2023-2024學(xué)年朝陽市建平縣高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷2024.01一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知直線與直線平行，則實數(shù)（

）A． B．1 C． D．33．已知是坐標原點，是拋物線：的焦點，是上一點，則線段的長度為（

）A．9 B． C．3 D．4．圓：與圓：的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切5．已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知空間向量,若共面，則實數(shù)的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．37．3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)，如圖所示的塔筒為3D打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計算）的上底直徑為，下底直徑為，喉部（中間最細處）的直徑為，則該塔筒的高為（

）A． B． C． D．8．如圖，已知橢圓的左?右焦點分別為，過焦點的直線交橢圓于兩點，若的內(nèi)切圓的面積為，設(shè)兩點的坐標分別為，則的值為（

）A． B．2 C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．已知關(guān)于，的方程表示的曲線是，則曲線可以是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線10．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，若，則（

）A． B．C． D．11．已知將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，然后將圖象上所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標不變），再向上平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最大值是B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到D．若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有兩個不同的實根，則12．如圖，在長方體中，，M，N分別為棱，的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面B．平面C．異面直線和所成角的余弦值為D．若為線段上的動點，則點到平面的距離不是定值三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知復(fù)數(shù)z滿足，則.14．已知拋物線：的焦點為，，為上一點，則的最小值為．15．在中，點是邊上的動點（點異于，），且，若，則的最小值為.16．已知分別是雙曲線的上、下焦點，經(jīng)過點且與軸垂直的直線與的一條漸近線相交于點，且在第四象限，四邊形為平行四邊形，若的離心率的取值范圍是，則直線的傾斜角的取值范圍是.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．在中，角所對的邊分別為，且，.(1)求的值；(2)若，求的面積.18．已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合．(1)求拋物線的標準方程；(2)若過雙曲線的右頂點且斜率為2的直線與拋物線交于，兩點，求線段的長度．19．2023年9月23日至10月8日，第19屆亞運會在杭州成功舉辦，中國跳水運動小將全紅嬋備受大家關(guān)注.某調(diào)研機構(gòu)為了了解杭州市民對亞運會跳水項目的認知程度，舉辦了一次“亞運會跳水項目”知識競賽，隨機抽取了1000名參賽者，發(fā)現(xiàn)他們的成績都在40～100分之間，將他們的成績分成，，，，，六組，并制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值以及這1000人競賽成績的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點值代替）；(2)用比例分配的分層隨機抽樣方法，從，中抽取6人，并從這6人中隨機抽取2人進行采訪，求接受采訪的2人中有人成績在的概率.20．如圖，在直三棱柱中，，，D，E，F(xiàn)分別為，，的中點.

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.21．已知圓．(1)若直線過點且與圓相切，求直線的方程；(2)設(shè)直線與圓相交于，兩點，點為圓上異于，的動點，求的面積的最大值．22．已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率，P為C上一點，的面積的最大值為.(1)求C的方程；(2)若直線與圓相切，與橢圓C交于M，N兩點，且，求直線的方程.1．B【分析】根據(jù)交集的知識求得正確答案.【詳解】依題意，.故選：B2．B【分析】根據(jù)直線平行的條件求解即可.【詳解】由兩直線平行，得，解得.當時，直線與直線平行，故.故選：B.3．D【分析】根據(jù)點在拋物線上，求得拋物線方程即可求解.【詳解】由是上一點，得：，解得，所以．故選:D.4．D【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法求得正確答案.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑，圓的圓心坐標為，半徑，因為，所以圓與圓內(nèi)切.故選：D5．A【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性化簡不等式，由此求得正確答案.【詳解】依題意，偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則由得，即或，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A6．D【分析】利用三個向量共面，即可列出方程求出實數(shù)的值.【詳解】因為共面，所以存在實數(shù)對,使得,即，所以解得故選：D．7．C【分析】根據(jù)模型建立平面直角坐標系，由已知條件先求雙曲線的標準方程，再計算高度即可.【詳解】該塔筒的軸截面如圖所示，以喉部的中點為原點，建立平面直角坐標系，設(shè)A與分別為上，下底面對應(yīng)點.設(shè)雙曲線的方程為，因為雙曲線的離心率為，所以.又喉部（中間最細處）的直徑為，所以，所以雙曲線的方程為.由題意可知，代入雙曲線方程，得，所以該塔筒的高為.故選:C.8．D【分析】根據(jù)等面積法，由此可求出所求的值.【詳解】由題意知的內(nèi)切圓的半徑為，又，所以的面積，因為，所以.故選：D.9．ABC【分析】根據(jù)圓以及雙曲線，以及橢圓的性質(zhì)即可分類討論求解.【詳解】當時，，方程可以化簡為，曲線是圓；當，且時，或，曲線是橢圓；當時，或，曲線是雙曲線．故選:ABC．10．BC【分析】根據(jù)空間向量的線性運算，結(jié)合圖形依次判斷即可求解.【詳解】A：，故A錯誤；B：，故B正確；C：，故C正確；D：，故D錯誤．故選：BC.11．BC【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換求得，然后根據(jù)三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、圖象變換、方程的根等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到，再將圖象上所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標不變）,得到，再向上平移1個單位長度，得到，A選項，的最大值為，A選項錯誤.B選項，若，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，B選項正確.C選項，函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到，C選項正確.D選項，若，則，若，由，所以，所以，解唯一，所以D選項錯誤.故選：BC12．ACD【分析】根據(jù)線面平行、線面垂直、線線角、點面距以及空間向量等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】連接，由于分別是的中點，所以，根據(jù)長方體的性質(zhì)可知，所以四邊形是平行四邊形，所以，則，由于平面，平面，所以平面，所以A選項正確.以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，，，，所以與不垂直，則與平面不垂直，B選項錯誤.，設(shè)直線與所成角為，則，C選項正確.，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，由于，所以直線與平面不平行，所以點到平面的距離不是定值，D選項正確.故選：ACD【點睛】判斷線面是否平行，可以用線面平行的判定定理來進行判斷.要判斷線面是否垂直，可以利用向量法來進行判斷，要求異面直線所成角，可以考慮利用幾何法或向量法來進行求解.13．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算、復(fù)數(shù)的模等知識求得正確答案.【詳解】依題意，，所以.故答案為：14．5【分析】根據(jù)拋物線的定義求得正確答案.【詳解】過作準線的垂線，垂足為，則，顯然點在拋物線內(nèi)，則當，，三點共線時，最小，其最小值為．故答案為：

15．【分析】先求得的等量關(guān)系式，然后利用基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意，由于三點共線，所以，而，由于點是邊上的動點（點異于，），所以，則，所以為正數(shù)，所以，當且僅當時等號成立.故答案為：16．【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可知也在雙曲線的漸近線上，且在第二象限，從而由可知軸，設(shè)，又在漸近線上，可得，利用，和離心率的取值范圍可得答案圍．【詳解】由雙曲線的對稱性可知也在雙曲線的漸近線上，且在第二象限，由軸，可知軸，所以可設(shè)，又在漸近線上，所以，所以，因為的離心率的取值范圍是，所以，又，所以.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可知也在雙曲線的漸近線上，利用求解.17．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理求得正確答案.（2）利用余弦定理求得，再由三角形的面積公式求得的面積.【詳解】（1）依題意，，，由正弦定理得.（2）若，則，由余弦定理得，，解得，所以.18．(1)；(2)【分析】（1）利用雙曲線與拋物線下的定義計算求拋物線標準方程即可；（2）利用弦長公式計算即可.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的實軸長、短軸長、焦距分別為，由可得，，所以，解得，所以雙曲線的右焦點為，所以可設(shè)拋物線的標準方程為，其焦點為，所以，即，所以拋物線的標準方程為；（2）由，得雙曲線的右頂點為，因為直線過點且斜率為2，所以直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去，得，所以，，所以．19．(1)，平均數(shù)為分(2)【分析】（1）根據(jù)頻率之和為求得，根據(jù)平均數(shù)的求法求得平均數(shù).（2）根據(jù)分層抽樣、古典概型等知識求得正確答案.【詳解】（1）依題意，，解得，平均數(shù)為.（2）的頻率為，的頻率為，所以從中抽取人，記為，在中抽取人，記為，從中任選人，基本事件有：，，共種，其中接受采訪的2人中有人成績在的有，共種，所以接受采訪的2人中有人成績在的概率為.20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點G，連接，，利用線線平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求線面夾角正弦值.【詳解】（1）證明：取的中點，連接，，因為F，G分別為，的中點，所以，，又E為的中點，，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）

解：在直三棱柱中，平面，又平面，平面，所以，，又，故以B為原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則令得，，所以平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成的角的正弦值為.21．(1)或(2)【分析】（1）確定圓心和半徑，考慮直線斜率存在和不存在兩種情況，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得到答案.（2）確定圓心到直線的距離，計算，，計算面積的最大值得到答案.【詳解】（1）圓：，圓心的坐標為，半徑．當直線的斜率不存在時，直線的方程為，圓心到的距離，與圓相切；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，由直線與圓相切，得，解得，所以直線的方程為．綜上所述：直線的方程為或．（2）圓心到直線的距離，所以，因為為圓上異于，的動點，所以點到直線的距離，所以的面積，當且，在圓心的兩側(cè)時，等號成立，所以的面積的最大值為．22．(1)(2)或.【分析】（1）由題意知求得，結(jié)合離心率解得，則橢圓方程可得（2）利用直線和圓相切，得到一個方程，后利用弦長得到另一個方程，聯(lián)立求解即可.【詳解】（1