高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12024年高考第一次模擬考試（北京卷02）數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗因為所以，故選：A.2．復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限〖答案〗D〖解析〗，，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第四象限，故選：D.3．已知向量，若，則實數(shù)（

）A．5 B．4 C．3 D．2〖答案〗B〖解析〗，因為，所以，解得.故選：B4．已知直線與平面滿足，則下列判斷一定正確的是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因為，可得，又因為，所以，因為，且，所以.故選：D.5．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，已知，，的面積為，則的周長是（

）A．4 B．6 C．8 D．18〖答案〗B〖解析〗，由正弦定理得，，又，所以，因為，所以，故，因為，所以，由三角形面積公式可得，故，由余弦定理得，解得或（舍去），故三角形周長為.故選：B.6．已知是公差為（）的無窮等差數(shù)列的前項和，設(shè)甲：數(shù)列是遞增數(shù)列，乙：對任意，均有，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件〖答案〗B〖解析〗充分性：因為數(shù)列是遞增數(shù)列，取數(shù)列為：，，，符合數(shù)列為無窮等差數(shù)列，且是遞增數(shù)列，但，故充分性不滿足；必要性：因為對于任意的，均有，所以得，又因為數(shù)列為無窮等差數(shù)列，所以公差大于零，所以可得數(shù)列為遞增數(shù)列，故必要性滿足.綜上所述：甲是乙的必要不充分條件，故B項正確.故選：B.7．我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造性的提出了“割圓術(shù)”，劉徽認為圓的內(nèi)接正邊形隨著邊數(shù)的無限增大，圓的內(nèi)接正邊形的周長就無限接近圓的周長，并由此求得圓周率的近似值．如圖當時，圓內(nèi)接正六邊形的周長為，故，即．運用“割圓術(shù)”的思想，下列估算正確的是（

）

A．時， B．時，C．時， D．時，〖答案〗A〖解析〗設(shè)圓的內(nèi)接正十二邊形被分成個如圖所示的等腰三角形，其頂角為，即，作于點，則為的中點，且，

因為，在中，，即，所以，，則，所以，正十二邊形的周長為，所以，.故選：A.8．函數(shù)（，，）的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，與的圖象關(guān)于軸對稱，則可能的取值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6〖答案〗C〖解析〗由題意可得函數(shù).因為與的圖象關(guān)于軸對稱，所以，即，即.由誘導(dǎo)公式可得：所以即，或.因為所以解得：故當時，.故選：C.9．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，雙曲線的左頂點為，以為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于，兩點，其中點在軸右側(cè)，若，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗由題意，以為直徑的圓的方程為，不妨設(shè)雙曲線的漸近線為，由，解得或，∴，．又為雙曲線的左頂點，則，∴，，∵，∴，即，∴，又，∴.故選：C.10．在一個正方體中，為正方形四邊上的動點，為底面正方形的中心，分別為中點，點為平面內(nèi)一點，線段與互相平分，則滿足的實數(shù)的值有A．0個 B．1個 C．2個 D．3個〖答案〗C〖解析〗因為線段D1Q與OP互相平分，所以四點O，Q，P，D1共面，且四邊形OQPD1為平行四邊形．若P在線段C1D1上時，Q一定在線段ON上運動，只有當P為C1D1的中點時，Q與點M重合，此時λ＝1，符合題意．若P在線段C1B1與線段B1A1上時，在平面ABCD找不到符合條件Q；在P在線段D1A1上時，點Q在直線OM上運動，只有當P為線段D1A1的中點時，點Q與點M重合，此時λ＝0符合題意，所以符合條件的λ值有兩個故選C.第II卷（非選擇題）二、填空題11．已知函數(shù)，則．〖答案〗〖解析〗依題意，，所以.故〖答案〗為：12．若的展開式的奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為16，則展開式中的系數(shù)為.〖答案〗〖解析〗因的展開式的奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為16，則.則展開式中第項為.令可得，則的系數(shù)為.故〖答案〗為：13．已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為，．〖答案〗〖解析〗因為在上單調(diào)遞增，若，則，取，則，即，令，則，因為，則，即，則.不妨取，即滿足題意.故〖答案〗為：.14．已知定義在上的函數(shù)具備下列性質(zhì)，①是偶函數(shù)，②在上單調(diào)遞增，③對任意非零實數(shù)、都有，寫出符合條件的函數(shù)的一個〖解析〗式（寫一個即可）.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗函數(shù)的定義域為，對任意的，，即函數(shù)為偶函數(shù)，滿足①；當時，，則函數(shù)在上為增函數(shù)，滿足②；對任意的非零實數(shù)、，，滿足③.故滿足條件的一個函數(shù)〖解析〗式為.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15．對于定義在上的函數(shù)，及區(qū)間，記，若，則稱為的“區(qū)間對”.已知函數(shù)給出下列四個結(jié)論：①若和是的“區(qū)間對”，則的取值范圍是；②若和不是的“區(qū)間對”，則對任意和也不是的“區(qū)間對”；③存在實數(shù)，使得對任意和都是的“區(qū)間對”；④對任意，都存在實數(shù)，使得和不是的“區(qū)間對”；其中所有正確結(jié)論的序號是.〖答案〗②③④〖解析〗由題意得，對于①：若和是的“區(qū)間對”，不妨設(shè)，，所以，當，，即,當，，即，因為，所以，則的取值范圍為.故①錯誤.對于②：若和不是的“區(qū)間對”，則，即，所以對任意的，當，即時此時在區(qū)間上，在上，所以，當，，所以，所以成立，即和不是的“區(qū)間對”，故②正確.對于③：存在，由①知，當，，關(guān)于對稱，當，總有，因為，，即，故符合題意；當時，總有，因為，，即，故符合題意；因為，，即，故符合題意；綜上所述：存在，使得對任意和都是的“區(qū)間對”故③正確.對于④：由①知，當，不妨設(shè)，由②知，存在使，故符合題意；當時，存在，當，，當，，所以，故符合題意；當，存在，當，，當，，所以，故符合題意；綜上所述：對任意，都存在實數(shù)，使得和不是的“區(qū)間對”故④正確.故〖答案〗為：②③④.三、解答題16．已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰兩個交點間的距離為，且______.在以下三個條件中任選一個，補充在上面問題中，并解答（若選擇多個分別解答，以選擇第一個計分.）①函數(shù)為偶函數(shù)；

②；③，(1)求函數(shù)的〖解析〗式；(2)若將的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，并指出相應(yīng)的的值.解：(1)由題意知函數(shù)的圖象與直線的相鄰兩個交點間的距離為，故函數(shù)最小正周期，即，故；選①：函數(shù)為偶函數(shù)，即為偶函數(shù)，故，又，故，則；選②：，則，即則或，即或，結(jié)合，故，則；選③：，，則時，函數(shù)取最大值，故，結(jié)合，故，則；(2)將的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，即，當時，，結(jié)合在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，可知當，即時，取最大值2；當，即時，取最小值1.17．如圖，棱柱的所有棱長都為2，，側(cè)棱與底面的所成角為平面為的中點．(1)證明：；(2)證明：平面；(3)求二面角的余弦值．(1)證明：棱柱的所有棱長都為2，所以底面為菱形，故,平面平面,且,平面,平面,且平面,(2)證明：連接,為的中點,為的中點,,且平面，平面，平面(3)解：平面所以側(cè)棱與底面的所成角為，即,作,由(1)知，,且,平面,平面,且平面,,故即二面角的平面角，由(1)知，平面,且平面,,,且,,,,.故二面角的余弦值為18．根據(jù)《國家學(xué)生體質(zhì)健康標準》，高三男生和女生立定跳遠單項等級如下（單位：cm）：立定跳遠單項等級高三男生高三女生優(yōu)秀及以上及以上良好~~及格~~不及格及以下及以下從某校高三男生和女生中各隨機抽取名同學(xué)，將其立定跳遠測試成績整理如下（精確到）：男生女生假設(shè)用頻率估計概率，且每個同學(xué)的測試成績相互獨立．(1)分別估計該校高三男生和女生立定跳遠單項的優(yōu)秀率；(2)從該校全體高三男生中隨機抽取人，全體高三女生中隨機抽取人，設(shè)為這人中立定跳遠單項等級為優(yōu)秀的人數(shù)，估計的數(shù)學(xué)期望；(3)從該校全體高三女生中隨機抽取人，設(shè)“這人的立定跳遠單項既有優(yōu)秀，又有其它等級”為事件，“這人的立定跳遠單項至多有個是優(yōu)秀”為事件．判斷與是否相互獨立．（結(jié)論不要求證明）解：(1)樣本中立定跳遠單項等級獲得優(yōu)秀的男生人數(shù)為，獲得優(yōu)秀的女生人數(shù)為，所以估計該校高三男生立定跳遠單項的優(yōu)秀率為；估計高三女生立定跳遠單項的優(yōu)秀率為．(2)由題設(shè)，的所有可能取值為．估計為；估計為；估計為；估計為．估計的數(shù)學(xué)期望．(3)估計為；估計為；估計為，，所以與相互獨立．19．已知橢圓，、為橢圓的焦點，為橢圓上一點，滿足，為坐標原點．(1)求橢圓的方程和離心率．(2)設(shè)點，過的直線與橢圓交于、兩點，滿足，點滿足滿足，求證：點在定直線上．(1)解：由橢圓的定義知，，故，所以橢圓的方程為，故，所以橢圓的離心率為.(2)證明：若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，則聯(lián)立可得：，則，解得：，設(shè)，，則，，由可得：，即，設(shè)，由可得：，即，即，則，因為點在直線上，所以，所以點在定直線上，若直線的斜率不存在，過的直線與橢圓交于、兩點，，，所以，則，所以，解得：，滿足點在定直線上.20．已知函數(shù)，且曲線在處與軸相切．(1)求的值；(2)令，證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；(3)求的極值點個數(shù)．(1)解：，由題意可知是在處的切線方程，所以且，故(2)證明：由(1)知，所以，所以，令，當單調(diào)遞增，當單調(diào)遞減，因此在單調(diào)遞增，故，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增(3)解：由(2)知:當單調(diào)遞增，當單調(diào)遞減，所以當時，取最小值，且，故存在，使得因此當和當因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在時單調(diào)遞減，由于，，因此存在使得，故當時，，此時單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，故在時取極小值，故有1個極值點.21．已知為有窮數(shù)列.若對任意的,都有（規(guī)定）,則稱具有性質(zhì).設(shè)(1)判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)？若具有性質(zhì),寫出對應(yīng)的集合;(2)若具有性質(zhì),證明:;(3)給定正整數(shù),對所有具有性質(zhì)的數(shù)列,求中元素個數(shù)