作業(yè)（一）————函數(shù)，極限和持續(xù)一、填空題（每小題2分，共20分）1.函數(shù)定義域是．答案：提示：對(duì)于，規(guī)定分母不能為0，即，也就是；對(duì)于，規(guī)定，即；因此函數(shù)定義域是2．函數(shù)定義域是．答案：提示：對(duì)于，規(guī)定分母不能為0，即，也就是；對(duì)于，規(guī)定，即；因此函數(shù)定義域是3.函數(shù)定義域是．答案：提示：對(duì)于，規(guī)定分母不能為0，即，也就是；對(duì)于，規(guī)定，即；對(duì)于，規(guī)定，即且；因此函數(shù)定義域是4.函數(shù)，則 ．答案：提示：由于，因此5．函數(shù)，則．答案：提示：由于當(dāng)是在區(qū)間，應(yīng)選取進(jìn)行計(jì)算，即6．函數(shù)，則．答案：提示：由于，因此7．函數(shù)間斷點(diǎn)是．答案：提示：若在有下列三種狀況之一，則在間斷：①在無(wú)定義；②在極限不存在；③在處有定義，且存在，但。題中在處無(wú)定義8.．答案：1；提示：9．若，則．答案：2提示：由于，因此10．若，則．答案：1.5；提示：由于，因此二、單項(xiàng)選取題（每小題2分，共24分）1．設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（）．答案：BA．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既奇又偶函數(shù)提示：奇函數(shù)是指，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)是指，關(guān)于軸對(duì)稱。題中，因此函數(shù)是偶函數(shù)。2．設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（）．答案：AA．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既奇又偶函數(shù)提示：由于，因此是奇函數(shù)。3．函數(shù)圖形是關(guān)于（）對(duì)稱．答案：DA．B．軸C．軸D．坐標(biāo)原點(diǎn)提示：由于，是奇函數(shù)，因此圖形是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱4．下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（ 無(wú) ）．A． B．C．D．提示：A.,即是偶函數(shù)；B.圖形只在一、四象限，既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù)；C．圖形只在一、四象限，既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù)；D．，既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù)。因此本題沒(méi)有一種待選答案是奇函數(shù)5．函數(shù)定義域?yàn)椋?）．答案：DA．B．C．且D．且提示：對(duì)于，規(guī)定分母不能為0，即；對(duì)于，規(guī)定，即。定義域?yàn)榍?．函數(shù)定義域是（）．答案：DA．B．C．D．提示：對(duì)于，規(guī)定分母不能為0，即；對(duì)于，規(guī)定，即。因此函數(shù)定義域是7．設(shè)，則（）答案：CA．B．C．D．提示：注意比少1，因此8．下列各函數(shù)對(duì)中，（ ）中兩個(gè)函數(shù)相等．答案：DA．，B．，C．，D．提示：兩個(gè)函數(shù)相等，必要是相應(yīng)規(guī)則相似，定義域相似。上述答案中，A定義域不同；B相應(yīng)規(guī)則不同；C定義域不同；D相應(yīng)規(guī)則相似，定義域相似9．當(dāng)時(shí)，下列變量中為無(wú)窮小量是（）答案：C.A．B．C．D．提示：以0為極限變量稱為無(wú)窮小量。上述答案中，當(dāng)時(shí)，A趨向∞；B極限為1；C極限為0；D趨向∞。10．當(dāng)（）時(shí)，函數(shù)，在處持續(xù).答案：BA．0B．1C．D．提示：當(dāng)時(shí)，稱函數(shù)在持續(xù)。因，因此當(dāng)1時(shí)，函數(shù)，在處持續(xù)11．當(dāng)（）時(shí)，函數(shù)在處持續(xù)答案：DA．0B．1C．D．提示：當(dāng)時(shí)，稱函數(shù)在持續(xù)。由于，因此當(dāng)3時(shí)，函數(shù)，在處持續(xù)12．函數(shù)間斷點(diǎn)是（）答案：AA．B． C．D．無(wú)間斷點(diǎn)提示：若在有下列三種狀況之一，則在間斷：①在無(wú)定義；②在極限不存在；③在處有定義，且存在，但。題中，分母，因此在和處無(wú)定義三、解答題（每小題7分，共56分）⒈計(jì)算極限．解2．計(jì)算極限解3.解4．計(jì)算極限解5．計(jì)算極限．解6.計(jì)算極限．解7．計(jì)算極限解8．計(jì)算極限．解作業(yè)（二）————導(dǎo)數(shù)、微分及應(yīng)用一、填空題（每小題2分，共20分）1．曲線在點(diǎn)斜率是．答案：提示：若已知曲線方程，則它在任一點(diǎn)處斜率為。題中，將代入上式，得2．曲線在點(diǎn)切線方程是．答案：提示：若已知曲線方程，則它在任一點(diǎn)處斜率為。若給定曲線上一點(diǎn)，則通過(guò)該點(diǎn)切線方程為。題中，將代入上式，得，因此通過(guò)點(diǎn)(0,1)切線方程為，即3．曲線在點(diǎn)處切線方程是 ．答案：提示：若已知曲線方程，則它在任一點(diǎn)處斜率為。若給定曲線上一點(diǎn)，則通過(guò)該點(diǎn)切線方程為。題中，將代入上式，得，因此通過(guò)點(diǎn)(0,1)切線方程為，即4．．答案：提示：依照復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算。5．若y=x(x–1)(x–2)(x–3)，則(0)= ．答案：提示：依照有限各種函數(shù)乘積求導(dǎo)法則（見(jiàn)P45），+6．已知，則=．答案：提示：7．已知，則=．答案：提示：，8．若，則 ．答案：9．函數(shù)單調(diào)增長(zhǎng)區(qū)間是．答案：10．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增長(zhǎng)，則a應(yīng)滿足 ．答案：提示；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)增長(zhǎng)。題中，，因此函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增長(zhǎng)，a應(yīng)滿足。二、單項(xiàng)選取題（每小題2分，共24分）1．函數(shù)在區(qū)間是（）答案：DA．單調(diào)增長(zhǎng)B．單調(diào)減少C．先增后減D．先減后增提示：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)增長(zhǎng)當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少。題中，，令，得駐點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)減少；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)增長(zhǎng)。因此函數(shù)在區(qū)間是先減后增。2．滿足方程點(diǎn)一定是函數(shù)（）答案：C.A．極值點(diǎn)B．最值點(diǎn)C．駐點(diǎn)D．間斷點(diǎn)提示：使點(diǎn)，成為函數(shù)駐點(diǎn)（P69定理3.2）3．若，則=（）．答案：CA.2B.1C.-1D.–2提示：，4．設(shè)，則（）．答案：BA．B．C．D．提示：5．設(shè)是可微函數(shù)，則（）．答案：DA．B．C．D．提示：6．曲線在處切線斜率是（）．答案：CA．B．C．D．提示：若已知曲線方程，則它在任一點(diǎn)處斜率為。，將代入上式得7．若，則（）．答案：CA．B．C．D．提示：8．若，其中是常數(shù)，則（）．答案CA．B．C．D．提示：，9．下列結(jié)論中（）不對(duì)的．答案：CA．在處持續(xù)，則一定在處可微.B．在處不持續(xù)，則一定在處不可導(dǎo).C．可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)一定發(fā)生在其駐點(diǎn)上.D．若在[a，b]內(nèi)恒有，則在[a，b]內(nèi)函數(shù)是單調(diào)下降.提示：極大值也許出當(dāng)前：①駐點(diǎn)（駐點(diǎn)是點(diǎn)）；②持續(xù)但導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)。10．若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則()是錯(cuò)誤．答案：BA．函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有定義B．，但C．函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處持續(xù)D．函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可微提示：若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則它在點(diǎn)一定持續(xù)（P83定理2.5）。，但即在點(diǎn)不持續(xù)。11．下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)增長(zhǎng)是（）．答案：BA．sinxB．exC．x2 D．3–x提示：A是周期函數(shù)；B是單調(diào)增函數(shù)；C是偶函數(shù)，先減后增；D是單調(diào)減函數(shù)12.下列結(jié)論對(duì)的有（ ）．答案：AA．x0是f(x)極值點(diǎn)，且(x0)存在，則必有(x0)=0B．x0是f(x)極值點(diǎn)，則x0必是f(x)駐點(diǎn)C．若(x0)=0，則x0必是f(x)極值點(diǎn)D．使不存在點(diǎn)x0，一定是f(x)極值點(diǎn)提示：A對(duì)的；B不對(duì)的，由于駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)；C不對(duì)的，(x0)=0就是駐點(diǎn)，駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)；D不對(duì)的，由于極大值也許出當(dāng)前：①駐點(diǎn)和②持續(xù)但導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)。三、解答題（每小題7分，共56分）1設(shè)，求．解2．設(shè)，求.解3．設(shè)，求.解4．設(shè)，求.解5．設(shè)是由方程擬定隱函數(shù)，求.解對(duì)方程兩邊求導(dǎo)，得，，，6．設(shè)是由方程擬定隱函數(shù)，求.解對(duì)方程兩邊求導(dǎo)，得，，，7．設(shè)是由方程擬定隱函數(shù)，求.解對(duì)方程兩邊求導(dǎo)，得，，，8．設(shè)，求．解對(duì)方程兩邊求導(dǎo)，得，，作業(yè)（三）———不定積分，極值應(yīng)用問(wèn)題一、填空題（每小題2分，共20分）1．若一種原函數(shù)為，則。答案：`（c為任意常數(shù)）提示：參見(jiàn)教材P90，依照定義4.1，若，則稱為原函數(shù)，依照題意，對(duì)求導(dǎo)成果就是，即2．若一種原函數(shù)為，則。答案：提示：參見(jiàn)教材P90，依照定義4.1，若，則稱為原函數(shù)，依照題意，對(duì)求導(dǎo)成果就是，即，因此3．若，則．答案：提示：驗(yàn)算：4．若，則．答案：提示：驗(yàn)算：5．若，則．答案：提示：6．若，則．答案：提示：7． ．答案：提示：是原函數(shù)，對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)就等于被積函數(shù)，因此對(duì)原函數(shù)求微分就等于被積函數(shù)微分8． ．答案：提示：9．若，則．答案：提示：10．若，則．答案：提示：二、單項(xiàng)選取題（每小題2分，共16分）1．下列等式成立是（）．答案：AA．B．C．D．提示：對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)等于被積函數(shù)自身2．3．若，則（）.答案：AA.B.C.D.提示：4．若，則（）.答案：AA.B.C.D.提示：即對(duì)被積函數(shù)先求導(dǎo)再積分等于被積函數(shù)自身（加不定常數(shù)）。5．如下計(jì)算對(duì)的是（）答案：AA．B．C．D．提示：6．（）答案：AA.B.C.D.提示：運(yùn)用分部積分法，設(shè)，,則，上式中運(yùn)用了“對(duì)被積函數(shù)先求導(dǎo)再積分等于被積函數(shù)自身（加不定常數(shù)）”。7．=（ ）．答案：CA．B． C． D．提示：因此對(duì)原函數(shù)求微分就等于被積函數(shù)微分8．如果等式，則（）答案BA.B.C.D.提示：，比較上式左右兩邊，可知三、計(jì)算題（每小題7分，共35分）1．解2．解3．解4．解運(yùn)用分步積分法：設(shè)，，則，5．解運(yùn)用分步積分法：設(shè)，，則，四、極值應(yīng)用題（每小題12分，共24分）1．設(shè)矩形周長(zhǎng)為120厘米，以矩形一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。試求矩形邊長(zhǎng)為多少時(shí)，才干使圓柱體體積最大。60-x060-x0xxy設(shè)矩形一邊邊長(zhǎng)為x厘米，則另一邊邊長(zhǎng)為（60-x）厘米，邊長(zhǎng)為x厘米邊繞軸旋轉(zhuǎn)得一圓柱體，其底面積為π(60-x)2，旋轉(zhuǎn)體體積為令，即其中是極小值點(diǎn)，此時(shí)體積為0；是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，相應(yīng)圓柱體最大體積值為2．欲用圍墻圍成面積為216平方米一成矩形土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問(wèn)這塊土地長(zhǎng)和寬選用多大尺寸，才干使所用建筑材料最?。拷庠O(shè)土地一邊長(zhǎng)為，另一邊長(zhǎng)為，共用材料為于是=3令得唯一駐點(diǎn)（舍去）10分由于本問(wèn)題存在最小值，且函數(shù)駐點(diǎn)唯一，因此，當(dāng)土地一邊長(zhǎng)為，另一邊長(zhǎng)為18時(shí)，所用材料最省.五、證明題（本題5分）1函數(shù)在（是單調(diào)增長(zhǎng)．證只需證明當(dāng)時(shí)，有由于當(dāng)時(shí)，，即有因此，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)增長(zhǎng)。作業(yè)（四）———定積分及應(yīng)用、微分方程一、填空題（每小題2分，共20分）1．答案：提示：上式被積函數(shù)第一項(xiàng)和是奇函數(shù)，在對(duì)稱積分限下積提成果為0，第二項(xiàng)數(shù)是偶函數(shù)，在對(duì)稱積分限可化為，因此2．答案：提示：被積函數(shù)第一項(xiàng)和第二項(xiàng)都是奇函數(shù)，在對(duì)稱積分限下積提成果為0，第三項(xiàng)為是偶函數(shù)，在對(duì)稱積分限下可化為，因此3．已知曲線在任意點(diǎn)處切線斜率為，且曲線過(guò)，則該曲線方程是。答案：提示：切線在點(diǎn)（4，5）處斜率為，依照切線方程，得該切線方程為，即4．若．答案：2提示：上式被積函數(shù)第一項(xiàng)和第二項(xiàng)都是奇函數(shù)，在對(duì)稱積分限下積提成果為0，第三項(xiàng)為是偶函數(shù)，在對(duì)稱積分限下可化為，因此5．由定積分幾何意義知，=。答案：，它是1/4半徑為a圓面積。提示：設(shè)，則。當(dāng)；當(dāng)。因此，它是1/4半徑為a圓面積（參見(jiàn)P125（3））6．.答案：0提示：由于定積提成果是一種數(shù)值（即常數(shù)），常數(shù)導(dǎo)數(shù)數(shù)為0。7．=．答案：提示：8．微分方程特解為.答案：1提示：將微分方程分離變量得兩邊積分得，即，因此微分方程特解為9．微分方程通解為.答案：提示：將微分方程分離變量得兩邊積分得，即，因此微分方程通特解為10．微分方程階數(shù)為．答案：2提示：微分方程階數(shù)是微分方程中浮現(xiàn)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)最高階次。二、單項(xiàng)選取題（每小題2分，共20分）1．在切線斜率為2x積分曲線族中，通過(guò)點(diǎn)（1，4）曲線為（）．答案：AA．y=x2+3B．y=x2+4C．D．提示：曲線方程由擬定，將代入得，因此通過(guò)點(diǎn)（1，4）曲線為。2．若=2，則k=（）．答案：AA．1B．-1C．0提示：，因此3．下列定積分中積分值為0是（）．答案：AA．B．C．D．提示：由于積分式中被積函數(shù)是奇函數(shù)，奇函數(shù)在對(duì)稱積分限下定積分為0。4．設(shè)是持續(xù)奇函數(shù)，則定積分（）答案：DA．B．C．D．0提示：奇函數(shù)在對(duì)稱積分限下定積分為0。5．（）．答案：DA．0B．C．D．提示：是偶函數(shù)，因此6．下列無(wú)窮積分收斂是（）．答案：BA．B．C．D．提示：發(fā)散，收斂發(fā)散發(fā)散7．下列無(wú)窮積分收斂是（）．答案：BA．B．