概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

目錄

實(shí)驗(yàn)一幾個(gè)重要的概率分布的MATLAB實(shí)現(xiàn)p2-3實(shí)驗(yàn)二數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)描述和分析p4-8實(shí)驗(yàn)三參數(shù)估計(jì)p9-11實(shí)驗(yàn)四假設(shè)檢驗(yàn)p12-14實(shí)驗(yàn)五方差分析p15-17實(shí)驗(yàn)六回歸分析p18-27實(shí)驗(yàn)一幾個(gè)重要的概率分布的MATLAB實(shí)現(xiàn)

實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

(1)學(xué)習(xí)MATLAB軟件與概率有關(guān)的各種計(jì)算方法

(2)會(huì)用MATLAB軟件生成幾種常見分布的隨機(jī)數(shù)

(3)通過實(shí)驗(yàn)加深對(duì)概率密度，分布函數(shù)和分位數(shù)的理解

Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱中提供了約20種概率分布，對(duì)每一種分布提供了5種運(yùn)算功能，下表給出

了常見8種分布對(duì)應(yīng)的Matlab命令字符，表2給出了每一種運(yùn)算功能所對(duì)應(yīng)的Matlab命令字符。

當(dāng)需要某一分布的某類運(yùn)算功能時(shí)，將分布字符與功能字符連接起來，就得到所要的命令。

N，在x=處的概率密度。

例1求正態(tài)分布()2,1-

解：在MATLAB命令窗口中輸入：

normpdf,-1,2)

結(jié)果為：

例2求泊松分布()3P，在k=5，6，7處的概率。解：在MATLAB命令窗口中輸入：poisspdf([567],3)結(jié)果為：

例3設(shè)X服從均勻分布()3,1U，計(jì)算{}225PX.-解：在MATLAB命令窗口中輸入：unifcdf,1,3)-unifcdf(-2,1,3)結(jié)果為：

例4求概率995.0=α

的正態(tài)分布()2,1N的分位數(shù)αX。

解：在MATLAB命令窗口中輸入：norminv,1,2)結(jié)果為：

例5求t分布()10t的期望和方差。解：在MATLAB命令窗口中輸入：[m,v]=tstat(10)m=0v=

例6生成一個(gè)2*3階正態(tài)分布的隨機(jī)矩陣。其中，第一行3個(gè)數(shù)分別服從均值為1，2，3；第二行3個(gè)數(shù)分別服從均值為4，5，6，且標(biāo)準(zhǔn)差均為的正態(tài)分布。解：在MATLAB命令窗口中輸入：A=normrnd([123;456],,2,3)A=

例7生成一個(gè)2*3階服從均勻分布()3,1U的隨機(jī)矩陣。解：在MATLAB命令窗口中輸入：B=unifrnd(1,3,2,3)B=

注：對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可用命令randn(m,n);對(duì)于均勻分布()1,0U,可用命令rand(m,n)。

實(shí)驗(yàn)二數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)描述和分析

實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

(1)學(xué)習(xí)MATLAB軟件關(guān)于統(tǒng)計(jì)作圖的基本操作(2)會(huì)用MATLAB軟件計(jì)算計(jì)算幾種常用統(tǒng)計(jì)量的值

(3)通過實(shí)驗(yàn)加深對(duì)均值、方差、中位數(shù)等常用統(tǒng)計(jì)量的理解

1.頻數(shù)表和直方圖

一組數(shù)據(jù)（樣本觀察值）雖然包含了總體的信息,但往往是雜亂無章的，作出它的頻數(shù)表和直方圖，可以看作是對(duì)這組數(shù)據(jù)的一個(gè)初步整理和直觀描述。將數(shù)據(jù)的取值范圍劃分為若干個(gè)區(qū)間，然后統(tǒng)計(jì)這組數(shù)據(jù)在每個(gè)區(qū)間中出現(xiàn)的次數(shù)，稱為頻數(shù)，由此得到一個(gè)頻數(shù)表。以數(shù)據(jù)的取值為橫坐標(biāo)，頻數(shù)為縱坐標(biāo)，畫出一個(gè)階梯形的圖，稱為直方圖，或頻數(shù)分布圖。

2經(jīng)驗(yàn)累計(jì)分布函數(shù)圖

設(shè)nxxx,,,21Λ是總體X的一個(gè)容量為n的樣本觀察值。將nxxx,,,21Λ按自小到大的次序排列，并重新編號(hào)，設(shè)為

記

則稱()xFn為總體X的經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)，它的圖像即為經(jīng)驗(yàn)累計(jì)分布函數(shù)圖。3幾種常用的統(tǒng)計(jì)量

（1）算術(shù)平均值和中位數(shù)

算術(shù)平均值（簡(jiǎn)稱均值），∑==n

iiXnX1

1，中位數(shù)是將數(shù)據(jù)由小到大排序后位于中間位

置的那個(gè)數(shù)值。（2）標(biāo)準(zhǔn)差、方差

標(biāo)準(zhǔn)差:()2

1

1211?

?

?

???--=∑=n

iiXXns

,它是各個(gè)數(shù)據(jù)與均值偏離程度的度量。方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方,記為2

s。

（3）偏度和峰度

表示數(shù)據(jù)分布形狀的統(tǒng)計(jì)量有偏度和峰度。偏度：()∑=-=n

ii

XX

s

g1

3

3

11

反映數(shù)據(jù)分布對(duì)

稱性的指標(biāo)，當(dāng)01>g時(shí)，稱為右偏態(tài)，此時(shí)數(shù)據(jù)位于均值右邊的比位于左邊的多；當(dāng)

01ii

XX

s

g1

4

4

21),是數(shù)據(jù)分布形狀的另一種度量，正態(tài)分布的峰度為3，若2g?比3大

得多，表示分布有沉重的尾巴，說明樣本中含有較多遠(yuǎn)離均值的數(shù)據(jù)，因而峰度可以用作衡量偏離正態(tài)分布的尺度之一。

將樣本的觀測(cè)值()nxxx,,,21Λ代入以上各式后，即可求得對(duì)應(yīng)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值。

4MATLAB實(shí)現(xiàn)

下面我們列出用于數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)描述和分析的常用MATLAB命令。其中，x為原始數(shù)據(jù)行向量。（1）用hist命令實(shí)現(xiàn)作頻數(shù)表及直方圖，其用法是：

[n,y]=hist(x,k)

返回x的頻數(shù)表。它將區(qū)間[min(x),max(x)]等分為k份（缺省時(shí)k設(shè)定為10），n返回k個(gè)小區(qū)間的頻數(shù)，y返回k個(gè)小區(qū)間的中點(diǎn)。

hist(x,k)

返回x的直方圖。

（2）用cdfplot命令作累積分布函數(shù)圖，其用法是：

[h,stats]=cdfplot(x)

在返回x的累積分布函數(shù)圖的同時(shí)，在stats中給出樣本的一些特征：樣本最小值、最大值、平均值、中位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。

cdfplot(x,k)

則直接返回x的累積分布函數(shù)圖。（3）算術(shù)平均值和中位數(shù)

Matlab中mean(x)返回x的均值，median(x)返回中位數(shù)。（4）標(biāo)準(zhǔn)差、方差和極差

極差是nxxx,,,21Λ的最大值與最小值之差。

Matlab中std(x)返回x的標(biāo)準(zhǔn)差，var(x)返回方差，range(x)返回極差。

（4）偏度和峰度

Matlab中skewness(x)返回x的偏度，kurtosis(x)返回峰度。

例1某學(xué)校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測(cè)量他們的身高，所得數(shù)據(jù)如下表

解：在MATLAB命令窗口中輸入：

X=[172169169171167178177170167169171168165169168173170160179172166168164170165163173165176162160175173172168165172177182175155176172169176170170169186174173168169167170163172176166167166161173175158172177177169166170169173164165182176172173174167171166166172171175165169168173178163169169177184166171170];

[n,y]=hist(X)

n=

23618262211822

y=

hist(X)

直方圖

x1=mean(X)

x1=

x2=median(X)

x2=

170

x3=range(X)

x3=

31

x4=std(X)

x4=

x5=skewness(X)

x5=

x6=kurtosis(X)

x6=

例2產(chǎn)生50個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，指出它們的分布特征，并畫出經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)圖解：在MATLAB命令窗口中輸入：

x=normrnd(0,1,1,50);

[h,stats]=cdfplot(x)

h=

stats=

min:

max:

mean:

median:

std:

經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)圖

實(shí)驗(yàn)三參數(shù)估計(jì)

實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

(1)學(xué)習(xí)MATLAB軟件關(guān)于參數(shù)估計(jì)的有關(guān)操作命令

(2)會(huì)用MATLAB軟件求參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和置信區(qū)間

(3)通過實(shí)驗(yàn)加深對(duì)參數(shù)估計(jì)基本概念和基本思想的理解

1參數(shù)估計(jì)的方法

利用樣本對(duì)總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的一類問題是參數(shù)估計(jì)，即假定總體的概率分布類型已知，由樣本估計(jì)參數(shù)的分布。參數(shù)估計(jì)的方法主要有點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩種。

2參數(shù)估計(jì)的Matlab實(shí)現(xiàn)

在Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱中，有專門計(jì)算總體均值、標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)的函數(shù)。

對(duì)于正態(tài)總體，命令是

[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x,alpha)

其中x為樣本（數(shù)組或矩陣），alpha為顯著性水平α?（alpha缺省時(shí)設(shè)定為），返回總體均值??和標(biāo)準(zhǔn)差??的點(diǎn)估計(jì)mu和sigma，及總體均值??和標(biāo)準(zhǔn)差??的區(qū)間估計(jì)muci和sigmaci。當(dāng)x為矩陣時(shí)返回行向量。此外，Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱中還提供了一些具有特定分布總體的區(qū)間估計(jì)的命令，如expfit，poissfit，分別用于指數(shù)分布和泊松分布的區(qū)間估計(jì)，具體用法可參見MATLAB的幫助系統(tǒng)。

例1已知某種木材橫紋抗壓力的實(shí)驗(yàn)值),(~2

σμN(yùn)X，對(duì)10個(gè)試件做橫紋抗壓力的試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：482,493,457,471,510,446,435,418,394,496(單位：公斤/平方厘米)，試以95%的可靠性估計(jì)該木材的平均橫紋抗壓力的置信區(qū)間:(1)2

σ未知；(2)22

30=σ。

解:(1)2

σ未知時(shí)，可直接使用normfit命令在MATLAB命令窗口中輸入：

x=[482,493,457,471,510,446,435,418,394,496];[musigmamucisigmaci]=normfit(x)mu=

sigma=muci=sigmaci=

2σ未知時(shí)，平均橫紋抗壓力μ的估計(jì)值為，其置信度為的置信區(qū)間為[，]。

（2）2

σ已知時(shí)，μ的置信度為的置信區(qū)間為

12

1x

u,xuαα--?-+??

。在MATLAB命令窗口中輸入：

x=[482,493,457,471,510,446,435,418,394,496];

muci=[mean(x)-norminv*30/sqrt(10),mean(x)+norminv*30/sqrt(10)]muci=

2σ已知時(shí)，平均橫紋抗壓力μ的置信度為的置信區(qū)間為[，]。同（1）比較可得，在置信水平

相同的條件下，利用方差得到的置信區(qū)間的長(zhǎng)度要小于忽略方差得到的置信區(qū)間長(zhǎng)度。例2某廠生產(chǎn)的瓶裝運(yùn)動(dòng)飲料的體積假定服從正態(tài)分布，抽取10瓶，測(cè)得體積（毫升）為595,602,610,585,618,615,605,620,600,606。求出方差的置信度為的置信區(qū)間。

解:在MATLAB命令窗口中輸入：

x=[595,602,610,585,618,615,605,620,600,606];

[musigmamucisigmaci]=normfit(x,

mu=

sigma=

muci=

sigmaci=

sigma^2

ans=

sigmaci.^2

ans=

σ的估計(jì)值為，其置信度為的置信區(qū)間為[，]。

即2

λ>為參例3某炸藥制造廠，一天中發(fā)生著火現(xiàn)象的次數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，假設(shè)它服從以0

數(shù)的泊松分布，參數(shù)λ未知。現(xiàn)有以下樣本值：

試求λ的極大似然估計(jì)值和置信水平為95%的置信區(qū)間。

解:在MATLAB命令窗口中輸入：

x=[75,90,54,22,6,2,1];

[lamda,lamdaci]=poissfit(x)

lamda=

lamdaci=

即λ的極大似然估計(jì)值為，其置信水平為95%的置信區(qū)間為[，]。

實(shí)驗(yàn)四假設(shè)檢驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

(1)學(xué)習(xí)MATLAB軟件關(guān)于假設(shè)檢驗(yàn)的有關(guān)操作命令

(2)會(huì)用MATLAB軟件求單個(gè)正態(tài)總體和雙正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)問題

(3)會(huì)用MATLAB軟件判斷總體是否服從正態(tài)分布

(4)通過實(shí)驗(yàn)加深對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)基本概念和基本思想的理解

1參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)

如果總體的分布函數(shù)類型已知，只是對(duì)總體分布中的參數(shù)做某種假設(shè)。然后，用樣本檢驗(yàn)此假設(shè)是否成立，這種檢驗(yàn)稱為參數(shù)檢驗(yàn)。下面我們給出幾種參數(shù)檢驗(yàn)對(duì)應(yīng)的Matlab命令，相關(guān)的理論知識(shí)可參考教材。

注1：x是樣本，mu是0H中的0μ?，sigma是總體標(biāo)準(zhǔn)差??，alpha是顯著性水平??（alpha缺省時(shí)設(shè)定為），tail是對(duì)備擇假設(shè)1H的選擇：1H為0μμ≠

時(shí)，令tail=0（可缺?。?；1H為

0μμ>時(shí)，令tail=1；1H為0μμ絕0H，p表示在假設(shè)0H下樣本均值出現(xiàn)的概率，p越小0H越值得懷疑，ci是0μ?的置信區(qū)間。

注2：ttest2輸入的是兩個(gè)樣本x,y，長(zhǎng)度可以不同。

例1某種電子元件的壽命x(以小時(shí)計(jì))服從正態(tài)分布,2

σ未知.現(xiàn)得16只元件的壽命如下:159280101212224379179264222362168250149260485170問是否有理由認(rèn)為元件的平均壽命大于225(小時(shí))??（???????）解：需要檢驗(yàn)：0H：225=μ，1H：225>μ

x=[159280101212224379179264222362168250149260485170];[h,p,ci]=ttest(x,225,,1)

h=0p=ci=

Inf

h=0，p=，說明在顯著水平為的情況下，不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為元件的平均壽命不大于225小時(shí)。

例2在平爐上進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn)以確定改變操作方法的建議是否會(huì)增加鋼的得率,試驗(yàn)是在同一平爐上進(jìn)行的。每煉一爐鋼時(shí)除操作方法外,其它條件都可能做到相同。先用標(biāo)準(zhǔn)方法煉一爐,然后用建議的新方法煉一爐,以后交換進(jìn)行,各煉了10爐,其得率分別為:1°標(biāo)準(zhǔn)方法2°新方法

設(shè)這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立且服從標(biāo)準(zhǔn)差相同的正態(tài)分布，問建議的新方法能否提高得率?(取

????。)

解需要檢驗(yàn)：0H：21μμ=，1H：21μμ[h,p,ci]=ttest2(x,y,,-1)h=1p=ci=

-Inf

h=1,p=×10。表明在????的顯著水平下，可以拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為建議的新操作方法能提高得率。

2分布擬合檢驗(yàn)

在實(shí)際問題中，有時(shí)不能預(yù)知總體服從什么類型的分布，這時(shí)就需要根據(jù)樣本來檢驗(yàn)關(guān)于分布的假設(shè)。下面我們給