12三月2024考研曲線積分和曲面積分第一節(jié)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對弧長的曲線積分的計算法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對弧長的曲線積分第十章內(nèi)容小結(jié)1.定義2.性質(zhì)(l曲線弧

的長度)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.計算?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束如果曲線L的方程為則有如果方程為極坐標(biāo)形式:則推廣:設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束其中L1是曲線L在x軸右側(cè)的那一部分；關(guān)于y軸對稱也有類似結(jié)論。對稱性的應(yīng)用：1.如果曲線關(guān)于x軸對稱，函數(shù)f(x,y)關(guān)于y為奇偶函數(shù)，則2.設(shè)f(x,y)在曲線連續(xù)，曲線L關(guān)于原點對稱，函數(shù)f(x,y)關(guān)于（x,y）為奇偶函數(shù)，則其中L1是曲線L在右半平面或上半平面的那一部分。例1.計算其中L為雙紐線解:在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為利用對稱性,得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.計算其中為球面解:化為參數(shù)方程則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)已知橢圓周長為a,求提示:原式=利用對稱性機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二節(jié)1、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)2、對坐標(biāo)的曲線積分的計算法3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對坐標(biāo)的曲線積分第十章1.定義性質(zhì)(1)L可分成k條有向光滑曲線弧(2)L－

表示L的反向弧對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.計算?對有向光滑弧?對有向光滑弧機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧L以弧長為參數(shù)

的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三節(jié)一、格林公式

二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束格林公式及其應(yīng)用第十章區(qū)域D分類單連通區(qū)域(無“洞”區(qū)域)多連通區(qū)域(有“洞”區(qū)域)域D邊界L的正向:域的內(nèi)部靠左定理1.設(shè)區(qū)域D是由分段光滑正向曲線L圍成,則有(格林公式)函數(shù)在D上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),一、格林公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件定理2.設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線

L,有(2)對D中任一分段光滑曲線L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點都有與路徑無關(guān),只與起止點有關(guān).函數(shù)則以下四個條件等價:在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域內(nèi)則2)求曲線積分時,可利用格林公式簡化計算,3)可用積分法求du=

Pdx+Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù):及動點或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點1)計算曲線積分時,可選擇方便的積分路徑;定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束真題研討第四節(jié)一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)二、對面積的曲面積分的計算法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對面積的曲面積分第十章1.定義:2.計算:設(shè)則(曲面的其他兩種情況類似)

注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對稱性、重心公式簡化計算的技巧.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對面積的曲面積分的概念、性質(zhì)和計算對稱性的應(yīng)用例3.計算其中

是球面利用對稱性可知解:顯然球心為半徑為利用重心公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素的投影二、對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)

三、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法四、兩類曲面積分的聯(lián)系機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對坐標(biāo)的曲面積分第十章其方向用法向量指向方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)?設(shè)

為有向曲面,側(cè)的規(guī)定

指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影記為的面積為則規(guī)定類似可規(guī)定機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束引例中,流過有向曲面的流體的流量為稱為Q在有向曲面上對

z,x的曲面積分;稱為R在有向曲面上對

x,

y

的曲面積分.稱為P在有向曲面上對

y,z

的曲面積分;若記

正側(cè)的單位法向量為令則對坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束時，（上側(cè)取“+”,下側(cè)取“

”)類似可考慮在yoz面及zox面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束

?若則有?若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束性質(zhì):聯(lián)系:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.設(shè)S是球面的外側(cè),計算解:利用輪換對稱性,有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.

計算曲面積分其中

解:利用兩類曲面積分的聯(lián)系,有∴原式=旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面z=0及z=2之間部分的下側(cè).機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、高斯(Gauss)公式定理1.設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)P,Q,R在面所圍成,的方向取外側(cè),則有(Gauss公式)高斯目錄上頁下頁返回結(jié)束1.高斯公式及其應(yīng)用公式:應(yīng)用:(1)計算曲面積分(非閉曲面時注意添加輔助面的技巧)(2)推出閉曲面積分為零的充要條件:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.利用Gauss公式計算積分其中為錐面解:作輔助面取上側(cè)介于z=0及z=h之間部分的下側(cè).所圍區(qū)域為

,則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束利用重心公式,注意機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、斯托克斯(Stokes)公式

定理1.設(shè)光滑曲面的邊界是分段光滑曲線,(斯托克斯公式)個空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),的側(cè)與

的正向符合右手法則,在包含在內(nèi)的一則有簡介目錄上頁下頁返回結(jié)束為便于記憶,斯托克斯公式還可寫作:或用第一類曲面積分表示:定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束例9.

為柱面與平面y=z的交線,從z

軸正向看為順時針,計算解:設(shè)為平面z=y上被

所圍橢圓域,且取下側(cè),利用斯托克斯公式得則其法線方向余弦公式目錄上頁下頁返回結(jié)束2.通量與散度設(shè)向量場P,Q,R,在域G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則向量場通過有向曲面的