第二章2.3A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．一條直線和平面所成角為θ，那么θ的取值范圍是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)09024485)(B)A．(0°，90°) B．[0°，90°]C．(0°，90°] D．[0°，180°][解析]由線面角的定義知B正確．2．在正方體ABCD－A1B1C1D1的六個(gè)面中，與AA1垂直的平面的個(gè)數(shù)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)09024486)(B)A．1 B．2C．3 D．6[解析]僅有平面AC和平面A1C1與直線AA1垂直．3．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，則圖中共有直角三角形的個(gè)數(shù)為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)09024487)(D)A．1 B．2C．3 D．4[解析]∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BC，PA⊥CD．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AB⊥BC,PA⊥BC,PA∩AB＝A))?BC⊥平面PAB?BC⊥PB由eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(CD⊥AD,CD⊥PA,PA∩AD＝A))?CD⊥平面PAD?CD⊥PD．∴△PAB，△PAD，△PBC，△PCD都是直角三角形．4．直線a與平面α所成的角為50°，直線b∥a，則直線b與平面α所成的角等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)09024488)(B)A．40° B．50°C．90° D．150°[解析]根據(jù)兩條平行直線和同一平面所成的角相等，知b與α所成的角也是50°．5．(2018·莆田高一檢測(cè))下列說法中，正確的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)09025156)(B)A．垂直于同一直線的兩條直線互相平行B．垂直于同一平面的兩條直線互相平行C．垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行D．平行于同一平面的兩條直線互相平行[解析]A中兩直線可相交、異面、平行，故A錯(cuò)；B中l(wèi)⊥α，m⊥α則l∥m，正確；C中兩平面可平行、相交，故C錯(cuò)；D中兩直線可平行、相交、異面，故D錯(cuò)．6．如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論正確的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)09024491)(D)A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBCC．直線BC∥平面PAE D．直線PD與平面ABC所成的角為45°[解析]設(shè)AB長(zhǎng)為1，由PA＝2AB得PA＝2又ABCDEF是正六邊形，所以AD長(zhǎng)也為2又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD所以△PAD為直角三角形．∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°∴PD與平面ABC所成的角為45°，故選D．二、填空題7．已知△ABC所在平面外一點(diǎn)P到△ABC三頂點(diǎn)的距離都相等，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影是△ABC的__外心__.(填“重心”、“外心”、“內(nèi)心”、“垂心”)eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)09024492)[解析]P到△ABC三頂點(diǎn)的距離都相等，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影到△ABC三頂點(diǎn)的距離都相等，所以是外心．8．等腰直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內(nèi)，若AC與α所成的角為30°，則斜邊上的中線CM與α所成的角為__45°__.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)09024493)[解析]如圖，設(shè)C在平面α內(nèi)的射影為O點(diǎn)連結(jié)AO，MO則∠CAO＝30°，∠CMO就是CM與α所成的角．設(shè)AC＝BC＝1，則AB＝eq\r(2)∴CM＝eq\f(\r(2),2)，CO＝eq\f(1,2).∴sinCMO＝eq\f(CO,CM)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠CMO＝45°．三、解答題9．如圖，在三棱錐A－BCD中，CA＝CB，DA＝DB．作BE⊥CD，E為垂足，作AH⊥BE于H.求證：AH⊥平面BCD．eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)09024494)[解析]取AB的中點(diǎn)F，連接CF、DF．∵CA＝CB，DA＝DB，∴CF⊥AB，DF⊥AB．∵CF∩DF＝F，∴AB⊥平面CDF．∵CD?平面CDF，∴AB⊥CD．又CD⊥BE，AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE．∵AH?平面ABE，∴CD⊥AH．∵AH⊥BE，BE∩CD＝E，∴AH⊥平面BCD．10．如圖在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝PC＝13，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，M為AC的中點(diǎn).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)09024495)(1)求證：PM⊥平面ABC；(2)求直線BP與平面ABC所成的角的正切值．[解析](1)∵PA＝PC，M為AC的中點(diǎn)，∴PM⊥AC．①又∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6∴AM＝MC＝MB＝eq\f(1,2)AC＝5．在△PMB中，PB＝13，MB＝5．PM＝eq\r(PC2－MC2)＝eq\r(132－52)＝12．∴PB2＝MB2＋PM2，∴PM⊥MB．②由①②可知PM⊥平面ABC．(2)解：∵PM⊥平面ABC∴MB為BP在平面ABC內(nèi)的射影∴∠PBM為BP與底面ABC所成的角．在Rt△PMB中tan∠PBM＝eq\f(PM,MB)＝eq\f(12,5)．B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為A1C1上的點(diǎn)，則下列直線中一定與CE垂直的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)09024496)(B)A．AC B．BDC．A1D1 D．A1A[解析]∵BD⊥AC，BD⊥A1A，AC∩A1A＝A，∴BD⊥平面ACC1A1．又∵CE?平面ACC1A1，∴BD⊥CE．2．空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩對(duì)角線AC、BD的關(guān)系是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)09024497)(C)A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交[解析]取BD中點(diǎn)O，連接AO、CO則BD⊥AO，BD⊥CO∴BD⊥面AOC，BD⊥AC又BD、AC異面，∴選C．3．如圖，三條相交于點(diǎn)P的線段PA，PB，PC兩兩垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，則垂足H是△ABC的eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)09024498)(C)A．外心 B．內(nèi)心C．垂心 D．重心[解析]∵PC⊥PA，PC⊥PBPA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB．又∵AB?平面PAB，∴AB⊥PC．又∵AB⊥PH，PH∩PC＝P，∴AB⊥平面PCH．又∵CH?平面PCH，∴AB⊥CH．同理BC⊥AH，AC⊥BH.∴H為△ABC的垂心．4．(2018·全國(guó)卷Ⅰ文，10)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長(zhǎng)方體的體積為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)09025209)(C)A．8 B．6eq\r(2)C．8eq\r(2) D．8eq\r(3)[解析]在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，連接BC1根據(jù)線面角的定義可知∠AC1B＝30°因?yàn)锳B＝2，所以BC1＝2eq\r(3)，從而求得CC1＝2eq\r(2)所以該長(zhǎng)方體的體積為V＝2×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2)，故選C．二、填空題5．已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，則平行四邊形ABCD一定是__菱形__.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)09024500)[解析]由于PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD所以PA⊥BD．又PC⊥BD，且PC?平面PAC，PA?平面PAC，PC∩PA＝P，所以BD⊥平面PAC．又AC?平面PAC，所以BD⊥AC．又四邊形ABCD是平行四邊形，所以四邊形ABCD是菱形．6．如圖所示，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC邊上存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，則a的取值范圍是__[2，＋∞)__.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)09024501)[解析]因?yàn)镻A⊥平面AC，QD?平面AC，∴PA⊥QD．又∵PQ⊥QD，PA∩PQ＝P∴QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD．①當(dāng)0<a<2時(shí)，由四邊形ABCD是矩形且AB＝1知，以AD為直徑的圓與BC無交點(diǎn)，即對(duì)BC上任一點(diǎn)Q，都有∠AQD<90°，此時(shí)BC邊上不存在點(diǎn)Q，使PQ⊥QD；②當(dāng)a＝2時(shí)，以AD為直徑的圓與BC相切于BC的中點(diǎn)Q，此時(shí)∠AQD＝90°，所以BC邊上存在一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD；③當(dāng)a>2時(shí)，以AD為直徑的圓與BC相交于點(diǎn)Q1、Q2，此時(shí)∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC邊上存在兩點(diǎn)Q(即Q1與Q2)，使PQ⊥QD．C級(jí)能力拔高1．如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)．試確定點(diǎn)F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)09024502)[解析]當(dāng)F為CD的中點(diǎn)時(shí)，D1E⊥平面AB1F．連接A1B、CD1，則A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1，又A1D1∩A1B＝A1，∴AB1⊥面A1BCD1又D1E?面A1BCD1，∴AB1⊥D1E．又DD1⊥平面BD∴AF⊥DD1．又AF⊥DE，∴AF⊥平面D1DE∴AF⊥D1E．∴D1E⊥平面AB1E．即當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，D1E⊥平面AB1F.2．如圖，在錐體P－ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)．求證：AD⊥平面DEF.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)09024503