4.3電通量和高斯定理4.3.1電場線和電通量4.3.2高斯定理4.3.3用高斯定理求電場

矢量場的兩個重要性質(zhì)：“通量”、“環(huán)流”以定常流動流體的速度場為例。任意畫出一個閉合面和一個閉合回路。如果速度場通過某一閉合面的通量不等于零，則說明在該閉合面內(nèi)存在流體從中流出或流入的“源”。

通量不等于零的矢量場，稱為有源場。速度場沿閉合回路的線積分，稱為環(huán)流：流體沿該閉合回路作渦旋流動的程度。速度場通過閉合面的通量：流體在單位時間內(nèi)流出該閉合面的體積。

無源場：通過任一閉合面的通量都等于零的矢量場如果速度場沿某一閉合回路的環(huán)流不等于零，則說明流體沿該閉合回路作渦旋流動。

無旋場：沿任一閉合回路的環(huán)流都等于零的矢量場流體的運(yùn)動規(guī)律，可以用速度場的通量和環(huán)流所滿足的方程來表達(dá)。

無源場的流線是首尾相接的閉合線環(huán)流不等于零的矢量場，稱為有旋場。

無旋場的流線不閉合電場通量滿足的方程

高斯定理：電場環(huán)流滿足的方程

環(huán)路定理：靜電學(xué)基本方程靜電場：有源、無旋場靜電場的電場線不閉合4.3.1電場線和電通量1.電場線

為形象描繪靜電場，人為畫出的一些曲線。用電場線的條數(shù)密度，表示場強(qiáng)的大小。讓電場線上每一點(diǎn)的切線方向代表該點(diǎn)場強(qiáng)的方向；2.電通量等于穿過面元的電場線條數(shù)通過面元的電通量：通過曲面的電通量：引入有向面元：通過閉合面的電通量：

對于閉合面，總是把指向該閉合面外部的方向取為面元的法線方向。

e>0：電通量“流出”閉合面；

e<0：電通量“流入”閉合面。4.3.2高斯定理在靜電場中，通過任一閉合面的電通量，等于該面所包圍的所有電荷電量的代數(shù)和除以

0

靜電場線有頭有尾，發(fā)自正電荷或無窮遠(yuǎn)，止于負(fù)電荷或無窮遠(yuǎn)。穿過電場中任一閉合面的電場線條數(shù)，只與該閉合面內(nèi)電荷電量的代數(shù)和有關(guān)。無窮遠(yuǎn)？靜電場是有源場，電荷就是靜電場的源。只有高斯面S內(nèi)電荷才對總通量有貢獻(xiàn)，面外電荷對總通量無貢獻(xiàn)。但E是S面上的某點(diǎn)處的總場強(qiáng)，由面S內(nèi)、外全部電荷共同產(chǎn)生。【思考】如果“點(diǎn)電荷”正好跨越高斯面，如何劃分高斯面內(nèi)、外的電荷？庫侖定律和場強(qiáng)疊加原理（1）通過包圍點(diǎn)電荷q的任一閉合面的電通量都等于q/

0通過球面S'的電通量：

點(diǎn)電荷的電場線連續(xù)，在沒有電荷的地方電場線不會中斷。結(jié)論（1）正確。

高斯定理：為什么？（2）通過不包圍點(diǎn)電荷的任一閉合面的電通量都等于零電場線連續(xù)，從S面一側(cè)穿入的電場線條數(shù)一定等于從另一側(cè)穿出的電場線條數(shù)（3）多個點(diǎn)電荷的電通量等于它們單獨(dú)存在時的電通量的代數(shù)和

通過閉合面的電通量等于零通過閉合面S的電通量：結(jié)論（3）正確。等于零實(shí)驗(yàn)表明：高斯定理還適用于其他任何隨時間變化的電場（電磁場部分的參考材料）。給定電荷分布，應(yīng)用庫倫定律和場強(qiáng)疊加原理可以求空間各點(diǎn)的電場，但計(jì)算往往比較復(fù)雜。4.3.3用高斯定理求電場當(dāng)電荷分布具有充分的對稱性時，恰當(dāng)選取高斯面，可用高斯定理簡單地求電場分布。

高斯定理是關(guān)于電場的普遍規(guī)律

充分的對稱性：參考“用高斯定理求電場的條件是滿足環(huán)路定理”電荷分布球?qū)ΨQ

電場分布球?qū)ΨQ：【例4.5】求均勻帶電球面的電場分布。球面半徑為R，所帶電量為q。解r<R：均勻帶電球面內(nèi)的電場為零

在與帶電球面同心的任一球面上，各點(diǎn)場強(qiáng)的大小相等，方向沿半徑。r>R：均勻帶電球面外部的場強(qiáng)，相當(dāng)于是把全部電量集中在球心的點(diǎn)電荷的場強(qiáng)?！舅伎肌繛槭裁丛趓=R

處強(qiáng)度不連續(xù)?【例4.6】求均勻帶電球體的電場分布。球體半徑為R，所帶電量為q。均勻帶電球體內(nèi)部的電場與r成正比；解r>R：r

R：

外部的場強(qiáng)，相當(dāng)于是把全部電量集中在球心的點(diǎn)電荷的場強(qiáng)。電荷軸對稱

電場軸對稱：【例4.7】求均勻帶電無限長細(xì)棒外部的場強(qiáng)分布。帶電細(xì)棒的線電荷密度為

。解截面電荷均勻分布，棒內(nèi)場強(qiáng)：

以棒軸線為軸的任一圓柱面上，各點(diǎn)場強(qiáng)的大小相等?！舅伎肌咳绻麕щ姲魹橛邢揲L，只用高斯定理能求出中垂面之外其他各點(diǎn)的電場嗎？

場強(qiáng)方向沿半徑棒無限長帶電平板無限大

板外任一點(diǎn)到板上的垂足都可看成板的中心解