初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)精講課程與垂線有關(guān)的角度計(jì)算在相交線中含垂直求角的度數(shù)時(shí)，就要考慮使用對(duì)頂角相等或鄰補(bǔ)角互補(bǔ)的性質(zhì).若已知關(guān)系較復(fù)雜，比如出現(xiàn)比例或倍分關(guān)系時(shí)，可列方程解決角度問題.典例精講

例：如圖，直線AB、CD相交于O，OE⊥OF，OC平分∠AOE，且∠BOF=2∠BOE，則∠BOD=_______．類型一：直接計(jì)算求角度75°

解：∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，

∵∠BOF=2∠BOE，∴3∠BOE=90°，

∴∠BOE=90°÷3=30°，

∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-30°=150°，

又∵OC平分∠AOE，∴∠AOC=∠AOE=×150°=75°，

∵∠BOD和∠AOC互為對(duì)頂角，∴∠BOD=∠AOC=75°．

典例精講

類型二：利用方程思想求角度例：如圖，直線AB與CD相交于D，OE⊥AB，OF⊥CD.

（1）圖中與∠COE互補(bǔ)的角是___________________；（把符合條件的角都寫出來）

（2）如果∠AOC=∠EOF，求∠AOC的度數(shù)．典例精講

解：（1）∵∠COE+∠DOE=180°，∠DOE=BOF，

∴與∠COE互補(bǔ)的角是∠DOE、∠BOF．

（2）設(shè)∠AOC=x°，則∠EOF=

x°，∵OE⊥AB，OF⊥CD，

∴∠AOE=∠COF=90°；∴∠COE=90°-x°，

∴∠EOF=（90°-x°）+90°=180°-x°；

又∵∠EOF=

x°，∴180°-x°=

x°；

解得x=40．

即∠AOC=40°．課堂小結(jié)

直接計(jì)算求角度利用方程思想求角度初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)精講課程識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角如圖:怎樣描述這三條直線的位置關(guān)系？直線l1、l2被l3所截①在直線l3的同側(cè)②在直線l1、l2的同方向同位角：①在直線l1、l2的內(nèi)側(cè)②在直線l3的兩側(cè)內(nèi)錯(cuò)角：①在直線l1、l2的內(nèi)側(cè)②在直線l3的同側(cè)同旁內(nèi)角：變式圖同位角為F型，同位角的變式圖如下：變式圖內(nèi)錯(cuò)角為Z型，內(nèi)錯(cuò)角變式圖如下：變式圖同旁內(nèi)角為U型，同旁內(nèi)角角變式圖如下：典例精解例1：如圖，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．∠A與∠B是同旁內(nèi)角B．∠3與∠1是同旁內(nèi)角C．∠2與∠3是內(nèi)錯(cuò)角D．∠1與∠2是同位角√√√×D變式題1.下列各圖中，∠1、∠2不是同位角的是（）√√√×B變式題2.如圖所示，同位角一共有________對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有_______對(duì)，同旁內(nèi)角有_______對(duì).644課堂小結(jié)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的特點(diǎn)：同旁兩旁同旁同側(cè)之間之間截線被截線

結(jié)構(gòu)特征同位角

內(nèi)錯(cuò)角

同旁內(nèi)角

FZU初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)精講課程平行線判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用平行線的判定定理：同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行平行線的性質(zhì)定理：兩直線平行，同位角相等兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)典例精講如圖，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC//ED，CE是∠ACB的平分線，求證：∠EDF=∠BDF.典例精講證明：∵CE⊥AB，DF⊥AB∴CE//DF∴∠CED=∠EDF，∠ECD=∠FDB∵CE平分∠ACB

∵AC∥ED∴∠ACE=∠ECD∴∠DEC=∠DCE∴∠EDF=∠BDF典例精講

如圖，若直線a，b分別與直線c，d相交，且∠1+∠3=90°，∠2-∠3=90°，∠4=115°，那么∠3=_______°.解：∵∠1+∠3=90°，∠2-∠3=90°∴∠1+∠2=180°∴a//b∴∠3+∠4=180°∴∠3=180°-∠4=65°典例精講

如圖，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，試判斷∠AED與∠ACB的大小關(guān)系，并對(duì)結(jié)論進(jìn)行證明.典例精講

解：∠AED=∠ACB理由如下：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°∴∠2=∠4∴AB//EF∴∠3=∠ADE∵∠3=∠B∴∠ADE=∠B∴DE//BC∴∠AED=∠ACB課堂小結(jié)合理選擇平行線判定定理，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)即可得到相應(yīng)的答案.初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)精講課程平行線判定方法的綜合運(yùn)用垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。平行公理的推論：

兩條直線平行于同一條直線，這兩條直線互相平行。平行線的判定同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行典例精講

類型一：判定定理結(jié)合平行公理的推理證明平行例：如圖，∠1=∠ABC，∠2+∠D=180°，試判斷AB與EF的位置關(guān)系，并說明理由．解：AB∥EF．理由如下：∵∠1=∠ABC，

∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）．∵∠2+∠D=180°，

∴EF∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）；

∴AB∥EF(平行于同一條直線的兩直線平行).

典例精講

類型二：與垂直結(jié)合證明平行例：已知：如圖，AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，求證：BE∥CF．

證明：∵AB⊥BC，BC⊥CD，（已知）

∴∠ABC=∠DCB=90°，（垂直的定義）

∵∠1=∠2，（已知）

∴∠ABC-∠1=∠DCB-∠2，（等式的性質(zhì)）

∴∠CBE=∠BCF，（等量代換）

∴BE∥CF．（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）典例精講

例：如圖，請(qǐng)?zhí)顚懸粋€(gè)你認(rèn)為恰當(dāng)?shù)臈l件_________，使AB∥CD．類型三：開放性問題解：可填：∠CDA=∠DAB；∠FCD=∠FAB；∠ACD+∠CAB=180°等課堂小結(jié)

類型一：判定定理結(jié)合平行公理的推理證明平行類型二：與垂直結(jié)合證明平行類型三：開放性問題初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)精講課程平行線中作輔助線的方法平行線中添加輔助線的常見圖形：典例精講如圖,AB∥CD,∠1=50°,∠2=110°則∠3=__________.類型一：含一個(gè)拐點(diǎn)的平行線問題12EADCHBG3典例精講如圖,AB∥CD,∠1=50°,∠2=110°則∠3=__________.12EADCHBG3F方法一：過點(diǎn)E作EF∥AB.∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥CD.∴∠2+∠FEG=180°，∠1=∠HEF.∴FEG=70°，∠HEF=50°.∴∠3=180°-∠FEG-∠HEF=60°.典例精講如圖,AB∥CD,∠1=50°,∠2=110°則∠3=__________.12EADCHBG3F方法一：延長(zhǎng)HF與CD交于點(diǎn)F.∵AB∥CD，∴∠1=∠HFG=50°.∵∠3+∠GEF，∠2=∠110°.∴∠EGF=180°-110°=70°.∴∠3=180°-∠EGF-∠EFG=180°-70°-50°=60°.60°典例精講

如圖所示,AB∥CD,則∠A+∠E+∠F+∠C等于_______解：分別過點(diǎn)E和點(diǎn)F作EM//AB，F(xiàn)N//AB，∴AB//EM//FN//CD.∴∠