線段(xiànduàn)的垂直平分線本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.4第一頁，共二十五頁。觀察

如圖，人字形屋頂?shù)目蚣苤?，點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于線段CD所在(suǒzài)的直線l對(duì)稱，問線段CD所在的直線l與線段AA′有什么關(guān)系？我發(fā)現(xiàn)第二頁，共二十五頁。

我們可以把人字形屋頂框架圖進(jìn)行簡化(jiǎnhuà)得到下圖.

已知點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線(zhíxiàn)l對(duì)稱，如果沿直線l折疊，則點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直線l既平分線段AA′，又垂直線段AA′.●●lAA′D21(A)第三頁，共二十五頁。

我們把垂直且平分(píngfēn)一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線.

由上可知(kězhī)：線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是它的對(duì)稱軸.第四頁，共二十五頁。

如圖，在線段AB的垂直平分線l上任取一點(diǎn)P，連接(liánjiē)PA，PB，線段PA，PB之間有什么關(guān)系？探究第五頁，共二十五頁。探究

作關(guān)于直線l的軸反射（即沿直線l對(duì)折），由于(yóuyú)l是線段AB的垂直平分線，因此點(diǎn)A與點(diǎn)B重合.從而線段PA與線段PB重合，于是PA=PB.(A)(B)BAPl第六頁，共二十五頁。結(jié)論

線段(xiànduàn)垂直平分線上的點(diǎn)到線段(xiànduàn)兩端的距離相等.由此得出線段垂直平分線的性質(zhì)(xìngzhì)定理：第七頁，共二十五頁。動(dòng)腦筋

我們知道線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離(jùlí)相等，反過來，如果已知一點(diǎn)P到線段AB兩端的距離PA與PB相等，那么點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上嗎？第八頁，共二十五頁。（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段(xiànduàn)AB上時(shí)，因?yàn)?yīnwèi)PA=PB，所以點(diǎn)P為線段(xiànduàn)AB的中點(diǎn)，顯然此時(shí)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.第九頁，共二十五頁。（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段(xiànduàn)AB外時(shí)，如下圖所示.因?yàn)?yīnwèi)PA=PB，所以(suǒyǐ)△PAB是等腰三角形.過頂點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，從而底邊AB上的高PC也是底邊AB上的中線.即PC⊥AB，且AC=BC.因此直線PC是線段AB的垂直平分線，此時(shí)點(diǎn)P也在線段AB的垂直平分線上.第十頁，共二十五頁。結(jié)論

到線段兩端(liǎnɡduān)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.由此得到線段垂直平分線的性質(zhì)(xìngzhì)定理的逆定理：第十一頁，共二十五頁。例

已知：如圖，在△ABC中，AB，BC的垂直平

分線相交(xiāngjiāo)于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC.

求證：點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.舉例證明(zhèngmíng)

∵點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上，∴

OA=OB.同理OB=OC.∴

OA=OC.∴

點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.第十二頁，共二十五頁。練習(xí)1.

如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別(fēnbié)交

AB，BC于點(diǎn)D，E，∠B=30°，∠BAC=80°，求∠CAE的度數(shù).答：∠CAE=50°.第十三頁，共二十五頁。2.已知：如圖，點(diǎn)C，D是線段(xiànduàn)AB外的兩點(diǎn)，且

AC=BC，AD=BD，AB與CD相交于點(diǎn)O.

求證：AO=BO.證明(zhèngmíng)：∵

AC=BC，AD=BD，∴點(diǎn)C和點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，∴CD為線段(xiànduàn)AB的垂直平分線.又

AB與CD相交于點(diǎn)O∴AO=BO.第十四頁，共二十五頁。做一做如圖，已知線段(xiànduàn)AB，作線段AB的垂直平分線.

根據(jù)“到線段兩端距離(jùlí)相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”，要作線段AB的垂直平分線，關(guān)鍵是找出到線段AB兩端距離相等的兩點(diǎn).第十五頁，共二十五頁。第十六頁，共二十五頁。

因?yàn)榫€段AB的垂直平分線CD與線段AB的交點(diǎn)就是線段AB的中點(diǎn)，所以可以(kěyǐ)用這種方法作出線段的中點(diǎn).第十七頁，共二十五頁。動(dòng)腦筋如何過一點(diǎn)P作已知直線(zhíxiàn)l的垂線呢？

由于兩點(diǎn)確定一條直線，因此我們可以通過在已知直線上作線段的垂直平分線來找出垂線上的另一點(diǎn)(yīdiǎn)，從而確定已知直線的垂線.第十八頁，共二十五頁。第十九頁，共二十五頁。第二十頁，共二十五頁。

用尺規(guī)完成(wánchéng)下列作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）.1.如圖，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA=PB.練習(xí)第二十一頁，共二十五頁。2.如圖，作出△ABC的BC邊上(biānshànɡ)的高.第二十二頁，共二十五頁。

如圖，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E，△BCE的周長(zhōuchánɡ)等于18cm，則AC的長等于（）.A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm中考試題例解析∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等).又∵在△BCE中，BE+CE+BC=18cm，BC=8cm，∴BE+CE=10cm.∴AC=AE+CE=BE+CE=10cm.故應(yīng)選擇C.C第二十三頁，共二十五頁。結(jié)束第二十四頁，共二十五頁。內(nèi)容(nèiróng)總結(jié)線段的垂直平分線。我們把垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線.。過頂點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，。從而底邊