為x→5，因此x-5趨近無窮小。（3）針對無窮的無窮小量而言，其和并非必然為該數(shù)字。3.7利用夾逼定理求極限3.7.1夾逼定理：方法：通過放縮，得到兩個“方便計(jì)算”且極限相同的數(shù)列，從而得到所求函數(shù)的極限值。技巧：動小不動大由夾逼定理得3.8利用單調(diào)有界定理求極限注：（1）單調(diào)有界必定有極限，所以需要對其開展證明。（2）計(jì)算單調(diào)性不容易，這需要對數(shù)列進(jìn)行仔細(xì)的觀察，找到前后相連的兩項(xiàng)的關(guān)系，確定數(shù)列是遞增還是遞減。如果數(shù)列是遞增的，確定數(shù)列是否有上界；如果數(shù)列是遞減的，確定數(shù)列是否有下界。3.9利用變換形式求極限3.9.1約分法3.9.2通分法3.9.3分子、分母有理化法3.9.4換元法求極限注：（1）在約分前，一般要先進(jìn)行因式分解，然后約去公因式。例19為（2）換元法一般用于函數(shù)解析式比較復(fù)雜或不便于觀察時，可采用換元法將其進(jìn)行變形。（3）一般來說，見根號差，用有理化，能夠提出極限不為0的因式，使得計(jì)算過程得以簡化。3.10利用洛必達(dá)法則求極限我們將對應(yīng)的兩個無窮小、大量的比值，可稱作是對應(yīng)的未定式極限，并且將其記錄成0/0或∞/∞型，其余的可以化為兩類極限模式的函數(shù)極限也可稱作是對求解未定式極限而言，洛比達(dá)法則作為相對便捷與高效的方式.在運(yùn)用的過程中要求關(guān)注和各類方法整合（計(jì)算中要綜合等價無窮小替換等手段），從而令求解環(huán)節(jié)簡潔化.洛比達(dá)存在兩類模式：0/0或∞/∞型，針對兩類的未定式極限，可通過洛比達(dá)的方式來計(jì)算極限。[2]例26：求極限.[1]該問題屬于型重要極限，直接用上述結(jié)論不成立，因?yàn)楣倘淮嬖冢窃摌O限不存在，因此不能直接用上述結(jié)論,為此我們必須對上式進(jìn)行變換.原式,,則可用上述結(jié)論，所以原式極限等于.注：(1)先判斷可否符合0/0或者是∞/∞型未定式，以免濫用導(dǎo)致的問題；(2)洛比達(dá)的基本求導(dǎo)可以在分子以及分母進(jìn)行同步的求導(dǎo)，并非針對整體式子的求導(dǎo)；(3)若是最終獲得的極限并不存在，不意味著無極限，可使用其余模式計(jì)算極限；(4)使用的過程中要求關(guān)注洛比達(dá)應(yīng)當(dāng)符合的基本條件.(5)若是條件滿足要求，洛必達(dá)可以持續(xù)運(yùn)用，直至最終獲得極限方才停止。3.11利用微分中值定理求極限函數(shù)在特定的導(dǎo)數(shù)描繪其在某點(diǎn)的變化性質(zhì)，變化率，作為對應(yīng)的局部性質(zhì)。有時候,我們要研究函數(shù)在整個定義域上的變化形態(tài),通過該方式即可認(rèn)知函數(shù)在對應(yīng)的定義域中的性質(zhì)。局部和整體性質(zhì)為依靠對應(yīng)的中值定理的方式來進(jìn)行表達(dá)。微分中值主要為下文所示的方法。3.11.1羅爾中值定理3.11.2拉格朗日中值定理例28：當(dāng)x>1時，試證明不等式證明：輔助函數(shù)為基礎(chǔ)，分析的過程中需要使用合適的區(qū)間，從而令其在區(qū)間中可以符合定理的條件,然后由中值ξ所在的位置放大或縮小f”(ξ),推出要證的不等式設(shè)f(x)=ex,x>1,那么f(x)在[1,x]為連續(xù),在(1,x)中歸屬于可導(dǎo)的范疇，通過該定理可以而出，有ξ∈(1,x)，令3.11.3柯西中值定理3.11.4泰勒展開定理注：（1）中值指的不是最中間的值，僅僅為區(qū)間中的某個參數(shù)。拉格朗日中值定理，可以表述對應(yīng)的增量以及函數(shù)在該區(qū)間中特定點(diǎn)位置的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。柯西以及拉格朗日中值定理，都?xì)w屬于羅爾定理的進(jìn)一步發(fā)展，但其重點(diǎn)為證明其中的方程有根，柯西以及拉格朗日作為構(gòu)建對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的具體關(guān)系式。泰勒公式能夠從最初的函數(shù)極限轉(zhuǎn)變成多個有理式的極限，能夠?qū)崿F(xiàn)有效的簡化。結(jié)語求函數(shù)極限的方法多種多樣，本文只列舉了幾種最基本的方法。對于不同類型的題目形式，可采用的方法也會有所改變，每種方法都有利也有弊，選擇適合的方法，可達(dá)到事半功倍的效果，提高學(xué)習(xí)效率，而且求極限的方法未必是一個單一的選擇，而是一個多選題，在應(yīng)用中可以靈活、綜合的使用各種方法求其結(jié)果。在使用各種方法前，應(yīng)知道并理解其使用的要求，避免錯誤的發(fā)生。參考文獻(xiàn)毛北行,王東曉.一元函數(shù)求極限的若干問題再討論[J].玉溪師范學(xué)院學(xué)報,2016,第32卷(12):18-21.李拴柱,潘寶柱,王華.常用一元函數(shù)極限的計(jì)算方法[J].石家莊理工職業(yè)學(xué)院學(xué)術(shù)研究,2016,(C1):1-5，19[3]楊芳.淺析一元函數(shù)極限解法[J].現(xiàn)代計(jì)算機(jī),2013,(22):14-15，33.[4]賀皖松,吳娟.高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)極限求法研究[J].貴陽學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2017,12(03):10-12.[6]曾位.高職高等數(shù)學(xué)中一元函數(shù)之幾種常用極限求法實(shí)例探析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2017(11):12-13.[7]張海燕.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)于極限思想的教學(xué)及其感悟[J].教育現(xiàn)代化,2017,4(14):157-159.[8]郭俊梅.高職高數(shù)一元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