圖SEQ圖\*ARABIC11LMF法擬合結(jié)果數(shù)據(jù)結(jié)果如下：高斯牛頓法：，迭代次數(shù)：9，均方差：3.1301；信賴域—Dogleg法：，迭代次數(shù)：23，均方差3.4286；LMF法：，迭代次數(shù)：10，均方差：3.1301。分析結(jié)果可以看出：當(dāng)初始值接近真實(shí)值的時(shí)候，高斯牛頓法和信賴域—Dogleg法也都可以收斂了。高斯牛頓法和LMF法的擬合結(jié)果一樣，并且收斂速度比LMF快一點(diǎn)，而信賴域—Dogleg法的擬合精度和收斂速度都要更差一些。實(shí)例5，美國(guó)人口從1800年到2000年間，每隔十年的總?cè)丝谌缦卤韀20]：分別用單指數(shù)模型和Logistic模型： （4.8） （4.9）對(duì)表中數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，以便進(jìn)行人口預(yù)測(cè)等事情。年份x/年時(shí)間順序人口數(shù)y/百萬年份x/年時(shí)間順序人口數(shù)y/百萬180015.319101292.0181027.2192013106.5182039.6193014123.21830412.9194015131.71840517.1195016150.71850623.2196017179.31860731.4197018204.01870838.6198019226.51880950.2199020251.418901062.9200021275.019001176.0先使用進(jìn)行擬合，函數(shù)模型為指數(shù)函數(shù)，但是調(diào)用線性最小二乘法的指數(shù)函數(shù)模型進(jìn)行擬合時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，計(jì)算正規(guī)方程時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)矩陣為奇異值，導(dǎo)致沒有結(jié)果。調(diào)用非線性擬合，發(fā)現(xiàn)同實(shí)例4一樣，初始值為[1，1]時(shí)，高斯牛頓法和信賴域—Dogleg法的矩陣為奇異值，或者擬合結(jié)果太差。LMF法的圖像結(jié)果如下：圖SEQ圖\*ARABIC12LMF法指數(shù)函數(shù)模型擬合美國(guó)人口和時(shí)間的關(guān)系LMF法數(shù)據(jù)結(jié)果：，迭代次數(shù)：43，均方差：10.5937?？梢钥闯鰯M合結(jié)果比較差，根據(jù)結(jié)果將初始值[0.1，15]帶入高斯牛頓法和信賴域—Dogleg法中。發(fā)現(xiàn)同實(shí)例4一樣，高斯牛頓法的結(jié)果和LMF一樣，只是高斯牛頓法的迭代速度要快一點(diǎn)。信賴域—Dogleg法的結(jié)果為，迭代次數(shù)為21，均方差：10.8072，同樣的，不論是擬合速度，還是擬合精度比起另外兩種方法都要差一些。同時(shí)，這個(gè)實(shí)例也可以看出，對(duì)樣本數(shù)據(jù)做非線性擬合比做線性最小二乘擬合要更穩(wěn)定，更容易出結(jié)果，尤其是使用LMF法更容易得到擬合結(jié)果對(duì)于Logistic模型： （4.10）選擇初始值[1，1，1]進(jìn)行擬合，高斯牛頓法和信賴域—Dogleg法，矩陣為奇異值或者接近奇異值，所以沒有結(jié)果。LMF法圖像結(jié)果如下：圖SEQ圖\*ARABIC13LMF法Logistic模型擬合美國(guó)人口和時(shí)間的關(guān)系LMF法擬合數(shù)據(jù)結(jié)果為：[7.5116，0.2191，423.9579] （4.11）迭代次數(shù)：66，均方差：4.3195?？梢钥闯鰯M合結(jié)果還可以。根據(jù)LMF法的結(jié)果，將初始值[7，0.2，420]重新帶入三種方法，得到結(jié)果如下表：方法擬合結(jié)果迭代次數(shù)均方差高斯牛頓法[7.5116，0.2191，423.9579]84.3195信賴域—Dogleg法[6.7373，0.2263，418.7400]154.5678LMF法[7.5116，0.2191，423.9579]94.3195分析這個(gè)結(jié)果可知，結(jié)論同實(shí)例4和實(shí)例5的指數(shù)函數(shù)非線性擬合一樣。

結(jié)論本文通過運(yùn)用最小二乘法的思想，理解并通過MATLAB編程實(shí)現(xiàn)了線性最小二乘法，線性化最小二乘法，非線性最小二乘法中的高斯牛頓法，信賴域—Dogleg法，LMF法。通過五個(gè)實(shí)例，對(duì)四組數(shù)據(jù)，選擇合適的模型和求解算法，對(duì)比了同一組數(shù)據(jù)，應(yīng)用不同擬合方法或者不同模型所產(chǎn)生的結(jié)果，分析結(jié)果并結(jié)合實(shí)際發(fā)現(xiàn)：線性最小二乘擬合對(duì)于現(xiàn)實(shí)中的很多數(shù)據(jù)并不適用，將非線性函數(shù)線性化之后，有時(shí)會(huì)放大噪聲，使得矩陣奇異，擬合不收斂或者沒有非線性擬合準(zhǔn)確。進(jìn)行非線性擬合時(shí)，對(duì)比三種方法，發(fā)現(xiàn)LMF法可以有效的避免矩陣為奇異值。初始值影響LMF法迭代的次數(shù)，對(duì)結(jié)果的影響并不大。初始值對(duì)于高斯牛頓法和信賴域—Dogleg法的擬合結(jié)果影響很大，很差的初始值會(huì)使得矩陣為奇異值或者接近奇異值，從而無法收斂，得不到擬合結(jié)果或者得到的結(jié)果擬合精度太差。初始值良好的時(shí)候，高斯牛頓法的迭代求解速度最快。而信賴域—Dogleg法，相較于另外兩種方法，擬合精度和擬合速度都差了一些。因此，在日常生活中對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合時(shí)，對(duì)于線性函數(shù)模型和可線性化的非線性函數(shù)模型，如果要求精度很高，也可以使用非線性擬合的方法進(jìn)行擬合。對(duì)于非線性函數(shù)，在不知道初值的情況下，建議使用LMF法進(jìn)行擬合，在知道大概初值的情況下，可以使用高斯牛頓法進(jìn)行擬合。

致謝本篇論文是在導(dǎo)師XXX教授的傾力指導(dǎo)下完成的。整個(gè)論文完成期間，老師始終孜孜不倦，有問必答，其寬厚的待人品德，豐富的教導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，淵博的學(xué)術(shù)知識(shí)以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度等等都使我獲益良多，在此向我的導(dǎo)師表示崇高的敬意與衷心的感謝！在論文寫作中，參考引用了一些論文，期刊等等文獻(xiàn)數(shù)據(jù)，在此對(duì)這些文獻(xiàn)的作者表示十分感謝！同時(shí)，也對(duì)在論文期間所有幫助支持過我的親人朋友們表示非常感謝。謝謝大家

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