第13章總復習課九江一中數(shù)學組

【例1

】

下列命題中是假命題的是()A．三角形的內(nèi)角和是180°B．多邊形的外角和都等于360°C．五邊形的內(nèi)角和是900°D．三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和解析:要說明一個命題是真命題，需要經(jīng)過證明它是正確的．對于A、B、D來說，都是經(jīng)過證明，被認為是正確的，而五邊形的內(nèi)角和是540°，所以C不正確，故選C.C判定命題真假1命題這部分內(nèi)容的概念多、理論性強，看似雜亂無章，其實只要抓住三點，一切問題也就迎刃而解．主要是識別命題、找出命題的條件和結論、會判斷命題的真假．1.下列命題：①兩點確定一條直線；②兩點之間，線段最短；③對頂角相等；④內(nèi)錯角相等.其中真命題的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個C

【練習】DFDEEF∠D∠E∠F角角角邊邊邊AC=AB=BC=∠A=∠B=∠C=【例2】如圖，已知△ABC≌△DEF，請指出圖中對應邊和對應角.ABCFDE提示：根據(jù)“全等三角形的對應邊相等，對應角相等”解題.全等三角形的性質(zhì)2兩個全等三角形的長邊與長邊，短邊與短邊分別是對應邊，大角與大角，小角與小角分別是對應角.有對頂角的，兩個對頂角一定為一對對應角.有公共邊的，公共邊一定是對應邊.有公共角的，公共角一定是對應角.ABCED2.如圖，已知△ABC≌△AED，若AB＝6，AC＝2,∠B＝25°，你還能說出△ADE中其他角的大小和邊的長度嗎？

解：∵△ABC≌△AED，∴∠E＝∠B＝25°（全等三角形對應角相等），

AC=AD=2，AB=AE=6（全等三角形對應邊相等）.【練習】【例3】已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求證：△ABC≌△DCB．∠ABC＝∠DCB(已知），

BC＝CB（公共邊），∠ACB＝∠DBC（已知），證明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（A.S.A.）.BCAD解析：運用“兩角和它們的夾邊對應相等兩個三角形全等”進行判定．全等三角形的判定33.已知△ABC和△DEF,下列條件中,不能保證△ABC和△DEF全等的是()A.AB=DE，AC=DF，BC=EF

B.∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DFC.AB=DE，AC=DF，∠A=∠D

D.AB=DE，BC=EF，∠C=∠FD【練習】4.如圖所示，AB與CD相交于點O,∠A=∠B，OA=OB添加條件

，所以△AOC≌△BOD理由是

.

AODCB∠C=∠D或∠AOC=∠BODA.A.S.或A.S.A.【練習】【例4】如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于點G,交AB于點E,EF∥BC交AC于點F,求證：∠DEC=∠FEC.ABCDFEG解析：欲證∠DEC=∠FEC由平行線的性質(zhì)轉化為證明∠DEC=∠DCE只需要證明△DEG

≌△DCG.全等三角形的性質(zhì)與判斷的綜合應用4ABCDFEG證明：∵CE⊥AD,∴∠AGE=∠AGC=90°.在△AGE和△AGC中，∠AGE=∠AGC，AG=AG，∠EAG=∠CAG，∴△AGE

≌

△AGC(A.S.A.).∴GE=GC.

【方法總結】利用全等三角形證明角相等，首先要找到兩個角所在的兩個三角形，看它們?nèi)鹊臈l件夠不夠；有時會用到等角轉換，等角轉換的途徑很式，如：余角，補角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等，必要時要想到添加輔助線.在△DGE和△DGC中，EG=CG，∠EGD=∠CGD=90°，DG=DG，∴△DGE≌

△DGC(S.A.S.).∴∠DEG=∠DCG.∵EF//BC,∴∠FEC=∠ECD，∴∠DEG=∠FEC.5.如圖，OB⊥AB，OC⊥AC，垂足為B，C，OB=OC，∠BAO=∠CAO嗎？為什么？OCBA解：AO平分∠BAC.理由如下：∵OB⊥AB,OC⊥AC，∴∠B=∠C=90°.在Rt△ABO和Rt△ACO中，

OB=OC，AO=AO，∴Rt△ABO≌Rt△ACO（H.L.）.∴∠BAO=∠CAO.【練習】【例5】

如圖，兩根長均為12米的繩子一端系在旗桿上，旗桿與地面垂直，另一端分別固定在地面上的木樁上，兩根木樁離旗桿底部的距離相等嗎？ABCD解析：將本題中實際問題轉化為數(shù)學問題就是證明BD=CD.由已知條件可知AB=AC，AD⊥BC.利用全等三角形解決問題5解：相等，理由如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ADB和Rt△ADC中，AD=AD，AB=AC，

∴Rt△ADB≌Rt△ADC(H.L.).∴BD=CD.利用全等三角形可以測量一些不易測量的距離，長度，還可對某些因素作出判斷，一般采用以下步驟：（1）先明確實際問題；（2）根據(jù)實際抽象出幾何圖形；（3）經(jīng)過分析，找出證明途徑；（4）書寫證明過程.6.小明想設計一種方案，測一下沼澤地的寬度AB的長度，如圖所示，他在AB的垂線BM上分別取出C，D兩點，使CD＝BC，再過D點作出BM的垂線DN，并在DN上找一點E，使A，C，E三點共線，這時所測得DE的長就是這塊沼澤地的寬AB的長度，你能說明理由嗎？解：在△ABC和△EDC中，∠ABC＝∠EDC＝90°，BC＝DC，∠ACB＝∠ECD，根據(jù)“A.S.A.”的判定定理可以判定△ABC≌△EDC，再由全等三角形的對應邊相等，可得AB＝DE.【練習】【例6】

如圖，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于點D.求證：∠BAC=2∠DBC.ABCD))12E解析:根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可作頂角∠BAC的平分線，來獲取角的數(shù)量關系.證明：作∠BAC的平分線AE,交BC于點E,如圖，則∵AB=AC,∴AE⊥BC.∴∠2+∠ACB=90°.∵BD⊥AC,∴∠DBC+∠ACB=90°.∴∠2=∠DBC.∴∠BAC=2∠DBC.等腰三角形的性質(zhì)與判斷6

等腰三角形的性質(zhì)與判定是本章的重點之一，它們是證明線段相等和角相等的重要依據(jù)，等腰三角形的特殊情形—等邊三角形的性質(zhì)與判定應用也很廣泛，有一個角是30°的直角三角形的性質(zhì)是證明線段之間的倍分關系的重要手段.7.如圖，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°,點D是AC上的一點，AE垂直BD的延長線于點E,且AE=BD.求證：BD平分∠ABC.ABDE))12【練習】CCFABDE))12證明：延長AE交BC的延長線于點F,如圖所示.∵∠ACB=90°,∴∠ACF=∠ACB=90°.∵∠F+∠FAC=90°,∴∠F+∠EBF=90°.∵∠FAC=∠EBF.在△ACF和△BCD中，∠FAC=∠DBC,

AC=BC,∠ACF=∠BCD,∴△ACF≌△BCD(ASA).∴AF=BD.FABDE))12在△AEB和△FEB中，AE=FE,

EB=EB,∠AEB=∠FEB,∴△AEB≌△FEB(S.A.S.).C∵AE=BD,∴∠ABE=∠FBE,即BD平分∠ABC.∴AE=EF.【例7

】如圖，等邊△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別同時從點A，B，C出發(fā)，以相同的速度在AB，BC，CA上運動，連結DE，EF，DF．求證：△DEF是等邊三角形.解析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA，AD=BE=CF，進一步證得BD=EC=AF，即可證得△ADF≌△BED≌△CFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DE=EF=FD，即可證得△DEF是等邊三角形.等邊三角形的性質(zhì)與判定7

證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA.∵AD=BE=CF，∴BD=EC=AF.在△ADF，△BED和△CFE中，AD＝BE＝CF,∠A＝∠B＝∠C,BD＝CE＝AF,∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴DE=EF=FD，∴△DEF是等邊三角形.8.如圖，△ABC是等邊三角形，D是AB邊上一點，以CD為邊作等邊三角形CDE，使點E、A在直線DC的同側，連結AE.求證：△DBC≌△EAC.證明：∵△ABC和△EDC是等邊三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，∴△DBC≌△EAC.【練習】【例8】用直尺和圓規(guī)作一個角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC＝∠BOC的依據(jù)是(

)A．S.S.S.B．A.S.A.C．A.A.S.D．角平分線上的點到角兩邊的距離相等A

解析：

由作法可得OM＝ON，MC＝NC.∵OC＝OC，∴△ONC≌△OMC(S.S.S.)．故選A.

尺規(guī)作圖8

作角的平分線，實際上就是平分已知角．作已知角的平分線的理論依據(jù)是判定三角形全等的“S.S.S.”.9.如圖，是用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖，則說明∠A′O′B′=∠AOB的依據(jù)是（）A．S.A.S. B．S.S.S. C．A.A.S. D．A.S.A.B【練習】【例9】判斷下列命題的真假，寫出這些命題的逆命題并判斷它們的真假．(1)如果a＝0，那么ab＝0；(2)如果點P到線段AB兩端點的距離相等，那么P在線段AB的垂直平分線上．解析：寫一個命題的逆命題，將命題的條件和結論交換位置，有時要添加適當?shù)脑~語，使語句通暢．命題與逆命題9

【方法歸納】（1）寫出一個命題的逆命題關鍵是分清它的條件和結論，然后將條件和結論互換.將命題的條件和結論交換位置，有時要添加適當?shù)脑~語，使語句通暢．（2）原命題是真命題，其逆命題不一定是真命題；原命題是假命題，其逆命題不一定是假命題.要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可；而要判斷一個命題是真命題，則需通過推理論證得出.解：(1)原命題是真命題．原命題的逆命題是：如果ab＝0，那么a＝0.逆命題為假．(2)原命題是真命題．原命題的逆命題是：如果P在線段AB的垂直平分線上，那么點P到線段AB兩端點的距離相等．逆命題是真命題．10.寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假：（1）若x=1，則x2=1；（2）若|a|=|b|，則a=b.解：（1）逆命題：若x2=1，則x=1．是假命題.（2）逆命題：若a=b，則|a|=|b|．是真命題.【練習】【例10】

如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4.5,分別以A、B為圓心，4為半徑畫弧交于兩點，過這兩點的直線交AC于點D，連結BD，則△BCD的周長是________．10.5解析：由題意可知過這兩點的直線其實是AB邊的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可以得BD＝AD.∵AC＝6，BC＝4.5，∴△BCD的周長＝BD＋CD＋BC＝AD＋CD＋BC＝AC＋BC＝6＋4.5＝10.5.線段的垂直平分線10本題集垂直平分線的畫法、垂直平分線的性質(zhì)、整體的思想、轉化的思想于一題求線段的長，是中考的一個新的題型，希望引起讀者注意．11.

如圖，已知△ABC，直線PM是線段AC的垂直平分線，射線AP是∠BAC的平分線，P是兩線的交點，且CP＝3cm，PM＝2cm，求點P到直線AB的距離及到點A的距離．解：∵點P在線段AC的垂直平分線上，∴PA＝PC.∵CP＝3cm，∴PA＝3cm.∵AP是∠BAC的平分線，∴點P到AB的距離等于PM的長．∴點P到AB的距離等于2cm，到點A的距離為3cm.【練習】【例11】

如圖,∠1=∠2,點P為BN上的一點，∠PCB+∠BAP=180°，求證:PA=PC.BACN))12P解析：由角平分線的性質(zhì)易想到過點P向∠ABC的兩邊作垂線段PE，PF，構造角平分線的基本圖形.EF角平分線11證明:過點P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分別為E,F.BACN))12PEF∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分別為E,F.∴PE=PF,∠PEA=∠PFC=90°.∵

∠PCB+∠BAP=180°,又知∠BAP+∠EAP=180°.∴∠EAP=∠PCB.在△APE和△CPF中，∠PEA=∠PFC=90°，∠EAP=∠FCP，

PE=PF，∴△APE

≌△CPF(AAS)，∴AP=CP.

角的平分線的性質(zhì)是證明線段相等的常用方法.應用時要依托全等三角形發(fā)揮作用.作輔助線有兩種思路是作垂線段構造角平分線性質(zhì)基本圖.12.如圖,∠1=∠2,點P為BN上的一點，

PA=PC

，求證:∠PCB+∠BAP=180°.BACN))12PEF證明：過點P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分別為E,F.∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分別為E,F.∴PE=PF,∠PEA=∠PFC=90°.

PA=PC，

PE=PF，在Rt△APE和Rt△CPF中，∴Rt△PAE

≌Rt△PCF(H.L.).∴∠EAP=∠FCP.∵

∠BAP+∠EAP=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°.想一想：本題如果不給圖，條件不變，請問∠PCB與∠PAB有怎樣的數(shù)量關系呢？【練習】分類討論思想【例12

】

等腰三角形的周長為20cm,其中兩邊的差為8cm,求這個等腰三角形各邊的長.解析：要考慮腰比底邊長和腰比底邊短兩種情況.本章的數(shù)學思想與解題方法12

【方法歸納】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求邊長或度數(shù)時，若已知條件未明確所給的角是頂角還是底角、所給的邊是腰還是底邊時，要分兩種情況才能使答案不致缺漏，同時，求出答案后要和三角形的內(nèi)角和定理及三角形三邊關系對照，若不符合，則答案不成立，要舍去，這樣才能保證答案準確.解：若腰比底邊長，設腰長為xcm,則底邊長為（x-8)cm，根據(jù)題意得

2x+x-8=20,

解得x=,∴x-8=;若腰比底邊短，設腰長為y