2022-2023學(xué)年新疆烏魯木齊市五校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學(xué)試

卷

一、單選題（本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知復(fù)數(shù)z=（2-i）（3+i）,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.某學(xué)校共有980名學(xué)生，其中高一的學(xué)生有400名，高二的學(xué)生有300名，其余都是高三

的學(xué)生，為了解該校學(xué)生的體育鍛煉時(shí)間，按照高一、高二、高三三個(gè)級(jí)段進(jìn)行分層抽樣，

如果樣本容量為196,那么應(yīng)在高三的學(xué)生中抽?。ǎ?/p>

A.48名B.52名C.56名D.60名

3.在AABC中，BD=^DC,則同=（）

A.B-g√4CB.^AB+CC.2AB÷2ACD.2AB—AC

4.用斜二測(cè)畫(huà)法作一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，則其直觀圖的面積為（）

A.CB.2C.4D.y∏.

4

5.已知n是不重合的直線，α,夕是不重合的平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若且九〃Q,則B.若?n〃a且九Ua,則m〃九

C.若m∕∕α且?n∕∕0,貝IJa/∕0D.若m-LQ且？nJL0,則ɑ//B

o

6.在直三棱柱4BC—4/16中，AB=BC=1,?ABC=90,AA1=2,則此三棱柱外接

球的表面積為（）

A.57ΓB,67ΓC.7yrD.8ττ

7.在AABC中，若4=aB=≡,a=2y∕~3,則b=（）

A.2√-3B.3√~2C.2√^6D.3√-3

8.某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、

乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（）

A.IB.?C.?D;

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.設(shè)向量W=（ILl）,E=（2,0），則（）

A.?a-b?=∣α∣B.(α-K)∕∕α

C.I與曲夾角為微D.五在讓的投影向量為(1,0)

10.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A="第一枚正面朝上"，事件B="第二枚正

面朝上”，則下列結(jié)論正確的是()

A.PS)=；B.P(AB)=T

C.事件4與B不互斥D.事件4與B相互獨(dú)立

11.2021年3月，中共中央、國(guó)務(wù)院印發(fā)了《關(guān)于實(shí)現(xiàn)鞏固拓展脫貧攻堅(jiān)成果同鄉(xiāng)村振興有

效銜接的意見(jiàn)》，某村在各級(jí)政府的指導(dǎo)和支持下，開(kāi)展新農(nóng)村建設(shè)，兩年來(lái)，經(jīng)濟(jì)收入實(shí)

現(xiàn)翻番.為更好地了解經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了某村新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比

例.得到如圖扇形圖：則下面結(jié)論中正確的是()

第三產(chǎn)業(yè)收入

28%

農(nóng)第三產(chǎn)業(yè)收入

種植60%4%其他收入種植訟其他收入

收入收入37%

30%30%

養(yǎng)殖收入養(yǎng)殖收入

建設(shè)的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入比例減少了23%

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入持平

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半

12.如圖，在正方體SBCD—AaG%中，M,N分別是乙。，BDl的中點(diǎn)，貝∣J()

A.四點(diǎn)4,M,N,C共面

B.MN//CD

C.與平面BCDI相交

D.若MN=1,則正方體ABCO-&BICiDl外接球的表面積為12τr

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.若某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分分別為89,91,90,92,87,93,96,94,

則這組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)是；

14.已知向量五—(1,-2),b=(m,2)>且益±b,則∣m1+b?=.

15.甲、乙兩人獨(dú)立地破解同一個(gè)謎題，破解出謎題的概率分別為：，I.則謎題被破解的概率

為.

16.樣本X1，x2>%3，…，XIO的平均數(shù)為5，則3(xl-1),3(X2-1),3(x3-1).3(x10-1)

的平均數(shù)為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知復(fù)數(shù)z=4+αi,其中αCR且α>0,i為虛數(shù)單位，且z?為純虛數(shù).

(I)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若Zl=&，求復(fù)數(shù)Zl并指出其對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)所在的象限.

18.(本小題12.0分)

如圖為長(zhǎng)方體與半球拼接的組合體，已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為10,8,15(單位：cm),

球的直徑為5cm,求該組合體的體積和表面積.

19.(本小題12.0分)

在△力BC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知a=1為，b=2,Na=I20。.

(I)求SinB與C的值；

(2)求AABC的面積；

20.(本小題12.0分)

為了了解某校的期中語(yǔ)文成績(jī)分布情況，現(xiàn)從該校2300人中抽取100名學(xué)生期中考試語(yǔ)文成

績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示;其中成績(jī)分組區(qū)間是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),

[90,100].

(1)求圖中α的值和中位數(shù)(保留兩位小數(shù))；

(2)估計(jì)該校學(xué)生中語(yǔ)文成績(jī)不低于80分的人數(shù);

21.(本小題12.0分)

甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行投籃比賽，已知甲投中的概率為|,乙投中的概率為|,甲、乙投中與

否互不影響，甲、乙各投籃一次，求下列事件的概率.

(1)兩人都投中；

(2)甲、乙兩人有且只有1人投中.

22.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-ABC。中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AC與BD交于點(diǎn)O,PAI面

ABCD,且Pa=2.

(1)求證BD1平面P4C.；

(2)求PD與平面PAC所成角的大小.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：由z=(2-i)(3+i)=7-K

可得復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(7,-1)所在的象限為第四象限.

故選：D.

先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：高三學(xué)生有980-400-300=280名，

所以根據(jù)分層抽樣的抽樣比可知，

應(yīng)在高三學(xué)生中抽取×196=56名.

故選：C.

根據(jù)分層抽樣的定義，計(jì)算即可.

本題考查分層抽樣的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：如圖,

在△力BC中，?：/=比，二C為BC的中點(diǎn),

由向量加法的平行四邊形法則可得，AD

故選:B.

由已知宜接利用向量加法的平行四邊形法則得答案.

本題考查向量加法的平行四邊形法則，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的原則得到直觀圖的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)關(guān)系，即可求出相應(yīng)的面積.

本題主要考查利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)空間圖形的直觀圖，利用斜二測(cè)畫(huà)法的原則是解決本題的關(guān)鍵,

比較基礎(chǔ).

【解答】

解：根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的原則可知。C=2,OA=I,

二對(duì)應(yīng)直觀圖的面積為2X；XOA?OCSin45。=2xgx2xlx殍=√^^2.

故選：D.

5.【答案】D

【解析】解：對(duì)于4若m〃a且n〃a,則m與n可能平行、相交，也可能異面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若n√∕α且nuα,則Tn與n可能平行，也可能異面，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若n√∕α且m〃/?,貝IJa與/?可能相交，也可能平行，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。：因?yàn)榇怪庇谕恢本€的兩個(gè)平面互相平行，故。正確.

故選：D.

對(duì)于4直接判斷出Wi與n可能平行、相交，也可能異面，即可判斷；對(duì)于B：直接判斷出Zn與n可

能平行，也可能異面；對(duì)于C：直接判斷出支與S可能相交，也可能平行；對(duì)于。：利用線面垂直

的判定定理直接判斷.

本題考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

o

【解析】解：因?yàn)锳B=BC=1,LABC=90,AA1=2,

所以將直三棱柱擴(kuò)充為長(zhǎng)、寬、高為1、1、2的長(zhǎng)方體，

其體對(duì)角線為其外接球的直徑，長(zhǎng)度為√1+1+4=「，

所以其外接球的半徑為?，

則此三棱柱外接球的表面積為4兀?（?）2=6π.

根據(jù)題意，將直三棱柱擴(kuò)充為長(zhǎng)方體其體對(duì)角線為外接球的直徑，可得半徑，即可求出外接球的

表面積.

本題主要考查了幾何體外接球表面積的計(jì)算問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：由正弦定理得：???,

SinASinB

.2√3_b

---=------,

sinASinB

2口b

,??_.π—___._7_1，

Sm彳s?n?

解得：b=3√-2）

故選:B.

直接利用正弦定理即可求解.

本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】a

【解析】解：某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文,

甲、乙兩位參賽同學(xué)構(gòu)成的基本事件總數(shù)n=6×6=36,

其中甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題包含的基本事件個(gè)數(shù)m=房=30,

則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為P=四=羽=|.

n366

故選：A.

利用古典概型、排列組合等知識(shí)直接求解.

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

9.【答案】AD

【解析】解：因?yàn)槲?(1,-1),B=(2,0)，所以萬(wàn)一日=(一1,一1)，

對(duì)4：Id-力=√^∑,∣α∣=y∕~2>所以|五一方|=|||，故A正確；

對(duì)B：因?yàn)?x(-1)—(-1)x(-I)=—2K0,所以益與五不平行，故8錯(cuò)誤；

對(duì)C：方=(1,-1)5=(2,0)，

則cos<ZB>=舒=￡=

??,<d,b>∈[0,π]?

，方與3的夾角為也故C錯(cuò)誤；

對(duì)?D：日在B上的投影為萼=,=1,則a在B上的投影向量為(1,0),故。正確；

|0|Z

故選：AD.

根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷即可

本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，涉及向量的垂直、平行的判斷，向量投影的求法等，屬于

中檔題.

10.【答案】ACD

【解析】解：拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，所有可能的結(jié)果有：｛正，正｝、｛正、反｝、｛反、正｝、｛反，

反｝,共4個(gè)基本事件；

對(duì)于4滿(mǎn)足事件4的基本事件有｛正，正｝、｛正、反｝,共2個(gè)基本事件，則P(A)=/4正確：

對(duì)于8,滿(mǎn)足事件ZB的基本事件有｛正，正｝,共1個(gè)基本事件，則PaIB)=；,8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,事件4與事件B可同時(shí)發(fā)生，.?.事件4與事件B不互斥，C正確；

對(duì)于D,滿(mǎn)足事件B的基本事件有｛正，正｝、｛反、正｝,共2個(gè)基本事件，則P(B)=%

.??P(AB)=PQ4)P(B),???事件4與事件B相互獨(dú)立，。正確.

故選：ACD.

列舉出所有基本事件，并確定滿(mǎn)足事件4,AB,B的基本事件個(gè)數(shù)，由此計(jì)算得到P(4),P(AB),

P(B),結(jié)合互斥事件定義和獨(dú)立事件概率乘法公式可判斷出結(jié)果.

本題主要考查古典概型概率公式，互斥事件與相互獨(dú)立事件的判斷，考查運(yùn)算求解能力，屬于基

礎(chǔ)題.

11.【答案】BD

【解析】解：設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為ɑ,則新農(nóng)村建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為2ɑ,

則由扇形圖可得新農(nóng)村建設(shè)前種植收入為0.6α,其他收入為0.04α,養(yǎng)殖收入為0.3α,

新農(nóng)村建設(shè)后種植收入為0.74α,其他收入為0.1α,養(yǎng)殖收入為0.6α,

對(duì)于選項(xiàng)A,新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入增加了0.74α-0.6α=0.14α,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)其他收入為0.1α,0.1α>2×0.04a=0.08α,故增加了一倍以上，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,養(yǎng)殖收入為0.6α,因?yàn)?.6α=2X0.3ɑ,即新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍，故

C錯(cuò)誤：

對(duì)于選項(xiàng)因?yàn)轲B(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入總和為1.16α,由1.16a>gx2a=a,所以養(yǎng)殖收入

與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半，故。正確.

故選：BD.

設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為a,則新農(nóng)村建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為2a,根據(jù)扇形圖，逐項(xiàng)分析即可.

本題主要考查了統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)4連接ADi和BCr由此可知點(diǎn)4,M,N在平面ABClCl中，

點(diǎn)C任平面ABGDi,則四點(diǎn)4,M,N,C不共面，即選項(xiàng)A不正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,由正方體的性質(zhì)結(jié)合條件可知M,N分別是4。,，BDl的中點(diǎn)，所以MN〃/1B,

又因?yàn)樗訫N〃CC,即選項(xiàng)8正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,點(diǎn)B,C,5都在平面AlBCDl內(nèi)，所以與平面BCDl相交，即選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)。，因?yàn)镸N為△48Dl的中位線，且MN=1,所以正方體的棱長(zhǎng)為2,

222

設(shè)正方體ABCO-4BlelDI外接球的半徑為R,則2R=√?D1A1?+?AA1?+?AB?=2口,

即R=C，則外接球的表面積為S=4兀/?2=i2τr,即選項(xiàng)。正確;

Di__________C1

故選：BCD.

連接4Dι和BG，由此可知點(diǎn)A,M,N在平面ABGDl中，而點(diǎn)C不在平面ABClDl中，即可判斷選

項(xiàng)A;由已知得MN為△4BDl的中位線，利用中位線的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)以由己知得點(diǎn)8,C,D1

都在平面為BCD1中，與平面&BCD1相交，即可判斷選項(xiàng)C；由MN=I即可求得正方體的棱

長(zhǎng)為2,則可以求出正方體48CD-4BIGDI外接球的半徑，即可判斷選項(xiàng)D

本題考查球的表面積，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

13.【答案】89.5

【解析】解:由題意,8個(gè)班得分從小到大排列為87,89,90,91,92,93,94,96,

又8X0.25=2,故該組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)是TX(89+90)=89.5.

故答案為：89.5.

根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算求解即可.

本題主要考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】10

【解析】解：a=(1,—2),b=(m,2)?fiα1b>

則m—4=0>解得m-4,

4α+?=(4,-8)+(4,2)=(8,-6)，

故ITn為+9|=∣4α+6∣=√64+36=10.

故答案為：10.

根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，以及向量模公式，即可求解.

本題主要考查向量垂宜的性質(zhì)，以及向量模公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】I

【解析】解：設(shè)“甲獨(dú)立地破解謎題”為事件4“乙獨(dú)立地破解謎題”為事件B,“謎題被破解”

為事件C,且事件4B相互獨(dú)立，

則P(C)=1-P(AB)=1-(1-∣)×(1-∣)=∣.

故答案為:

O

設(shè)“甲獨(dú)立地破解謎題”為事件4,“乙獨(dú)立地破解謎題”為事件B,“謎題被破解”為事件C,

利用P(C)=1-P(AB)求解.

本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】12

fIq

【解析】解：已知樣本與，x2,...,XlO的平均數(shù)為"號(hào)O=5,

3(X1-1)+3(X2]：)+...+310-1)

則3。1一1),3(x2-1).......3(xπ,_1)的平均數(shù)：=。

=3(XI+X2+]JI°)-30=3×5-3=12.

故答案為:12.

由題意，根據(jù)平均數(shù)公式進(jìn)行求解即可.

本題考查平均數(shù)的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力.

17.【答案】解：(1)復(fù)數(shù)z=4+αi,

22

則z?=(4÷ai)=16—α÷Sai9

α>0,i為虛數(shù)單位，且Z?為純虛數(shù),

<；02=°解得Q=4；

4+4i1+i4(l+i)(l+2i)4.4,12.

(2)ZL?r=2i=4y1×Ξ∑2i=4×??τ?=5z(-41+lo3lλ)=-5÷τl

故復(fù)數(shù)ZI對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(Y，s在第二象限.

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及純虛數(shù)的定義，即可求解;

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的兒何意義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：長(zhǎng)方體的體積為10x8x15=1200(0∏3),半球的體積為百χ^兀X(I)3=

粵C/),

則組合體的體積U=1200+?(em3),

半球的表面積為2×4ττ×(|)2=等(Cm2),

圓的底面積S=Tr(I)2=華(Czn2),

長(zhǎng)方體的表面積為2X(IoX8+8X15+10X15)=2X350=700(cm2),

則組合體的表面積為700-學(xué)+等=700+字(cm2).

424v7

【解析】分別根據(jù)球和長(zhǎng)方體的體積公式和表面積公式進(jìn)行計(jì)算即可.

本題主要考查空間幾何體的體積和表面積的計(jì)算，根據(jù)球和長(zhǎng)方體的體積和表面積公式進(jìn)行計(jì)算

是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

19.【答案】解：(1)a=ΛΛ39.b=2,4A=120°,

???由正弦定理得已=-?,即二?=-?,解得sinB=V，

StnAsιnBstnl20oSinB13

由余弦定理得a?=b2+C2-2bccosA,BP39=4+c2-2×2×c×(-,

解得c=5或c=-7(不合題意，舍去)；

(2)S08C=?"sinB=TX√-39×5×=2-?

【解析】(1)根據(jù)正、余弦定理，即可得出答案；

(2)根據(jù)面積公式，即可得出答案；

本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖得，(α+0.04+0.03+0.02+α)×10=1,解得α=0.005；

設(shè)中位數(shù)為X,P!∣J10×0.005+10×0.04+(x-70)×0.03=0.5,解得久271.67,所以中位數(shù)是

71.67.

(2)根據(jù)頻率分布直方圖得，100名學(xué)生期中考試語(yǔ)文成績(jī)不低于80分的頻率為0.02